定義 Z 1 、 ...、Z k が独立な 標準正規 確率変数である場合、それらの二乗の和は、 X = ∑ 私 = 1 k Z 私 2 、 {\displaystyle X\ =\sum _{i=1}^{k}Z_{i}^{2},} k のカイ二乗分布に従って分布します。
これは通常次のように表記されます。 X ～ χ 2 （ k ） または X ～ χ k 2 。 {\displaystyle X\ \sim \ \chi ^{2}(k)\ \ {\text{or}}\ \ X\ \sim \ \chi _{k}^{2}.}
カイ二乗分布には1つのパラメータがあります。それは、自由度 （合計される確率変数Z i k です。
確率密度関数 カイ二乗分布の確率密度関数（pdf ）は f （ x ; k ） = { x k / 2 − 1 e − x / 2 2 k / 2 Γ （ k 2 ） 、 x > 0 ; 0 、 さもないと 。 {\displaystyle f(x;\,k)={\begin{cases}{\dfrac {x^{k/2-1}e^{-x/2}}{2^{k/2}\,\Gamma {\left({\frac {k}{2}}\right)}}},&x>0;\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}} Γ （ k / 2 ） {\textstyle \Gamma (k/2)} はガンマ関数 を表し、整数に対して閉形式の値をとる。k {\displaystyle k} 。
1、2、およびの場合のpdfの導出についてk {\displaystyle k} カイ二乗分布に関連する証明を 参照してください。
累積分布関数 自由度10のカイ二乗確率変数のCDF とテール(1-CDF)のチェルノフ境界(k = 10 {\displaystyle k=10} その累積分布関数は 次のとおりです。 F （ x ; k ） = γ （ k 2 、 x 2 ） Γ （ k 2 ） = P （ k 2 、 x 2 ） 、 {\displaystyle F(x;\,k)={\frac {\gamma {\left({\frac {k}{2}},\,{\frac {x}{2}}\right)}}{\Gamma {\left({\frac {k}{2}}\right)}}}=P{\left({\frac {k}{2}},\,{\frac {x}{2}}\right)},} γ （ s 、 t ） {\displaystyle \gamma (s,t)} は下側の不完全ガンマ関数 であり、P （ s 、 t ） {\textstyle P(s,t)} は正則化されたガンマ関数 です。
特別なケースではk = 2 {\displaystyle k=2} F （ x ; 2 ） = 1 − e − x / 2 {\displaystyle F(x;\,2)=1-e^{-x/2}} f （ x ; 2 ） = 1 2 e − x / 2 {\textstyle f(x;\,2)={\frac {1}{2}}e^{-x/2}} F （ x ; k ） {\displaystyle F(x;\,k)} k {\displaystyle k}
カイ二乗累積分布関数の表は広く入手可能であり、この関数は多くの表計算ソフト やすべての統計パッケージ に含まれています。
賃貸z ≡ x / k {\displaystyle z\equiv x/k} チェルノフ境界が得られる可能性がある。 [ 11 ] 0 < z < 1 {\displaystyle 0<z<1} F （ z k ; k ） ≤ （ z e 1 − z ） k / 2 。 {\displaystyle F(zk;\,k)\leq (ze^{1-z})^{k/2}.}
テールは、z > 1 {\displaystyle z>1} 1 − F （ z k ; k ） ≤ （ z e 1 − z ） k / 2 。 {\displaystyle 1-F(zk;\,k)\leq (ze^{1-z})^{k/2}.}
ガウス分布の3乗をモデルとしたCDFの別の近似については、 「非心カイ二乗分布」 の項を参照してください。
物件
以下は、コックランの定理の特殊な場合である。
定理。 もしZ 1 、 。 。 。 、 Z n {\displaystyle Z_{1},...,Z_{n}} 独立 同分布（iid）の標準正規 確率変数 である場合、∑ t = 1 n （ Z t − Z ¯ ） 2 ～ χ n − 1 2 {\textstyle \sum _{t=1}^{n}\left(Z_{t}-{\bar {Z}}\right)^{2}\sim \chi _{n-1}^{2}} Z ¯ = 1 n ∑ t = 1 n Z t 。 {\textstyle {\bar {Z}}={\frac {1}{n}}\sum _{t=1}^{n}Z_{t}.}
非中心モーメント カイ二乗分布の非中心モーメント（生モーメント）は、k {\displaystyle k} [ 12 ] [ 13 ]で与えられます。 E （ X m ） = k （ k + 2 ） （ k + 4 ） ⋯ （ k + 2 m − 2 ） = 2 m Γ （ m + k 2 ） Γ （ k 2 ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (X^{m})&=k(k+2)(k+4)\cdots (k+2m-2)\\[1ex]&=2^{m}{\frac {\Gamma {\left(m+{\frac {k}{2}}\right)}}{\Gamma {\left({\frac {k}{2}}\right)}}}.\end{aligned}}}
