帰無仮説

科学研究 において、帰無仮説（H ₀と表記されることが多い）^[1]は、研究対象の効果が存在しないという主張である。 ^{[注 1]} 帰無仮説は、分析対象の2組のデータまたは変数の間に関係が存在しないという仮説とも言える。帰無仮説が正しい場合、実験的に観察される効果は偶然のみによるものなので、「帰無」という用語が使われる。帰無仮説とは対照的に、 2つの変数の間に関係が存在すると主張する対立仮説が立てられる。

帰無仮説を考える別の方法は、現在の「正常」の説明です。つまり、通常の状況では、状況「a」と状況「b」には何の関係もないと仮定します。しかし、状況「a」と状況「b」の間には特別な出来事が起きていることに気づいています。帰無仮説は、「状況「a」と状況「b」の間には何の関係もない」となります。

帰無仮説と対立仮説は、統計的推論を行うための統計的検定で使用される推測の一種であり、結論に到達し、科学的主張を統計的ノイズから分離するための正式な方法です。

統計的有意性検定で検定される主張は帰無仮説と呼ばれます。有意性検定は、帰無仮説、つまり「効果なし」または「差なし」という主張に対する証拠の強さを評価するために設計されています。^[2]これは、H ₀と表記されることが多いです。

帰無仮説に対して検定されるステートメントは対立仮説です。^{[2]記号には}H ₁やH _{a など}があります。

統計的有意性検定は、母集団からランダムに抽出したサンプルから始まります。サンプルデータが帰無仮説と一致する場合は帰無仮説を棄却しません。サンプルデータが帰無仮説と矛盾する場合は帰無仮説を棄却し、対立仮説が正しいと結論付けます。^[3]

次の例を考えてみましょう。男性と女性の 2 つのランダムサンプルのテスト スコアが与えられた場合、一方のグループのスコアは他方のグループよりも優れているでしょうか。考えられる帰無仮説は、男性の平均スコアが女性の平均スコアと同じであるというものです。

H ₀ : μ ₁ = μ ₂

どこ

H ₀ = 帰無仮説、

μ ₁ = 母集団1の平均、そして

μ ₂ = 母集団 2 の平均。

より強い帰無仮説は、2 つのサンプルのそれぞれの分布の分散と形状が等しいというものです。

単純な仮説

母集団の分布を完全に指定する仮説。このような仮説の場合、統計の標本分布はサンプル サイズのみの関数になります。

複合仮説

母集団の分布を完全には特定しない仮説。 ^[4]例: 指定された平均と指定されていない分散を持つ正規分布を特定する仮説。

単純/複合の区別はネイマンとピアソンによってなされた。^[5]

正確な仮説

正確なパラメータ値を指定する仮説。^[6]例: μ = 100。同義語:ポイント仮説。

不正確な仮説

パラメータの範囲または間隔を指定するもの。例: μ ≤ 100; 95 ≤ μ ≤ 105。

フィッシャーは検定に正確な帰無仮説を必要としました (以下の引用を参照)。

片側仮説（片側検定を用いて検定される）^[2]は、パラメータの値が次のいずれかとして指定される不正確な仮説である。

• 特定の値以上、または
• 特定の値以下または等しい。

片側仮説は方向性を持つと言われています。

フィッシャーの元の例 (お茶を味わう女性) は片側検定でした。帰無仮説は非対称でした。すべてのカップを正しく推測する確率は、すべてのカップを間違って推測する確率と同じでしたが、フィッシャーは、正しく推測することだけが女性の主張と一致すると指摘しました。

帰無仮説は、測定される量がゼロ（ヌル）であるというデフォルトの仮説です。通常、測定される量は2つの状況の差です。たとえば、効果が起こったという肯定的な証拠があるかどうか、またはサンプルが異なるバッチから派生したかどうかを判断しようとします。^{[7] [8]}

