ガルトンボード

ゴルトンボードは、ゴルトンボックス、クインカンクス、ビーンマシン（または誤ってドルトンボード）とも呼ばれ、フランシス・ゴルトン^[1]によって発明された装置であり、中心極限定理、特に十分なサンプルサイズがあれば二項分布は正規分布に近似するということを証明するために用いられた。

ゴルトンはこれを、平均への回帰^[2]という彼の考えを説明するために考案した。彼はこれを「平凡への回帰」と呼び、彼の優生学の思想の一部とした^{[3] 。}

ゴルトンボードは、交互に並んだペグの列が垂直に並んだボードです。ビーズは上から落とされ、装置が水平のとき、ペグに当たると左か右に跳ね返ります。最終的にビーズは下部のビンに集められ、ビンに蓄積されたビーズの列の高さはベル曲線に近似します。パスカルの三角形をピンに重ねると、各ビンに到達するために取ることができる異なる経路の数が表示されます。^[4]

チャールズ＆レイ・イームズが製作したこの装置の大型実用モデルは、ボストン科学博物館、ニューヨーク科学館、ヘンリー・フォード博物館で常設展示されている「マセマティカ：数字の世界とその先」展で見ることができる。^{[5]フォード博物館のマシンは、} 1964年から1965年にかけて開催されたニューヨーク万国博覧会の期間中、IBMパビリオンで展示され、後にシアトルのパシフィックサイエンスセンターに登場した。 ^{[6] [7]}カリフォルニア州アーバインのインデックスファンドアドバイザーズのロビーには、別の大型バージョンが展示されている。^[8]

ピンの形状を変えたり、ピンを一方向に偏らせたりすることで、他の分布のボードを作ることもできるし、二峰性のボードを作ることもできる。^[9]対数正規分布（多くの自然過程、特に生物学的過程によく見られる）用のボードは、固定サイズのステップで「足し算」するのではなく、ビーズが移動する距離を「掛け算」するためにさまざまな幅の二等辺三角形を使用するもので、対数正規分布の統計を研究し普及させているときに、視覚化して妥当性を示すためにヤコブス・カプテインが作った。 ^[10] 1963年現在、このボードはフローニンゲン大学に保存されている。^[11]また、右辺が長い歪んだ三角形を使用する改良された対数正規分布マシンもあり、これによりビーズの中央値が左にずれるのを回避している。^[12]

ビーズが下へ進む途中で右へk回跳ね返ると (残りのペグでは左へ跳ね返る)、左から数えてk番目のビンに入ります。ゴルトン ボードのペグの列数をnで表すと、一番下のk番目のビンまでの経路の数は、二項係数 で与えられます。一番左のビンが0ビン、その次が1ビン、などとなり、一番右のビンがnビンとなるため、ビンの合計数はn+1になります(各行には、その行を識別する番号より多くのペグがある必要はありません。たとえば、最初の行には 1 つのペグ、次の行には 2 つのペグがあり、n行目にはn+1 個のビンに対応するn個のペグがあります)。ピンに当たって跳ね返る確率がp (これは、偏りのない水準器では 0.5 に等しい) の場合、ボールがk番目のビンに入る確率は に等しい。これは、二項分布の確率質量関数である。行数は、試行回数における二項分布のサイズに対応し、各ピンの確率p は、二項分布のpである。 ${\displaystyle {n \choose k}}$${\displaystyle {n \choose k}p^{k}(1-p)^{nk}}$

中心極限定理（より正確には、ド・モアブル・ラプラスの定理）によれば、列の数とボールの数が両方とも大きい場合、二項分布は正規分布に近似します。列を変えると、ビン内の ベル型曲線または正規分布の標準偏差または幅が異なります。