キュムラント 特性関数の対数を べき級数 展開することで、キュムラントを 容易に得ることができる。κ n = 2 n − 1 （ n − 1 ） ! k {\displaystyle \kappa _{n}=2^{n-1}(n-1)!\,k} キュムラント生成関数 を用いてln E [ e t X ] = − k 2 ln （ 1 − 2 t ） {\textstyle \ln \operatorname {E} [e^{tX}]=-{\frac {k}{2}}\ln(1-2t)}
としてk → ∞ {\displaystyle k\to \infty } （ χ k 2 − k ） / 2 k → d N （ 0 、 1 ） {\displaystyle (\chi _{k}^{2}-k)/{\sqrt {2k}}~{\xrightarrow {d}}\ N(0,1)\,} 正規分布 ） χ k 2 ～ χ ′ k 2 （ 0 ） {\displaystyle \chi _{k}^{2}\sim {\chi '}_{k}^{2}(0)} 非心カイ二乗分布） λ = 0 {\displaystyle \lambda =0} もしY ～ F （ ν 1 、 ν 2 ） {\displaystyle Y\sim \mathrm {F} (\nu _{1},\nu _{2})} X = リム ν 2 → ∞ ν 1 Y {\displaystyle X=\lim _{\nu _{2}\to \infty }\nu _{1}Y} χ ν 1 2 {\displaystyle \chi _{\nu _{1}}^{2}} 特別なケースとして、Y ～ F （ 1 、 ν 2 ） {\displaystyle Y\sim \mathrm {F} (1,\nu _{2})\,} X = リム ν 2 → ∞ Y {\displaystyle X=\lim _{\nu _{2}\to \infty }Y\,} χ 1 2 {\displaystyle \chi _{1}^{2}} ‖ N 私 = 1 、 … 、 k （ 0 、 1 ） ‖ 2 ～ χ k 2 {\displaystyle \left\|{\boldsymbol {N}}_{i=1,\ldots ,k}(0,1)\right\|^{2}\sim \chi _{k}^{2}} （ k 個の標準正規分布変数の二乗ノルムは、 自由度 k のカイ二乗分布となる。）もしX ～ χ ν 2 {\displaystyle X\sim \chi _{\nu }^{2}\,} c > 0 {\displaystyle c>0\,} c X ～ Γ （ k = ν / 2 、 θ = 2 c ） {\displaystyle cX\sim \Gamma (k=\nu /2,\theta =2c)\,} ガンマ分布 ） もしX ～ χ k 2 {\displaystyle X\sim \chi _{k}^{2}} X ～ χ k {\displaystyle {\sqrt {X}}\sim \chi _{k}} カイ二乗分布 ） もしX ～ χ 2 2 {\displaystyle X\sim \chi _{2}^{2}} X ～ exp （ 1 / 2 ） {\displaystyle X\sim \operatorname {exp} (1/2)} は指数分布 です。（詳しくはガンマ分布を 参照してください。） もしX ～ χ 2 k 2 {\displaystyle X\sim \chi _{2k}^{2}} X ～ アーラン （ k 、 1 / 2 ） {\displaystyle X\sim \operatorname {Erlang} (k,1/2)} Erlangディストリビューション です。 もしX ～ アーラン （ k 、 λ ） {\displaystyle X\sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda )} 2 λ X ～ χ 2 k 2 {\displaystyle 2\lambda X\sim \chi _{2k}^{2}} もしX ～ レイリー （ 1 ） {\displaystyle X\sim \operatorname {Rayleigh} (1)\,} レイリー分布 ）X 2 ～ χ 2 2 {\displaystyle X^{2}\sim \chi _{2}^{2}\,} もしX ～ マックスウェル （ 1 ） {\displaystyle X\sim \operatorname {Maxwell} (1)\,} マクスウェル分布 ）X 2 ～ χ 3 2 {\displaystyle X^{2}\sim \chi _{3}^{2}\,} もしX ～ χ ν 2 {\displaystyle X\sim \chi _{\nu }^{2}} 1 X ～ 私 n v - χ ν 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim \operatorname {Inv-} \chi _{\nu }^{2}\,} 逆カイ二乗分布 ） カイ二乗分布は、タイプIIIピアソン分布の特殊なケースである。 