確率積分変換

確率論において、確率積分変換（一様分布の普遍性とも呼ばれる）は、任意の連続分布からの確率変数としてモデル化されたデータ値を、標準一様分布を持つ確率変数に変換できるという結果に関連している。^{[ 1 ]}これは、使用されている分布が確率変数の真の分布である場合に限り、厳密に成り立つ。分布がデータに適合した分布である場合、結果は大きなサンプルでは近似的に成り立つ。

変換結果は、一様分布以外の標準分布、例えば指数分布などになるように修正または拡張されることがあります。

この変換は、ロナルド・フィッシャーが1932年に出版した著書『研究者のための統計的方法』の中で紹介された。^{[ 2 ]}

統計データ分析における確率積分変換の用途の一つは、一連の観測値が特定の分布から生じたものとして妥当にモデル化できるかどうかを検証するための基礎を提供することである。具体的には、確率積分変換を適用して等価な値のセットを構築し、構築されたデータセットに対して一様分布が適切かどうかを検証する。その例として、P-Pプロットやコルモゴロフ-スミルノフ検定が挙げられる。

この変換の2つ目の用途は、統計的に依存する多変量データの分布を定義し、扱うための手段であるコピュラに関する理論です。ここでは、確率積分変換を各成分に適用し、周辺変数が一様分布を持つ結合分布を扱うことで、一連の確率変数の同時確率分布を定義または操作する問題が簡略化され、見かけ上の複雑さが軽減されます。

3つ目の用途は、確率積分変換の逆変換を適用して、一様分布の確率変数を特定の分布に変換することです。これは逆変換サンプリングとして知られています。

確率変数${\displaystyle X}$は連続分布を持ち、その累積分布関数（CDF）は${\displaystyle F_{X}.}$次にランダム変数${\displaystyle Y}$定義される

${\displaystyle Y:=F_{X}(X)\,,}$

標準一様分布を持つ。^{[ 1 ] [ 3 ]}

同様に、${\displaystyle \mu }$均一な尺度は${\displaystyle [0,1]}$分布${\displaystyle X}$の上${\displaystyle \mathbb {R} }$前進策${\displaystyle \mu \circ F_{X}^{-1}}$。

任意のランダムな連続変数が与えられた場合${\displaystyle X}$、 定義する${\displaystyle Y=F_{X}(X)}$与えられた${\displaystyle y\in (0,1)}$、 もし${\displaystyle F_{X}^{-1}(y)}$存在する（つまり、一意の${\displaystyle x}$そのため${\displaystyle F_{X}(x)=y}$）、 それから：

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{Y}(y)&=\operatorname {P} (Y\leq y)\\&=\operatorname {P} (F_{X}(X)\leq y)\\&=\operatorname {P} (X\leq F_{X}^{-1}(y))\\&=F_{X}(F_{X}^{-1}(y))\\&=y.\end{aligned}}}$

もし${\displaystyle F_{X}^{-1}(y)}$が存在しない場合、右連続逆関数は${\displaystyle F_{X}^{*}(y)=\inf\{x\in \mathbb {R} :F_{X}(x)\geq y\}}$代わりに が考慮される。$${\displaystyle x\geq F_{X}^{*}(y)\iff F_{X}(x)\geq y\quad \left({\text{または同等に: }}x<F_{X}^{*}(y)\iff F_{X}(x)<y\right),}$$（${\displaystyle \Rightarrow }$定義により、${\displaystyle \Leftarrow }$から続く${\displaystyle \inf\{z\in \mathbb {R} :F_{X}(z)\geq F_{X}(x)\}\geq x}$そして単調性${\displaystyle F_{X}}$)設定することで${\displaystyle x=F_{X}^{*}(y)}$すると、${\displaystyle F_{X}(F_{X}^{*}(y))\geq y}$。

等号も成り立つことを次に示します。${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$実数列で、${\displaystyle x_{n}<F_{X}^{*}(y)}$（意味${\displaystyle F_{X}(x_{n})<y}$） そして${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=F_{X}^{*}(y)}$継続性によって${\displaystyle F_{X}}$すると、${\displaystyle F_{X}(F_{X}^{*}(y))=\lim _{n\to \infty }F_{X}(x_{n})\leq y}$同じように。

逆が存在する場合と同様に、結論を導き出すことができる。

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{Y}(y)&=\operatorname {P} (F_{X}(X)\leq y)\\&=\operatorname {P} (F_{X}(X)<y)\\&=\operatorname {P} (X<F_{X}^{*}(y))\\&=\operatorname {P} (X\leq F_{X}^{*}(y))\\&=F_{X}(F_{X}^{*}(y))\\&=y,\end{aligned}}}$

それを使って${\displaystyle \{F_{X}(X)<y\}=\{X<F_{X}^{*}(y)\}}$そしてまたそれが${\displaystyle X}$連続分布を持つ。したがって、${\displaystyle F_{Y}}$これは単に CDF です${\displaystyle \mathrm {制服} (0,1)}$確率変数なので、${\displaystyle Y}$区間上で一様分布を持つ${\displaystyle (0,1)}$。

最初の例として、${\displaystyle X}$標準正規分布に従う確率変数である$\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$すると、その累積分布関数は次のようになります。

${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-t^{2}/2}\,dt={\frac {1}{2}}{\Big [}\,1+\operatorname {erf} {\Big (}{\frac {x}{\sqrt {2}}}{\Big )}\,{\Big ]},\quad x\in \mathbb {R} ,\,}$

どこ${\displaystyle \operatorname {erf} (),}$は誤差関数です。すると新しい乱数変数は${\displaystyle Y,}$定義される${\displaystyle Y:=\Phi (X),}$一様分布している。

2番目の例として、${\displaystyle X}$が単位平均の指数分布に従う場合、その累積分布関数は

${\displaystyle F(x)=1-\exp(-x),}$

そして確率積分変換の直接的な結果は次の通りである。

${\displaystyle Y=1-\exp(-X)}$

は一様分布を持つ。さらに、一様分布の対称性により、

${\displaystyle Z=\exp(-X)}$

また、一様分布を示す。

• 逆変換サンプリング
• クレーマー距離