物理的な観点からより正確な別の解釈は、エントロピーによって与えられます。落下するすべてのビーズが運ぶエネルギーは有限であるため、どの先端でも微分が定義されていないため衝突は混沌とします（どちらの側が落ちるかを事前に把握する方法はありません）。各ビーズの平均と分散は有限に制限されます（箱から飛び出すことはありません）。ガウス形状は、定義された平均と分散を持つ連続プロセスの最大エントロピー確率分布であるため発生します。正規分布の上昇は、各ビーズが移動した経路に関連して運ばれる可能性のあるすべての情報が、下り坂での衝突によってすでに完全に失われていると解釈できます。

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  ガルトンボード（7.5インチ×4.5インチ）
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  スピン前とスピン後
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  実際に動作する機械のレプリカ（若干変更された設計）

フランシス・ゴルトンは、 1874年2月27日の王立研究所講演会のプレゼンテーションの一環として、このボードをデザインしました。彼の目標は、統計において測定ではなくランキングの使用を促進し、実験データを必要とせずに知性などの特性に数値を割り当てることでした。ボールを正規分布に積み重ねることは、複数のテストから平均値がどのように生じるかを示すことを目的としていました。^[13]

フランシス・ゴルトンは 1889 年に著書「自然遺伝」を著しました。

見かけ上の混沌の中の秩序: 誤りの頻度の法則によって表現される宇宙の秩序の素晴らしい形態ほど想像力を刺激するものを私はほとんど知らない。もしギリシャ人がそれを知っていたら、この法則は擬人化され神格化されたであろう。この法則は、最も激しい混乱の真っ只中に、静けさと完全な自己の消失をもって君臨する。群衆が大きければ大きいほど、見かけ上の無秩序が大きければ大きいほど、その支配はより完璧である。これは不合理の最高の法則である。混沌とした要素の大きなサンプルを取り上げ、その大きさの順序に従って整列させると、予期せぬ最も美しい形の規則性が最初からずっと潜在していたことが分かる。^{[1] : 66}

しかし、ゴルトンは知能の極端な値は遺伝によってもたらされることを証明しようともしたが、これは彼の実験とは明らかに矛盾している。なぜなら、ゴルトンの実験はランダム性のみから極端な値を生み出しているからだ。この問題を認識したゴルトンは、1875年に、彼の箱は彼が「主な影響要因」と呼ぶものによって偏りが生じる状況を反映していないと主張して、この問題に対処しようとした。^[2]

1877 年にジョージ ダーウィンに宛てた手紙の中で、ゴールトンは 2 つ目のバージョンのボードについて説明しました。このボードは 2 段階あり、最上段の底部の区画には小さな落とし戸があり、そこから 1 つの区画のボールが 2 つ目の段階を通り抜けます。ゴールトンの目的は、「平凡さへの回帰」という概念、つまり結婚による制御がなければ、人口の「最良」部分が「平凡」な部分と混ざり合い、その子孫が徐々に平均値に回帰するという概念を説明することでした。しかし、このバージョンは作成されませんでした。

ピンがボールや他の物体の進路を変えるというアイデアを使って、いくつかのゲームが開発されてきました。

• バガテル
• パチンコ
• パヤッツォ
• ペグル
• ピンボール
• プリンコ
• 壁

これらのゲームがゴルトンの装置にインスピレーションを与えたと示唆されている。^[13]

ウィキメディア・コモンズには、ガルトンボックスに関連するメディアがあります。

• リソースリンク付きのGalton Board情報ウェブサイト
• 高さ 8 フィート (2.4 メートル) のサー・フランシス: 確率マシン - 混沌から秩序へ - Index Fund Advisors の株価のランダム性 IFA.com
• 五角形と正規分布との関係（Math Is Funより）
• 多段式豆機械シミュレーション (JS)
• パスカルのマーブルラン：決定論的ゴルトンボード
• 対数正規ガルトンボード（アニメーション）
• カール・マクテーグによるガルトンボードをフィーチャーしたミュージックビデオ

ウィキメディア・コモンズには、ガルトンボックスに関連するメディアがあります。