もしX ～ χ ν 1 2 {\displaystyle X\sim \chi _{\nu _{1}}^{2}\,} Y ～ χ ν 2 2 {\displaystyle Y\sim \chi _{\nu _{2}}^{2}\,} X X + Y ～ ベータ （ ν 1 2 、 ν 2 2 ） {\displaystyle {\tfrac {X}{X+Y}}\sim \operatorname {Beta} ({\tfrac {\nu _{1}}{2}},{\tfrac {\nu _{2}}{2}})\,} ベータ分布 ） もしX ～ U （ 0 、 1 ） {\displaystyle X\sim \operatorname {U} (0,1)\,} 一様分布 ）− 2 ログ （ X ） ～ χ 2 2 {\displaystyle -2\log(X)\sim \chi _{2}^{2}\,} もしX 私 ～ ラプラス （ μ 、 β ） {\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {Laplace} (\mu ,\beta )\,} ∑ 私 = 1 n 2 | X 私 − μ | β ～ χ 2 n 2 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {2|X_{i}-\mu |}{\beta }}\sim \chi _{2n}^{2}\,} もしX 私 {\displaystyle X_{i}} パラメータが一般化正規分布 （バージョン1）に従うμ 、 α 、 β {\displaystyle \mu ,\alpha ,\beta } ∑ 私 = 1 n 2 | X 私 − μ | β α ～ χ 2 n / β 2 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {2|X_{i}-\mu |^{\beta }}{\alpha }}\sim \chi _{2n/\beta }^{2}\,} [ 20 ] カイ二乗分布はパレート分布の変形である スチューデントのt分布は カイ二乗分布の変形である。スチューデントのt分布は、 カイ二乗分布と正規分布から得られる。 非心ベータ分布は、カイ二乗分布と 非心カイ二乗分布 の変換として得られる。 非心t分布は 正規分布とカイ二乗分布から得られる。 カイ二乗変数k {\displaystyle k} k {\displaystyle k} 標準正規 確率変数。
もしY {\displaystyle Y} k {\displaystyle k} μ {\displaystyle \mu } k {\displaystyle k} C {\displaystyle C} X = （ Y − μ ） T C − 1 （ Y − μ ） {\displaystyle X=(Y-\mu )^{\mathsf {T}}C^{-1}(Y-\mu )} k {\displaystyle k}
平均がゼロではない、 統計的に独立な 単位分散のガウス変数の二乗和は、非心カイ二乗分布 と呼ばれるカイ二乗分布の一般化をもたらします。
もしY {\displaystyle Y} k {\displaystyle k} iid 標準正規確率変数とA {\displaystyle A} k × k {\displaystyle k\times k} 対称かつ 冪等な行列 で、ランクは k − n {\displaystyle k-n} 二次形式 Y T A Y {\displaystyle Y^{\mathsf {T}}\!AY} k − n {\displaystyle k-n}
もしΣ {\displaystyle \Sigma } p × p {\displaystyle p\times p} X ～ N （ 0 、 Σ ） {\displaystyle X\sim N(0,\Sigma )} w {\displaystyle w} p {\displaystyle p} X {\displaystyle X} w 1 + ⋯ + w p = 1 {\displaystyle w_{1}+\cdots +w_{p}=1} w 私 ≥ 0 、 私 = 1 、 … 、 p 、 {\displaystyle w_{i}\geq 0,i=1,\ldots ,p,} [ 18 ]
1 w ～ T Σ w ～ ～ χ 1 2 。 {\displaystyle {\frac {1}{{\tilde {w}}^{\mathsf {T}}\Sigma {\tilde {w}}}}\sim \chi _{1}^{2}.} w ～ = （ w 1 / X 1 、 … 、 w p / X p ） {\displaystyle {\tilde {w}}=(w_{1}/X_{1},\dots ,w_{p}/X_{p})}
カイ二乗分布は、ガウス分布から生じる他の分布とも自然に関連しています。特に、
Y {\displaystyle Y} F分布に 従う、Y ～ F （ k 1 、 k 2 ） {\displaystyle Y\sim F(k_{1},k_{2})} Y = X 1 / k 1 X 2 / k 2 {\displaystyle Y={\frac {{X_{1}}/{k_{1}}}{{X_{2}}/{k_{2}}}}} X 1 ～ χ k 1 2 {\displaystyle X_{1}\sim \chi _{k_{1}}^{2}} X 2 ～ χ k 2 2 {\displaystyle X_{2}\sim \chi _{k_{2}}^{2}} もしX 1 ～ χ k 1 2 {\displaystyle X_{1}\sim \chi _{k_{1}}^{2}} X 2 ～ χ k 2 2 {\displaystyle X_{2}\sim \chi _{k_{2}}^{2}} X 1 + X 2 ～ χ k 1 + k 2 2 {\displaystyle X_{1}+X_{2}\sim \chi _{k_{1}+k_{2}}^{2}} X 1 {\displaystyle X_{1}} X 2 {\displaystyle X_{2}} X 1 + X 2 {\displaystyle X_{1}+X_{2}}
