カニアダキス統計

カニアダキス統計（ κ-統計とも呼ばれる）は、ボルツマン-ギブス統計力学の一般化であり、^[1]古典的な ボルツマン-ギブス-シャノンエントロピー（一般にカニアダキスエントロピーまたはκ-エントロピーと呼ばれる）の相対論的^{[2] [3] [4]}一般化に基づいています。 2001年にギリシャ系イタリア人の物理学者ジョルジョ・カニアダキスによって導入された^{[5] κ-統計力学は、通常の}統計力学の主な特徴を保持しており、近年多くの研究者の関心を集めています。κ-分布は現在、べき乗則裾の統計分布を含む複雑な物理的[ ^{6] [7]}自然または人工的なシステムを説明するための最も実行可能な候補の1つと考えられています。カニアダキス統計は、宇宙論、天体物理学、^{[8] [9]}凝縮物質、量子物理学、^{[10] [11]}地震学、^{[12] [13]}ゲノミクス、^{[14] [15]}経済学、^{[16] [17]}疫学、^[18]などの分野におけるさまざまなシステムの記述にうまく採用されてきました。

κ-統計の数学的形式は、κ-変形関数、特にκ-指数関数によって生成されます。

カニアダキス指数関数（または κ 指数関数）は、指数関数の 1 パラメータ一般化であり、次のように表されます。

${\displaystyle \exp _{\kappa }(x)={\begin{cases}{\Big (}{\sqrt {1+\kappa ^{2}x^{2}}}+\kappa x{\Big )}^{\frac {1}{\kappa }}&{\text{if }}0<\kappa <1.\\[6pt]\exp(x)&{\text{if }}\kappa =0,\\[8pt]\end{cases}}}$

と。 ${\displaystyle \exp _{-\kappa }(x)=\exp _{\kappa }(x)}$

の κ 指数は次のようにも表すことができます。 ${\displaystyle 0<\kappa <1}$

${\displaystyle \exp _{\kappa }(x)=\exp {\Bigg (}{\frac {1}{\kappa }}{\text{arcsinh}}(\kappa x){\Bigg )}.}$

のテイラー展開 の最初の 5 つの項は次のように与えられます。${\displaystyle \exp _{\kappa }(x)}$

${\displaystyle \exp _{\kappa }(x)=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+(1-\kappa ^{2}){\frac {x^{3}}{3!}}+(1-4\kappa ^{2}){\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots }$

最初の 3 つは典型的な指数関数と同じです。

基本的なプロパティ

κ 指数関数は指数関数の次の特性を持ちます。

${\displaystyle \exp _{\kappa }(x)\in \mathbb {C} ^{\infty }(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\exp _{\kappa }(x)>0}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\exp _{\kappa }(x)>0}$

${\displaystyle \exp _{\kappa }(-\infty )=0^{+}}$

${\displaystyle \exp _{\kappa }(0)=1}$

${\displaystyle \exp _{\kappa }(+\infty )=+\infty }$

${\displaystyle \exp _{\kappa }(x)\exp _{\kappa }(-x)=-1}$

実数 に対して、κ指数は次の性質を持ちます。 ${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\Big [}\exp _{\kappa }(x){\Big ]}^{r}=\exp _{\kappa /r}(rx)}$。

カニアダキス対数（κ対数）は、通常の対数関数の相対論的な1パラメータ一般化である。

${\displaystyle \ln _{\kappa }(x)={\begin{cases}{\frac {x^{\kappa }-x^{-\kappa }}{2\kappa }}&{\text{if }}0<\kappa <1,\\[8pt]\ln(x)&{\text{if }}\kappa =0,\\[8pt]\end{cases}}}$

はκ指数の逆関数 である。${\displaystyle \ln _{-\kappa }(x)=\ln _{\kappa }(x)}$

${\displaystyle \ln _{\kappa }{\Big (}\exp _{\kappa }(x){\Big )}=\exp _{\kappa }{\Big (}\ln _{\kappa }(x){\Big )}=x.}$

の κ 対数は次のようにも表すことができます。 ${\displaystyle 0<\kappa <1}$

${\displaystyle \ln _{\kappa }(x)={\frac {1}{\kappa }}\sinh {\Big (}\kappa \ln(x){\Big )}}$