帰無仮説は、一般的には真である可能性があると想定されます。仮説を棄却または除外する方法を示すために、複数の分析を行うことができます。たとえば、高い信頼水準を持つことで、統計的に有意な差を実証できます。これは、ゼロが測定値の指定された信頼区間の外側、通常は実数内にあることを示すことによって実証されます。^[8]帰無仮説を（どのような信頼度でも）除外できなかったとしても、（証明できない）帰無仮説を論理的に確認または支持するものではありません。 (何かが、たとえばxより大きいことが証明された場合、それがxより小さいか等しい可能性が高いことを必ずしも意味するわけではありません。むしろ、精度の低い質の悪い測定である可能性があります。帰無仮説を両側で確認することは、それが 0 より大きいか等しいことを積極的に証明することと、それが 0 より小さいか等しいことを積極的に証明することに相当します。これは、無限の精度と正確にゼロの効果が必要なものであり、通常はどちらも現実的ではありません。また、測定は、正確にゼロの差の非ゼロの確率を示すことはありません。) したがって、帰無仮説の除外に失敗すると、指定された信頼レベルで「わからない」に相当します。データがすでに (それほど強くはないが) 帰無ではない兆候を示している可能性があるため、何らかの理由ですぐに帰無を意味するわけではありません。使用された信頼レベルは、除外に失敗した場合の帰無の可能性と絶対に確実に一致するわけではありません。実際、この場合、使用された信頼レベルが高いほど、まだ妥当な範囲 が広がります。

非帰無仮説は、著者によって、a)ゼロ以外の値が使用される、b)ゼロ以外のマージンが使用される、c) 「対立」仮説、などの意味を持つことがあります。^{[9] [10]}

帰無仮説を検定（除外するか除外しないか）すると、2 つの現象の間に関係がある（たとえば、潜在的な治療法がいずれにせよゼロではない効果を持つ）と信じるのに十分な統計的根拠がある（またはない）という証拠が得られます。帰無仮説を検定することは、現代の科学実践における統計的仮説検定の中心的なタスクです。特定の信頼水準で帰無仮説を除外するか除外しないかの明確な基準があります。信頼水準は、同じ側でより多くのより良いデータがあれば帰無仮説を除外できる可能性を示す必要があります。^[8]

帰無仮説の概念は、統計的推論に対する 2 つのアプローチで異なる方法で使用されています。ロナルド フィッシャーの有意性検定アプローチでは、帰無仮説が真であった場合に観測データが発生する可能性が有意に低い場合、帰無仮説は棄却されます。この場合、帰無仮説は棄却され、対立仮説が代わりに受け入れられます。データが帰無仮説と統計的に真である可能性があると一致する場合、帰無仮説は棄却されません。どちらの場合も、帰無仮説またはその対立仮説は証明されていません。より良いデータまたはより多くのデータがあれば、帰無仮説は依然として棄却される可能性があります。これは、合理的な疑いを超えて (統計的に有意な程度に) 有罪が証明されるまで (帰無仮説は棄却される)、容疑者または被告人は無罪であると推定される (帰無仮説は棄却されない) という法的原則に類似しています。^[8]

イェジ・ネイマンとエゴン・ピアソンの仮説検定アプローチでは、帰無仮説と対立仮説を対比し、2つの仮説をデータに基づいて一定の誤差率で区別します。これは、研究において答えを策定する際に使用されます。

統計的推論は、帰無仮説を使わずに、各候補仮説に対応する統計モデルを指定し、モデル選択技術を使用して最も適切なモデルを選択することによって行うことができます。^{[11] （最も一般的な選択技術は、}赤池情報量基準またはベイズ係数に基づいています）。

仮説検定では、偶然またはランダムなプロセスのみが結果の原因である場合にデータがどのようになるかについての統計モデルを構築する必要があります。偶然のみが結果の原因であるという仮説は帰無仮説と呼ばれます。ランダムプロセスの結果のモデルは帰無仮説の下の分布と呼ばれます。得られた結果は帰無仮説の下の分布と比較され、得られた結果が見つかる可能性が決定されます。^[12]

仮説検定は、ランダムに選択された代表サンプルを対象とした研究において、データを収集し、特定のデータセットがどの程度の確率で存在するかを測定する（帰無仮説が真であると仮定）ことによって機能します。帰無仮説は、サンプルが選択された母集団内の変数間に関係がないことを前提としています。[ 13 ^]

ランダムに選択された代表サンプルのデータ セットが帰無仮説 (まれにしか観察されないデータ セットのクラスの一部であると定義される) に比べて非常にありそうにない場合、実験者は帰無仮説を棄却し、それが (おそらく) 誤りであると結論付けます。このデータ セットのクラスは通常、検定統計量によって指定されます。検定統計量は、帰無仮説からの見かけの逸脱の程度を測定するように設計されています。この手順は、検定統計量によって測定された観察された逸脱が定義された値よりも大きいかどうかを評価することによって機能します。その結果、帰無仮説では、より極端な値の発生確率が小さくなります (通常、帰無仮説が成立する同様のデータ セットの 5% または 1% 未満)。