一般化 カイ二乗分布は、k個 の独立な、平均値0、分散1のガウス型確率変数の二乗和として得られます。この分布の一般化は、他の種類のガウス型確率変数の二乗和によって得られます。そのような分布のいくつかを以下に説明します。
線形結合 もしX 1 、 … 、 X n {\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}} 1 1 、 … 、 1 n ∈ R > 0 {\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {R} _{>0}} X = ∑ 私 = 1 n 1 私 X 私 {\textstyle X=\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}} これは一般化カイ二乗分布 の特殊なケースです。この分布の閉じた表現は知られていません。しかし、カイ二乗確率変数の特性関数の性質を利用して効率的に近似することができます。 [ 21 ]
カイ二乗分布
非心カイ二乗分布 非心カイ二乗分布は、単位分散とゼロでない 平均値を持つ独立なガウス型確率変数の二乗和から得られる。
一般化カイ二乗分布 一般化カイ二乗分布は、z'Az という 二次形式から得られます。ここで、z は任意の共分散行列を持つ平均ゼロのガウスベクトルであり、A は任意の行列です。
発生と応用 The chi-squared distribution has numerous applications in inferential statistics , for instance in chi-squared tests and in estimating variances . It enters the problem of estimating the mean of a normally distributed population and the problem of estimating the slope of a regression line via its role in Student's t-distribution . It enters all analysis of variance problems via its role in the F-distribution , which is the distribution of the ratio of two independent chi-squared random variables , each divided by their respective degrees of freedom.
Following are some of the most common situations in which the chi-squared distribution arises from a Gaussian-distributed sample.
if X 1 , . . . , X n {\displaystyle X_{1},...,X_{n}} i.i.d. N ( μ , σ 2 ) {\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})} random variables , then ∑ i = 1 n ( X i − X ¯ ) 2 ∼ σ 2 χ n − 1 2 {\textstyle \sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}\sim \sigma ^{2}\chi _{n-1}^{2}} X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n X i {\textstyle {\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}} The box below shows some statistics based on X i ∼ N ( μ i , σ i 2 ) , i = 1 , … , k {\displaystyle X_{i}\sim N(\mu _{i},\sigma _{i}^{2}),i=1,\ldots ,k} The chi-squared distribution is also often encountered in magnetic resonance imaging .[ 22]
Computational methods
χ 2 p The p {\textstyle p} at least as extreme in a chi-squared distribution. Accordingly, since the cumulative distribution function (CDF) for the appropriate degrees of freedom (df) gives the probability of having obtained a value less extreme than this point, subtracting the CDF value from 1 gives the p -value. A low p -value, below the chosen significance level, indicates statistical significance , i.e., sufficient evidence to reject the null hypothesis. A significance level of 0.05 is often used as the cutoff between significant and non-significant results.