のテイラー展開の最初の 3 つの項は次のように与えられます。 ${\displaystyle \ln _{\kappa }(x)}$

${\displaystyle \ln _{\kappa }(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+\left(1+{\frac {\kappa ^{2}}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}-\cdots }$

規則に従う

${\displaystyle \ln _{\kappa }(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}(\kappa )\,(-1)^{n-1}\,{\frac {x^{n}}{n}}}$

、 および${\displaystyle b_{1}(\kappa )=1}$

${\displaystyle b_{n}(\kappa )(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}n=1,\\[8pt]{\frac {1}{2}}{\Big (}1-\kappa {\Big )}{\Big (}1-{\frac {\kappa }{2}}{\Big )}...{\Big (}1-{\frac {\kappa }{n-1}}{\Big )},\,+\,{\frac {1}{2}}{\Big (}1+\kappa {\Big )}{\Big (}1+{\frac {\kappa }{2}}{\Big )}...{\Big (}1+{\frac {\kappa }{n-1}}{\Big )}&{\text{for }}n>1,\\[8pt]\end{cases}}}$

ここで、 および です。 のテイラー展開の最初の 2 つの項は、通常の対数関数と同じです。 ${\displaystyle b_{n}(0)=1}$${\displaystyle b_{n}(-\kappa )=b_{n}(\kappa )}$${\displaystyle \ln _{\kappa }(x)}$

基本的なプロパティ

κ 対数関数は、対数関数の次の特性を持ちます。

${\displaystyle \ln _{\kappa }(x)\in \mathbb {C} ^{\infty }(\mathbb {R} ^{+})}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln _{\kappa }(x)>0}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\ln _{\kappa }(x)<0}$

${\displaystyle \ln _{\kappa }(0^{+})=-\infty }$

${\displaystyle \ln _{\kappa }(1)=0}$

${\displaystyle \ln _{\kappa }(+\infty )=+\infty }$

${\displaystyle \ln _{\kappa }(1/x)=-\ln _{\kappa }(x)}$

実数 に対して、κ-対数には次の性質があります。 ${\displaystyle r}$

${\displaystyle \ln _{\kappa }(x^{r})=r\ln _{r\kappa }(x)}$

任意の および に対して、カニアダキス和（または κ 和）は次の合成法則によって定義されます。 ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$${\displaystyle |\kappa |<1}$

${\displaystyle x{\stackrel {\kappa }{\oplus }}y=x{\sqrt {1+\kappa ^{2}y^{2}}}+y{\sqrt {1+\kappa ^{2}x^{2}}}}$、

これは次のように書くこともできます:

${\displaystyle x{\stackrel {\kappa }{\oplus }}y={1 \over \kappa }\,\sinh \left({\rm {arcsinh}}\,(\kappa x)\,+\,{\rm {arcsinh}}\,(\kappa y)\,\right)}$、

ここで、 通常の和は古典的な極限における特別なケースです。${\displaystyle \kappa \rightarrow 0}$${\displaystyle x{\stackrel {0}{\oplus }}y=x+y}$

κ 和は、通常の和と同様に、次の特性を持ちます。

${\displaystyle {\text{1. associativity:}}\quad (x{\stackrel {\kappa }{\oplus }}y){\stackrel {\kappa }{\oplus }}z=x{\stackrel {\kappa }{\oplus }}(y{\stackrel {\kappa }{\oplus }}z)}$

${\displaystyle {\text{2. neutral element:}}\quad x{\stackrel {\kappa }{\oplus }}0=0{\stackrel {\kappa }{\oplus }}x=x}$

${\displaystyle {\text{3. opposite element:}}\quad x{\stackrel {\kappa }{\oplus }}(-x)=(-x){\stackrel {\kappa }{\oplus }}x=0}$

${\displaystyle {\text{4. commutativity:}}\quad x{\stackrel {\kappa }{\oplus }}y=y{\stackrel {\kappa }{\oplus }}x}$

κ 差は で与えられます。 ${\displaystyle {\stackrel {\kappa }{\ominus }}}$${\displaystyle x{\stackrel {\kappa }{\ominus }}y=x{\stackrel {\kappa }{\oplus }}(-y)}$

基本的な特性は、以下のより一般的な表現の特殊なケースとして生じます。${\displaystyle \exp _{\kappa }(-x)\exp _{\kappa }(x)=1}$${\displaystyle \exp _{\kappa }(x)\exp _{\kappa }(y)=exp_{\kappa }(x{\stackrel {\kappa }{\oplus }}y)}$

