ブラウン橋

ブラウン橋は連続時間ガウス過程 B ( t ) であり、その確率分布は標準ウィーナー過程W ( t ) (ブラウン運動の数学的モデル) の条件付き確率分布であり、条件 (標準化時) W ( T ) = 0 に従うため、過程はt  = 0 とt  =  T の両方で同じ値に固定されます。より正確には、

${\displaystyle B_{t}:=(W_{t}\mid W_{T}=0),\;t\in [0,T]}$

区間 [0, T ] 内の任意のtにおけるブリッジの期待値は0 で、分散 です。これは、最も不確実性が高いのはブリッジの中央であり、ノードでは不確実性が 0 であることを意味します。B ( s )とB ( t )の共分散は、またはs  <  tの場合はs (T −  t )/Tです。ブラウン橋の増分は独立ではありません。 ${\displaystyle \textstyle {\frac {t(Tt)}{T}}}$${\displaystyle \min(s,t)-{\frac {s\,t}{T}}}$

が標準的なウィーナー過程（すなわち、 に対して、は期待値と分散で正規分布し、増分は定常かつ と独立） である場合、${\textstyle W(t)}$${\textstyle t\geq 0}$${\textstyle W(t)}$${\textstyle 0}$${\textstyle t}$

${\displaystyle B(t)=W(t)-{\frac {t}{T}}W(T)\,}$

はブラウン橋である。これは^[1]とは独立である。${\textstyle t\in [0,T]}$${\textstyle W(T)}$

逆に、が に対するブラウン橋であり、 がに依存しない標準正規確率変数である場合、プロセス ${\textstyle B(t)}$${\textstyle t\in [0,1]}$${\textstyle Z}$${\textstyle B}$

${\displaystyle W(t)=B(t)+tZ\,}$

は のウィーナー過程である。より一般的には、のウィーナー過程は次のように分解できる。 ${\textstyle t\in [0,1]}$${\textstyle W(t)}$${\textstyle t\in [0,T]}$

${\displaystyle W(t)={\sqrt {T}}B\left({\frac {t}{T}}\right)+{\frac {t}{\sqrt {T}}}Z.}$

ブラウン運動に基づくブラウン橋の別の表現は、${\textstyle t\in [0,T]}$

${\displaystyle B(t)={\frac {Tt}{\sqrt {T}}}W\left({\frac {t}{Tt}}\right).}$

逆に、${\textstyle t\in [0,\infty ]}$

${\displaystyle W(t)={\frac {T+t}{T}}B\left({\frac {Tt}{T+t}}\right).}$

ブラウン橋は、確率係数を持つフーリエ級数として表すこともできる。

${\displaystyle B_{t}=\sum _{k=1}^{\infty }Z_{k}{\frac {{\sqrt {2T}}\sin(k\pi t/T)}{k\pi }}}$

ここで、は独立した同一分布の標準正規乱数変数です（カルーネン・レーヴの定理を参照）。 ${\displaystyle Z_{1},Z_{2},\ldots }$

ブラウン橋は、経験的過程の分野におけるドンスカー定理の結果です。また、統計的推論の分野におけるコルモゴロフ・スミルノフ検定でも使用されます。

とすると、の累積分布関数は次のように与えられる^[2]。${\displaystyle K=\sup_{t\in[0,1]}|B(t)|}$${\textstyle K}$$${\displaystyle \operatorname {Pr} (K\leq x)=1-2\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}e^{-2k^{2} x^{2}}={\frac {\sqrt {2\pi }}{x}}\sum _{k=1}^{\infty }e^{-(2k-1)^{2}\pi ^{2}/(8x^{2})}.}$$

標準的なウィーナー過程はW (0) = 0 を満たすため、原点に「縛られて」いますが、他の点は制限されません。一方、ブラウン橋過程においては、B (0) = 0 であるだけでなく、 B ( T ) = 0 であることも要求されます。つまり、過程はt = Tでも「縛られて」います。文字通りの橋が両端で支柱で支えられているのと同じように、ブラウン橋は区間 [0, T ]の両端で条件を満たす必要があります。(少し一般化すると、B ( t ₁ ) =  aおよびB ( t ₂ ) =  bが要求されることがあります。ここで、t ₁、t ₂、aおよびbは既知の定数です。)

コンピュータシミュレーションによってウィーナー過程経路のいくつかの点W (0)、W (1)、W (2)、W (3) などを生成したとします。ここで、区間 [0, T ] 内の追加の点を埋めること、つまり、すでに生成された点W (0) とW ( T ) の間を補間することが望まれます。解決策は、値W (0) とW ( T )を通過するために必要なブラウン橋を使用することです。

W ( t ₁ ) = aかつW ( t ₂ ) = b の一般的なケースでは、時刻t  ∈ ( t ₁ ,  t ₂ )におけるBの分布は正規分布となり、平均

${\displaystyle a+{\frac {t-t_{1}}{t_{2}-t_{1}}}(ba)}$

および差異

${\displaystyle {\frac {(t_{2}-t)(t-t_{1})}{t_{2}-t_{1}}},}$

そして、B ( s ) とB ( t )の共分散は、 s  <  tの 場合、

${\displaystyle {\frac {(t_{2}-t)(s-t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}.}}$

• グラスマン、ポール（2004）。金融工学におけるモンテカルロ法。ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク。ISBN 0-387-00451-3。
• レヴズ、ダニエル。やあ、マーク (1999)。連続マーチンゲールとブラウン運動(第 2 版)。ニューヨーク: Springer-Verlag。ISBN 3-540-57622-3。