The table below gives a number of p -values matching to χ 2 {\displaystyle \chi ^{2}}
これらの値は、カイ二乗分布の分位関数（「逆 CDF」または「ICDF」とも呼ばれる）を評価することによって計算できます。 [ 24 ] p = 0.05 、df = 7の χ 2 ICDF は、上の表のように2.1673 ≈ 2.17 になります。ここで、 1 – p p 値 であることに注意してください。
歴史 この分布は、ドイツの測地学者で統計学者のフリードリヒ・ロベルト・ヘルメルト が1875年から1876年にかけて発表した論文[ 26 ] ヘルメルト分布 （「ヘルメルト的」）または「ヘルメルト分布」として知られていた。
この分布は、適合度の 観点からイギリスの数学者カール・ピアソン によって独自に再発見され、彼はピアソンのカイ二乗検定 を開発し、1900 年に発表しました。計算された値の表は( Elderton 1902 )に掲載され、 ( Pearson 1914 、pp. xxxi–xxxiii、26–28、表 XII) にまとめられています。「カイ二乗」という名前は、最終的には、多変量正規分布 の指数をギリシャ文字のカイ で表すピアソンの略記法に由来し、現代の表記法では− 1 ⁄ 2 x T Σ −1 x Σ は共分散行列 )と表されるものを− 1 ⁄ 2 χ 2 と [ 27 ]
参考文献 ↑ MA Sanders. 「中心カイ二乗分布の特性関数」(PDF) 。2011年7月15日にオリジナル(PDF)からアーカイブ済み。 2009年3月6日 に取得 。 ↑ Weisstein, Eric W. 「カイ二乗分布」 . mathworld.wolfram.com . 2024年10月11日 取得 。 ↑ アブラモウィッツ、ミルトン ； ステガン、アイリーン ・アン編（1983年）[1964年6月]。 「第26章」 。 『数式、グラフ、数表付き数学関数ハンドブック』 。応用数学シリーズ。第 55巻（第10版（1972年12月）の修正を加えた第9版再版；初版 ）。ワシントンDC；ニューヨーク：米国商務省国立標準局；ドーバー出版。940 ページ 。ISBN 978-0-486-61272-0 . LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 . ↑ NIST (2006).エンジニアリング統計ハンドブック – カイ二乗分布 1 2 3 Johnson, NL; Kotz, S.; Balakrishnan, N. (1994). "Chi-Square Distributions including Chi and Rayleigh". Continuous Univariate Distributions . Vol. 1 (Second ed.). John Wiley and Sons. pp. 415–493 . ISBN 978-0-471-58495-7 。↑ Mood, Alexander; Graybill, Franklin A.; Boes, Duane C. (1974). Introduction to the Theory of Statistics (Third ed.). McGraw-Hill. pp. 241–246 . ISBN 978-0-07-042864-5 。↑ 「カイ二乗分布」 (PDF) . レジャイナ大学 . ↑ ウェストフォール、ピーター H. (2013). 高度な統計的手法の理解 . フロリダ州ボカラトン: CRC Press. ISBN 978-1-4665-1210-8 。↑ Ramsey, PH (1988). "二項検定の正規近似の評価". Journal of Educational Statistics . 13 (2): 173– 82. doi : 10.2307/1164752 . JSTOR 1164752 . 1 2 ランカスター、HO（1969）、 『カイ二乗分布』 、ワイリー ↑ Dasgupta, Sanjoy DA; Gupta, Anupam K. (2003 年 1 月). "ジョンソンとリンデンシュトラウスの定理の初等的証明" (PDF) . Random Structures and Algorithms . 22 (1): 60– 65. doi : 10.1002/rsa.10073 . S2CID 10327785 . 2012 年 5 月 1 日 に取得. ↑ カイ二乗分布、 MathWorld より、2009年2月11日取得 ↑ MK Simon、『ガウス型確率変数を含む確率分布』 、ニューヨーク：Springer、2002年、式（2.35）、 ISBN 978-0-387-34657-1 ↑ Laurent, B.; Massart, P. (2000-10-01). "モデル選択による二次関数の適応的推定" . The Annals of Statistics . 