データが帰無仮説と矛盾しない場合は、弱い結論しか下せません。つまり、観測されたデータセットは帰無仮説に反する証拠が不十分であるということです。この場合、帰無仮説は真の場合もあれば偽の場合もあるため、状況によっては、データが結論を出すには証拠が不十分であると解釈され、他の状況では、現在有効な体制から別の体制に変更することを支持する証拠が不十分であると解釈されます。ただし、この時点で効果がありそうで、かつ/または効果が十分に大きい場合は、より大きなサンプルを実行するなど、さらに調査する動機があるかもしれません。

たとえば、ある薬は心臓発作のリスクを軽減するかもしれません。考えられる帰無仮説は、「この薬は心臓発作のリスクを軽減しない」または「この薬は心臓発作のリスクに影響しない」です。仮説の検定は、管理された実験として研究グループの半数の人々に薬を投与することから成ります。データが薬を投与された人々に統計的に有意な変化を示した場合、帰無仮説は棄却されます。

有意性検定には、1つ、2つ、またはそれ以上のサンプル、平均値、分散、割合、対になったデータまたは対になっていないデータ、異なる分布、大規模なサンプルまたは小規模なサンプルなど、多くの種類があり、すべて帰無仮説を持っています。また、有意性検定における帰無仮説の目標は少なくとも4つあります。^[14]

• 技術的な帰無仮説は、統計的仮定を検証するために使用されます。たとえば、データと統計モデル間の残差はランダムノイズと区別できません。これが正しい場合、モデルを複雑にする正当な理由はありません。
• 科学的な帰無仮説は、理論を直接的に前進させるために使用されます。たとえば、宇宙の角運動量はゼロです。これが真実でない場合、初期宇宙の理論を修正する必要があるかもしれません。
• 均質性の帰無仮説は、複数の実験が一貫した結果を生み出していることを確認するために使用されます。たとえば、高齢者に対する薬剤の効果は、一般成人人口に対する効果と一致しています。これが真実であれば、一般的な有効性の結論が強化され、使用に関する推奨が簡素化されます。
• 2 つ以上の代替治療法 (たとえば、薬物とプラセボ) の効果の同等性を主張する帰無仮説は、統計的ノイズに基づく科学的主張を減らすために使用されます。これは最も一般的な帰無仮説です。非常に一般的なため、有意なテストに関する多くの記述では、このような帰無仮説が前提とされています。

帰無仮説の棄却は、必ずしも有意性検定の真の目的ではありません。適切な統計モデルは帰無仮説の棄却に失敗する可能性があります。モデルは帰無仮説が棄却されなくなるまで調整されます。有意性検定のさまざまな用途はフィッシャーによく知られており、彼は帰無仮説を定義する10年前に書いた著書でその多くについて論じました。^[15]

統計的有意性検定は、信頼区間と多くの数学的共通点があります。これらは相互に啓発的です。関係の符号に信頼性がある場合 (区間に 0 が含まれない場合)、結果は多くの場合有意です。関係の符号が重要である場合は常に、統計的有意性は価値のある目標です。これにより、有意性検定の弱点も明らかになります。関係の強さを適切に推定しなくても結果は有意になる可能性があり、有意性は控えめな目標になることがあります。弱い関係でも、十分なデータがあれば有意性を達成できます。有意性と信頼区間の両方を報告することが一般的に推奨されます。

有意性検定のさまざまな用途により、すべてのアプリケーションについて行える一般化の数が減ります。

帰無仮説の選択は、まばらで一貫性のないアドバイスと関連している。フィッシャーは、選択に関する制約についてはほとんど言及しておらず、多くの帰無仮説を検討すべきであり、それぞれに対して多くの検定が可能であると述べた。適用範囲の広さと目標の多様性は、選択が複雑になる可能性があることを示唆している。多くの適用では、検定の定式化は伝統的である。利用可能な検定の範囲に精通していると、特定の帰無仮説と検定が提案される可能性がある。帰無仮説の定式化は自動化されていない（ただし、有意性検定の計算は通常自動化されている）。デビッド・コックスは、「主題の問題から統計モデルへの変換がどのように行われるかは、分析の最も重要な部分であることが多い」と述べた。^[16]