さらに、κ 関数と κ 和は次の関係を示します。

${\displaystyle \ln _{\kappa }(x\,y)=\ln _{\kappa }(x){\stackrel {\kappa }{\oplus }}\ln _{\kappa }(y)}$

任意のおよびに対して、カニアダキス積（または κ 積）は次の合成法則によって定義されます。 ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$${\displaystyle |\kappa |<1}$

${\displaystyle x{\stackrel {\kappa }{\otimes }}y={1 \over \kappa }\,\sinh \left(\,{1 \over \kappa }\,\,{\rm {arcsinh}}\,(\kappa x)\,\,{\rm {arcsinh}}\,(\kappa y)\,\right)}$、

ここで、 通常の積は古典的極限における特別なケースである。${\displaystyle \kappa \rightarrow 0}$${\displaystyle x{\stackrel {0}{\otimes }}y=x\times y=xy}$

κ 積は、通常の積と同様に、次の特性を持ちます。

${\displaystyle {\text{1. associativity:}}\quad (x{\stackrel {\kappa }{\otimes }}y){\stackrel {\kappa }{\otimes }}z=x{\stackrel {\kappa }{\otimes }}(y{\stackrel {\kappa }{\otimes }}z)}$

${\displaystyle {\text{2. neutral element:}}\quad x{\stackrel {\kappa }{\otimes }}I=I{\stackrel {\kappa }{\otimes }}x=x\quad {\text{for}}\quad I=\kappa ^{-1}\sinh \kappa {\stackrel {\kappa }{\oplus }}x=x}$

${\displaystyle {\text{3. inverse element:}}\quad x{\stackrel {\kappa }{\otimes }}{\overline {x}}={\overline {x}}{\stackrel {\kappa }{\otimes }}x=I\quad {\text{for}}\quad {\overline {x}}=\kappa ^{-1}\sinh(\kappa ^{2}/{\rm {arcsinh}}\,(\kappa x))}$

${\displaystyle {\text{4. commutativity:}}\quad x{\stackrel {\kappa }{\otimes }}y=y{\stackrel {\kappa }{\otimes }}x}$

κ 分割は次のように与えられます。 ${\displaystyle {\stackrel {\kappa }{\oslash }}}$${\displaystyle x{\stackrel {\kappa }{\oslash }}y=x{\stackrel {\kappa }{\otimes }}{\overline {y}}}$

κ-和とκ-積は分配法則に従います。 ${\displaystyle {\stackrel {\kappa }{\oplus }}}$${\displaystyle {\stackrel {\kappa }{\otimes }}}$${\displaystyle z{\stackrel {\kappa }{\otimes }}(x{\stackrel {\kappa }{\oplus }}y)=(z{\stackrel {\kappa }{\otimes }}x){\stackrel {\kappa }{\oplus }}(z{\stackrel {\kappa }{\otimes }}y)}$

基本的な特性は、以下のより一般的な表現の特殊なケースとして生じます。 ${\displaystyle \ln _{\kappa }(1/x)=-\ln _{\kappa }(x)}$

${\displaystyle \ln _{\kappa }(x\,y)=\ln _{\kappa }(x){\stackrel {\kappa }{\oplus }}\ln _{\kappa }(y)}$

さらに、κ関数とκ積は次の関係を示します。

${\displaystyle \exp _{\kappa }(x){\stackrel {\kappa }{\otimes }}\exp _{\kappa }(y)=\exp _{\kappa }(x\,+\,y)}$

${\displaystyle \ln _{\kappa }(x\,{\stackrel {\kappa }{\otimes }}\,y)=\ln _{\kappa }(x)+\ln _{\kappa }(y)}$

の Kaniadakis 微分 (または κ 微分) は次のように定義されます。 ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \mathrm {d} _{\kappa }x={\frac {\mathrm {d} \,x}{\displaystyle {\sqrt {1+\kappa ^{2}\,x^{2}}}}}}$。

したがって、関数の κ 微分は、次のようにライプニッツ微分と関連しています。 ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} _{\kappa }x}}=\gamma _{\kappa }(x){\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} x}}}$、

