対称確率分布

統計学において、対称確率分布とは、確率分布（起こりうる事象に対する確率の割り当て）であり、確率密度関数（連続確率分布の場合）または確率質量関数（離散ランダム変数の場合）が、分布によって表されるランダム変数のある値で垂直線に沿って反射されたときに変化しません。この垂直線が分布の対称線です。したがって、対称が発生する値の片側にある任意の距離である確率は、その値の反対側にある同じ距離である確率と同じです。

確率分布が対称であるとは、次のような値が存在する場合のみである。 ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle f(x_{0}-\delta )=f(x_{0}+\delta )}$すべての実数について${\displaystyle \delta ,}$

ここで、f は分布が連続している場合は確率密度関数、分布が離散している場合は確率質量関数です。

鏡面対称性という意味での対称性の度合いは、キラル指数を持つ多変量分布に対して定量的に評価することができる。キラル指数は [0;1] の区間の値を取り、分布が鏡面対称である場合にのみゼロとなる。^[1] したがって、d 変量分布は、キラル指数がゼロのときに鏡面対称であると定義される。分布は離散的でも連続的でもかまわず、密度の存在は必須ではないが、慣性は有限かつゼロでないことが必要である。単変量の場合、この指数は対称性の非パラメトリック検定として提案された。^[2]

連続対称球面分布について、Mir M. Ali は次のように定義しました。n次元ユークリッド空間における絶対連続型の球対称分布のクラスを、中心が原点にあり、半径が有限または無限で、それ以外の場所ではゼロである球面内の形の結合密度を持つ分布とします。^[3]${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=g(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dots +x_{n}^{2})}$

• 対称分布の中央値と平均値（存在する場合）は、どちらも対称性が発生する点に発生します。^[4]${\displaystyle x_{0}}$
• 対称分布が単峰性である場合、モードは中央値および平均と一致します。
• 対称分布の奇数中心モーメントはすべてゼロになります（存在する場合）。これは、そのようなモーメントの計算において、 からの負の偏差から生じる負の項が、からの等しい正の偏差から生じる正の項と正確にバランスするためです。${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{0}}$
• 対称分布の場合、歪度のあらゆる尺度はゼロになります。

次の分布は、すべてのパラメーター化に対して対称です。(他の多くの分布は、特定のパラメーター化に対して対称です。)