統計的有意性検定は、仮説を検定することを目的としています。仮説が一連のデータを要約するものである場合、そのデータ セットで仮説を検定しても意味がありません。例: 昨年の天気予報の調査で、ある地域で雨が主に週末に降ることが判明した場合、その帰無仮説を検定できるのは他の年の天気予報のみです。データによって示唆された仮説を検定することは、何も証明しない循環論法です。これは帰無仮説の選択に関する特別な制限です。

通常の手順は次のとおりです。科学的仮説から始めます。これを統計的対立仮説に変換して、次のように進めます。「H _{a は}証拠を見つけたい効果を表すため、多くの場合、H _aから始めて、期待される効果が存在しないというステートメントとしてH _{0 を}設定します。」 ^[2]このアドバイスは、帰無仮説に反する証拠を見つけたくないモデリングアプリケーションでは 逆になります。

複雑なケースの例は次の通りです。^[17]臨床研究のゴールド スタンダードは、ランダム化 プラセボ対照 二重盲検臨床試験です。しかし、新薬を (医学的に効果のない) プラセボと比較してテストすることは、深刻な病気に対しては非倫理的である可能性があります。新薬を、医学的に効果のある古い薬と比較してテストすることは、テストの目的と実験者の動機に関する基本的な哲学的問題を引き起こします。標準的な「差がない」という帰無仮説は、不十分なデータを収集した製薬会社に利益をもたらす可能性があります。「差」は、このケースではより適切な帰無仮説ですが、統計的有意性は、薬の有効性の適切な数値的推定を必要とする微妙な結論に達するための適切な基準ではありません。帰無仮説の「小さな」または「単純な」変更提案 ((新 vs 旧) ではなく (新 vs プラセボ)) は、複雑な非統計的理由により、テストの有用性に劇的な影響を及ぼす可能性があります。

_{帰無仮説（} H0 ）の選択と方向性の考慮（「片側検定」を参照）が重要です。

投げられたコインが公平であるかどうか (つまり、平均して 50% の確率で表が出る) という問題と、コインを 5 回投げる実験について考えてみましょう。ここで検討する実験の可能な結果は、5 回表が出ることです。結果は、その確率が有意しきい値 0.05 より低い場合、想定される分布に関してありそうにないと見なされます。

片側検定を暗示する潜在的な帰無仮説は、「このコインは表に偏っていない」です。この文脈では、「片側」という用語は、1 回のコイン投げの結果 (つまり、コインが「表」ではなく「裏」になるかどうか) を指すのではないことに注意してください。「片側」という用語は、帰無仮説を検定する特定の方法を指し、その方法では臨界領域 (「棄却領域」とも呼ばれます) が確率分布の片側のみに収まります。

実際、公平なコインの場合、この実験結果の確率は 1/2 ⁵ = 0.031 ですが、コインが裏に偏っている場合はさらに低くなります。したがって、観察結果は帰無仮説が成立するほど十分ではなく、テストによって帰無仮説が否定されます。コインは表面上は公平でも裏に偏っているわけでもないため、実験の結論はコインが表に偏っているということになります。

あるいは、両側検定を暗示する帰無仮説は「このコインは公平である」です。この 1 つの帰無仮説は、実験で裏または表が多すぎるかどうかを調べることで検証できます。この帰無仮説を反証する傾向のある結果は、表または裏が多数ある結果であり、表が 5 つあったこの実験は、このクラスに属すると思われます。

しかし、表か裏かに関わらず、同じ種類のコインを 5 回投げる確率は、表が 5 回出る確率の 2 倍です。したがって、この両側帰無仮説では、観測値の確率値は0.063 になります。したがって、片側検定で使用したのと同じ有意性しきい値 (0.05) では、同じ結果は統計的に有意ではありません。したがって、この場合は両側帰無仮説が維持され、コインは表に偏っているという片側帰無仮説で得られた結論は支持されません。

この例は、統計的検定から得られる結論が、帰無仮説と対立仮説の正確な定式化に依存する可能性があることを示しています。

フィッシャーは、「帰無仮説は正確で、曖昧さや不明瞭さがなくなければならない。なぜなら、帰無仮説は『分布の問題』の基礎を提供しなければならないからであり、その解決法は有意性検定である」と述べ、H ₀のより限定された領域を示唆している。^[18]この見解によれば、帰無仮説は数値的に正確でなければならない。つまり、特定の量または差が特定の数に等しいと述べなければならない。古典科学では、特定の処理の効果がないという主張が最も典型的であり、観察では、特定の測定変数の値と予測値の間に 差がないという主張が典型的である。