ここで はローレンツ因子です。通常の微分は、古典的な極限におけるκ 微分の特殊なケースです。 ${\displaystyle \gamma _{\kappa }(x)={\sqrt {1+\kappa ^{2}x^{2}}}}$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} x}}}$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} _{\kappa }x}}}$${\displaystyle \kappa \rightarrow 0}$

カニアダキス積分（κ積分）は、κ微分の逆演算子であり、次のように定義される。

${\displaystyle \int \mathrm {d} _{\kappa }x\,\,f(x)=\int {\frac {\mathrm {d} \,x}{\sqrt {1+\kappa ^{2}\,x^{2}}}}\,\,f(x)}$、

これは古典的極限における通常の積分を回復する。 ${\displaystyle \kappa \rightarrow 0}$

カニアダキス巡回三角法（または κ 巡回三角法）は、次のように定義される κ 巡回正弦（または κ 正弦）関数と κ 巡回余弦（または κ 余弦）関数に基づいています。

${\displaystyle \sin _{\kappa }(x)={\frac {\exp _{\kappa }(ix)-\exp _{\kappa }(-ix)}{2i}}}$、

${\displaystyle \cos _{\kappa }(x)={\frac {\exp _{\kappa }(ix)+\exp _{\kappa }(-ix)}{2}}}$、

ここでκ一般化オイラー公式は

${\displaystyle \exp _{\kappa }(\pm ix)=\cos _{\kappa }(x)\pm i\sin _{\kappa }(x)}$.:

κ巡回三角法は、κ → 0 の極限における特別なケースである通常の巡回三角法の基本式を保存します。たとえば、

${\displaystyle \cos _{\kappa }^{2}(x)+\sin _{\kappa }^{2}(x)=1}$

${\displaystyle \sin _{\kappa }(x{\stackrel {\kappa }{\oplus }}y)=\sin _{\kappa }(x)\cos _{\kappa }(y)+\cos _{\kappa }(x)\sin _{\kappa }(y)}$。

κ巡回正接関数とκ巡回余接関数は次のように表されます。

${\displaystyle \tan _{\kappa }(x)={\frac {\sin _{\kappa }(x)}{\cos _{\kappa }(x)}}}$

${\displaystyle \cot _{\kappa }(x)={\frac {\cos _{\kappa }(x)}{\sin _{\kappa }(x)}}}$。

κ巡回三角関数は古典極限では通常の三角関数になります。 ${\displaystyle \kappa \rightarrow 0}$

κ-逆巡回関数

カニアダキス逆巡回関数（または κ 逆巡回関数）は κ 対数に関連付けられます。

${\displaystyle {\rm {arcsin}}_{\kappa }(x)=-i\ln _{\kappa }\left({\sqrt {1-x^{2}}}+ix\right)}$、

${\displaystyle {\rm {arccos}}_{\kappa }(x)=-i\ln _{\kappa }\left({\sqrt {x^{2}-1}}+x\right)}$、

${\displaystyle {\rm {arctan}}_{\kappa }(x)=i\ln _{\kappa }\left({\sqrt {\frac {1-ix}{1+ix}}}\right)}$、

${\displaystyle {\rm {arccot}}_{\kappa }(x)=i\ln _{\kappa }\left({\sqrt {\frac {ix+1}{ix-1}}}\right)}$。

カニアダキス双曲三角法（または κ 双曲三角法）は、次式で与えられる κ 双曲正弦と κ 双曲余弦に基づいています。

${\displaystyle \sinh _{\kappa }(x)={\frac {\exp _{\kappa }(x)-\exp _{\kappa }(-x)}{2}}}$、

${\displaystyle \cosh _{\kappa }(x)={\frac {\exp _{\kappa }(x)+\exp _{\kappa }(-x)}{2}}}$、

ここでκ-オイラーの公式は

${\displaystyle \exp _{\kappa }(\pm x)=\cosh _{\kappa }(x)\pm \sinh _{\kappa }(x)}$。

κ-双曲正接関数とκ-双曲余接関数は次のように表されます。

${\displaystyle \tanh _{\kappa }(x)={\frac {\sinh _{\kappa }(x)}{\cosh _{\kappa }(x)}}}$

${\displaystyle \coth _{\kappa }(x)={\frac {\cosh _{\kappa }(x)}{\sinh _{\kappa }(x)}}}$。

κ-双曲型三角関数は、古典的な極限では通常の双曲型三角関数になります。 ${\displaystyle \kappa \rightarrow 0}$

κ-オイラーの公式と性質から、κ-双曲三角法の基本式は次のように与えられます。 ${\displaystyle \exp _{\kappa }(-x)\exp _{\kappa }(x)=1}$

${\displaystyle \cosh _{\kappa }^{2}(x)-\sinh _{\kappa }^{2}(x)=1}$

κ-逆双曲関数

カニアダキス逆双曲関数（または κ 逆双曲関数）は κ 対数に関連付けられます。

${\displaystyle {\rm {arcsinh}}_{\kappa }(x)=\ln _{\kappa }\left({\sqrt {1+x^{2}}}+x\right)}$、

${\displaystyle {\rm {arccosh}}_{\kappa }(x)=\ln _{\kappa }\left({\sqrt {x^{2}-1}}+x\right)}$、

${\displaystyle {\rm {arctanh}}_{\kappa }(x)=\ln _{\kappa }\left({\sqrt {\frac {1+x}{1-x}}}\right)}$、

${\displaystyle {\rm {arccoth}}_{\kappa }(x)=\ln _{\kappa }\left({\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}\right)}$、

以下の関係が有効です。

${\displaystyle {\rm {arcsinh}}_{\kappa }(x)={\rm {sign}}(x){\rm {arccosh}}_{\kappa }\left({\sqrt {1+x^{2}}}\right)}$、

${\displaystyle {\rm {arcsinh}}_{\kappa }(x)={\rm {arctanh}}_{\kappa }\left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)}$、

${\displaystyle {\rm {arcsinh}}_{\kappa }(x)={\rm {arccoth}}_{\kappa }\left({\frac {\sqrt {1+x^{2}}}{x}}\right)}$。

κ 巡回三角関数と κ 双曲三角関数は、次の関係で結びついています。

${\displaystyle {\rm {sin}}_{\kappa }(x)=-i{\rm {sinh}}_{\kappa }(ix)}$、

${\displaystyle {\rm {cos}}_{\kappa }(x)={\rm {cosh}}_{\kappa }(ix)}$、

${\displaystyle {\rm {tan}}_{\kappa }(x)=-i{\rm {tanh}}_{\kappa }(ix)}$、

${\displaystyle {\rm {cot}}_{\kappa }(x)=i{\rm {coth}}_{\kappa }(ix)}$、

${\displaystyle {\rm {arcsin}}_{\kappa }(x)=-i\,{\rm {arcsinh}}_{\kappa }(ix)}$、

${\displaystyle {\rm {arccos}}_{\kappa }(x)\neq -i\,{\rm {arccosh}}_{\kappa }(ix)}$、

${\displaystyle {\rm {arctan}}_{\kappa }(x)=-i\,{\rm {arctanh}}_{\kappa }(ix)}$、

${\displaystyle {\rm {arccot}}_{\kappa }(x)=i\,{\rm {arccoth}}_{\kappa }(ix)}$。

カニアダキス統計は、次のように定義されるカニアダキス κ エントロピーに基づいています。

${\displaystyle S_{\kappa }{\big (}p{\big )}=-\sum _{i}p_{i}\ln _{\kappa }{\big (}p_{i}{\big )}=\sum _{i}p_{i}\ln _{\kappa }{\bigg (}{\frac {1}{p_{i}}}{\bigg )}}$

ここで、はランダム変数に対して定義された確率分布関数であり、 はエントロピー指数です。 ${\displaystyle p=\{p_{i}=p(x_{i});x\in \mathbb {R} ;i=1,2,...,N;\sum _{i}p_{i}=1\}}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle 0\leq |\kappa |<1}$

カニアダキスκエントロピーは熱力学的およびレシェ安定であり^{[19] [20]}、連続性、最大性、一般化加法性、拡張可能性に関するシャノン-キンチン公理に従います。

カニアダキス分布（またはκ分布）は、適切な制約の下でカニアダキスエントロピーの最大化から導かれる確率分布です。この点で、実験的なべき乗法則の裾の統計分布に関連するさまざまな現象を分析するために、いくつかの確率分布が生まれます。

カニアダキスラプラス変換（またはκ-ラプラス変換）は、通常のラプラス変換のκ変形積分変換である。κ-ラプラス変換は、 実変数の 関数を複素周波数領域の新しい関数に変換し、複素変数で表される。このκ積分変換は次のように定義される。^[21]${\displaystyle f}$${\displaystyle t}$${\displaystyle F_{\kappa }(s)}$${\displaystyle s}$