ほとんどの統計学者は、帰無仮説の一部として、または帰無仮説と対立仮説のペアの一部として方向性を述べることは有効であると考えています。^[19]しかし、その結果は実験のすべての結果を完全に説明したものではなく、単に特定の目的に合わせた単一の結果です。たとえば、新しい治療法の母集団平均が、母集団平均 = 10 （長年の経験からわかっている）の確立された治療法よりも改善されていると主張するH _{0 を}考えてみましょう。片側対立仮説は、新しい治療法の平均 > 10です。 xバーで得られたサンプル証拠が -200 で、対応する t 検定統計量が -50 の場合、検定からの結論は、新しい治療法が既存の治療法よりも優れているという証拠はない、つまり、著しく悪いとは報告されませんが、それはこの特定の検定で探しているものではありません。帰無仮説の検定結果を報告する際の曖昧さを回避するには、検定が両側検定であったかどうかを示し、片側検定であった場合は検定される効果の方向を含めることが最善です。

ここで扱う方向性の単純なケース、およびより複雑なケースを扱うために必要な統計理論では、不偏検定の概念を利用します。

仮説の方向性は必ずしも明らかではありません。フィッシャーの女性がお茶を味わう例の明示的な帰無仮説は、女性にはそのような能力がないというもので、対称的な確率分布につながりました。検定の片側の性質は、片側対立仮説 (フィッシャーは使用していない用語) から生じました。帰無仮説は暗黙的に片側になりました。女性の片側主張の論理的否定も片側でした (主張: 能力 > 0、明示された帰無: 能力 = 0、暗黙の帰無: 能力 ≤ 0)。

片側検定の使用に関する純粋な議論は、検定の種類が多様であるために複雑です。一部の検定 (たとえば、χ ²適合度検定) は本質的に片側検定です。一部の確率分布は非対称です。3 つ以上のグループを対象とした従来の検定は両側検定です。

片側仮説の使用に関するアドバイスは一貫しておらず、受け入れられている慣行は分野によって異なります。^[20]片側仮説に対する最大の反対意見は、その主観性の可能性です。有意でない結果が、片側仮説の使用によって有意な結果に変換される場合があります（公平なコインテストのように、アナリストの気まぐれで）。議論の裏側：片側テストは実際の効果を無視する可能性が低くなります。片側テストは、予測と符号が異なるデータの公表を抑制できます。客観性は、統計テストの開発者の目標でした。

片側仮説をデフォルトとして使用するのが一般的です。しかし、「事前に特定の方向性をしっかりと決めていない場合は、両側仮説を使用してください。さらに、統計の一部のユーザーは、常に両側仮説で作業するべきだと主張しています。」^{[2] [21]}

このアドバイスに代わる方法の1つは、3つの結果のテストを使用することです。この方法では、仮説の方向性に関する問題を、各方向で1回ずつ、計2回テストし、その結果を組み合わせて3つの可能な結果を​​生成することで排除します。^[22]このアプローチのバリエーションには歴史があり、1950年以来おそらく10回提案されています。^[23]

片側検定に関する意見の相違は、科学哲学から生じています。フィッシャーは、女性がすべてのお茶のカップを間違えるというあり得ないケースを無視する用意がありましたが (状況からすると適切だったかもしれません)、医学では、患者を死に至らしめる提案された治療法はあらゆる意味で重要であり、報告され、場合によっては説明されるべきであると考えています。統計報告の慣行が不十分なことが、片側検定に関する意見の相違の原因となっています。両側検定から得られる統計的有意性は、関係の符号には影響されません。有意性のみを報告するのは不十分です。「治療には効果がある」は、両側検定の有益でない結果です。「治療には有益な効果がある」は、片側検定のより有益な結果です。「治療には効果があり、平均入院日数が 1.5 日短縮される」は、両側有意性検定の結果と、治療と効果の関係の数値推定値を組み合わせた、最も有益な報告です。数値結果を明示的に報告すると、片側検定の哲学的利点が失われます。根本的な問題は、数値予測理論のない実験科学の適切な形態です。数値結果のモデルは、効果の兆候 (正、負、または未知) のモデルよりも有益であり、効果の兆候は、単純な有意性 (ゼロ以外または未知) のモデルよりも有益です。数値理論がない場合、兆候で十分な場合があります。

帰無仮説と対立仮説の歴史は統計検定の歴史と深い関係がある。^{[24] [25]}

• 1925 年以前: 過去数世紀に統計的検定の痕跡が時折見られ、これは帰無仮説の初期の例でした。19 世紀後半には統計的有意性が定義されました。20 世紀初頭には重要な確率分布が定義されました。ゴセットとピアソンは有意性検定の特定のケースに取り組みました。
• 1925年:フィッシャーは『研究者のための統計的方法』の初版を出版しました。この著書では統計的有意性検定が定義され、実験科学の多くで主流の分析方法となりました。このテキストには証明がなく、説明も乏しかったのですが、実際の例が満載でした。このテキストは、統計理論の出版よりはるかに先んじて、科学における統計的実践を位置づけました。
• 1933年:ネイマンとピアソンは、一連の論文（1928年から10年以上かけて発表）で、統計的仮説検定をフィッシャー検定の改良案として定義した。この論文では、対立仮説や、観測データを使用して検定される仮説としてのH _{0 （代替としてH 1}、H ₂ ...）など、統計的検定の用語の多くが提供された。^[5]
• 1935年：フィッシャーは『実験計画法』の初版を出版し、帰無仮説^[26]を（定義ではなく例示によって）導入し、実験結果の解釈の文脈における有意性検定の根拠を慎重に説明した。
• フィッシャーとネイマンは、1962年にフィッシャーが亡くなるまで、自分たちの競合する定式化の相対的な利点について言い争った。キャリアの変化と第二次世界大戦がネイマンとピアソンのパートナーシップを終わらせた。定式化は、比較的無名の教科書執筆者、実験者（ジャーナル編集者）、数理統計学者によって、フィッシャーまたはネイマンからの意見なしに統合された。^[24]今日、この主題は、ネイマンとピアソンの用語と説明力の多くを、フィッシャーによって提供された科学哲学と計算と組み合わせたものである。統計的検定が適切に1つの主題であるか2つの主題であるかは、依然として意見の相違の原因となっている。^[27] 2つのサンプル：1つのテキストでは、この主題を仮説検定と呼んでいるが（索引には有意性検定についての言及がない）、もう1つでは有意性検定と言っている（決定としての推論のセクションがある）。フィッシャーは、研究者が証拠を比較検討するための柔軟なツールとして有意性検定を開発した。代わりに、検定が制度化されている。統計的有意性は、多くの科学雑誌で実験結果を発表する際に厳格に定義され、強制される基準となっています。一部の分野では、有意性検定が統計分析の主流かつほぼ唯一の形式となっています。その結果、検定の限界が徹底的に研究されてきました。有意性検定に対する批判を集めた本が数多く出版されています。

• ベイズ係数
• 立証責任
• カウンターヌル
• 推定統計
• 尤度比検定
• 無罪推定
• 統計的仮説検定
• P値

• Ader, ハワイ州;メレンバーグ、GJ & ハンド、DJ (2007)。調査方法のアドバイス：コンサルタントの同行者。オランダ、ホイゼン: Johannes van Kessel Publishing。ISBN 978-90-79418-01-5。
• Efron, B. (2004). 「大規模同時仮説検定」.アメリカ統計学会誌. 99 (465): 96–104. doi :10.1198/016214504000000089. S2CID  1520711.この論文における有意性検定の適用は例外です。帰無仮説を見つけるための検定ですか? 有意性を示すのではなく、興味深い事例を見つけようとしているのですか?
• ライス、ウィリアム R.、ゲインズ、スティーブン D. (1994 年 6 月)。「『表が出れば私が勝ち、裏が出ればあなたが負け』：生態学と進化学の研究における方向性のある代替仮説の検証」。TREE . 9 (6): 235–237. doi :10.1016/0169-5347(94)90258-5. PMID  21236837。有向検定は、片側検定と両側検定の属性を組み合わせたものです。「データが H ₀から一方向にしか逸脱し得ない場合を除き、片側検定が以前に使用されていたほぼすべてのアプリケーションで有向検定を使用する必要があります。」

• HyperStat Online: 帰無仮説