${\displaystyle F_{\kappa }(s)={\cal {L}}_{\kappa }\{f(t)\}(s)=\int _{\,0}^{\infty }\!f(t)\,[\exp _{\kappa }(-t)]^{s}\,dt}$

逆κ-ラプラス変換は次のように表されます。

${\displaystyle f(t)={\cal {L}}_{\kappa }^{-1}\{F_{\kappa }(s)\}(t)={{\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }\!F_{\kappa }(s)\,{\frac {[\exp _{\kappa }(t)]^{s}}{\sqrt {1+\kappa ^{2}t^{2}}}}\,ds}}$

通常のラプラス変換とその逆変換は次のように復元されます。 ${\displaystyle \kappa \rightarrow 0}$

プロパティ

2つの関数と、それぞれのκ-ラプラス変換とがあるとすると、次の表はκ-ラプラス変換の主な性質を示す。^[21]${\displaystyle f(t)={\cal {L}}_{\kappa }^{-1}\{F_{\kappa }(s)\}(t)}$${\displaystyle g(t)={\cal {L}}_{\kappa }^{-1}\{G_{\kappa }(s)\}(t)}$${\displaystyle F_{\kappa }(s)}$${\displaystyle G_{\kappa }(s)}$

後者の表に示されている κ-ラプラス変換は、古典的な極限では対応する通常のラプラス変換に簡約されます。 ${\displaystyle \kappa \rightarrow 0}$

カニアダキスフーリエ変換（またはκ-フーリエ変換）は、κ-代数およびκ-計算と整合する通常のフーリエ変換のκ-変形積分変換である。κ-フーリエ変換は次のように定義される。 ^[22]

${\displaystyle {\cal {F}}_{\kappa }[f(x)](\omega )={1 \over {\sqrt {2\,\pi }}}\int \limits _{-\infty }\limits ^{+\infty }f(x)\,\exp _{\kappa }(-x\otimes _{\kappa }\omega )^{i}\,d_{\kappa }x}$

これは次のように書き直すことができる。

${\displaystyle {\cal {F}}_{\kappa }[f(x)](\omega )={1 \over {\sqrt {2\,\pi }}}\int \limits _{-\infty }\limits ^{+\infty }f(x)\,{\exp(-i\,x_{\{\kappa \}}\,\omega _{\{\kappa \}}) \over {\sqrt {1+\kappa ^{2}\,x^{2}}}}\,dx}$

ここで、およびです。κ-フーリエ変換は、 減衰係数に加えて パラメータおよびを変形することにより、漸近的に対数周期的な動作を課します。 ${\displaystyle x_{\{\kappa \}}={\frac {1}{\kappa }}\,{\rm {arcsinh}}\,(\kappa \,x)}$${\displaystyle \omega _{\{\kappa \}}={\frac {1}{\kappa }}\,{\rm {arcsinh}}\,(\kappa \,\omega )}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle {\sqrt {1+\kappa ^{2}\,x^{2}}}}$

κ-フーリエ変換のカーネルは次のように与えられます。

${\displaystyle h_{\kappa }(x,\omega )={\frac {\exp(-i\,x_{\{\kappa \}}\,\omega _{\{\kappa \}})}{\sqrt {1+\kappa ^{2}\,x^{2}}}}}$

逆κ-フーリエ変換は次のように定義される: ^[22]

${\displaystyle {\cal {F}}_{\kappa }[{\hat {f}}(\omega )](x)={1 \over {\sqrt {2\,\pi }}}\int \limits _{-\infty }\limits ^{+\infty }{\hat {f}}(\omega )\,\exp _{\kappa }(\omega \otimes _{\kappa }x)^{i}\,d_{\kappa }\omega }$

とすると、次の表はいくつかの注目すべき関数のκ-フーリエ変換を示している。^[22]${\displaystyle u_{\kappa }(x)={\frac {1}{\kappa }}\cosh {\Big (}\kappa \ln(x){\Big )}}$

κ 変形されたフーリエ変換は、次の表にまとめられているように、通常のフーリエ変換の主な特性を保持します。

後者の表に示されている κ-フーリエ変換の特性は、古典的な極限では対応する通常のフーリエ変換に還元されます。 ${\displaystyle \kappa \rightarrow 0}$

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