28 (5). doi : 10.1214/aos/1015957395 . ISSN 0090-5364 . S2CID 116945590 . ↑ MIT 18.S096 (2015年秋学期): データサイエンスの数学トピックス、講義5、ジョンソン＝リンデンシュトラウスの補題とゴードンの定理 ↑ Box、Hunter、Hunter (1978) 『実験者のための統計学』 Wiley、p. 118 、 ISBN 978-0-471-09315-2 。↑ Bartlett, MS; Kendall, DG (1946). "分散の不均一性と対数変換の統計分析". Journal of the Royal Statistical Society 補遺 . 8 (1): 128– 138. doi : 10.2307/2983618 . JSTOR 2983618 . 1 2 Pillai, Natesh S. (2016). "An unexpected encounter with Cauchy and Lévy". Annals of Statistics . 44 (5): 2089–2097 . arXiv : 1505.01957 . doi : 10.1214 /15-aos1407 . S2CID 31582370 . ↑ Wilson, EB; Hilferty, MM (1931). "The distribution of chi-squared" . Proc. Natl. Acad. Sci. USA . 17 (12): 684–688 . Bibcode : 1931PNAS...17..684W . doi : 10.1073 /pnas.17.12.684 . PMC 1076144. PMID 16577411 . ↑ Bäckström, T.; Fischer, J. (2018 年 1 月). "音声およびオーディオの分散型低ビットレート符号化のための高速ランダム化" (PDF) . IEEE/ACM Transactions on Audio, Speech, and Language Processing . 26 (1): 19– 30. doi : 10.1109/TASLP.2017.2757601 . S2CID 19777585 . ↑ Bausch, J. (2013). "On the Efficient Calculation of a Linear Combination of Chi-Square Random Variables with an Application in Counting String Vacua". J. Phys. A: Math. Theor . 46 (50) 505202. arXiv : 1208.2691 . Bibcode : 2013JPhA...46X5202B . doi : 10.1088/1751-8113/46/50/505202 . S2CID 119721108 . ↑ den Dekker, AJ; Sijbers, J. (2014). "磁気共鳴画像におけるデータ分布：レビュー" . Physica Medica . 30 (7): 725– 741. doi : 10.1016/j.ejmp.2014.05.002 . ↑ カイ二乗検定（ 2013年11月18日、 Wayback Machine に アーカイブ済み）表B.2。ペンシルベニア州立大学のジャクリーン・S・マクラフリン博士。引用元：RAフィッシャーおよびF・イェーツ著『生物学的、農業的、医学的研究のための統計表』第6版、表IV。2つの値が修正され、7.82は7.81に、4.60は4.61に修正された。 ↑ 「カイ二乗分布 | Rチュートリアル」 。www.r- tutor.com 。 ↑ FR Helmert 、「 Ueber die Wahrscheinlichkeit der Potenzsummen der Beobachtungsfehler und über einige damit im Zusammenhange stehende Fragen」、 Zeitschrift für Mathematik und Physik 21、1876、pp. 192–219↑ RL Plackett、「カール・ピアソンとカイ二乗検定 」、International Statistical Review、1983年、 61f。Jeff Miller、 「数学用語の最も初期の使用例」 も参照。
情報源 ハルド、アンダース （1998）。1750年から1930年までの数理統計学の歴史 。ニューヨーク：ワイリー。ISBN 978-0-471-17912-2 。エルダートン、ウィリアム・パリン （1902）。「理論と観察の適合度をテストするための表」。バイオメトリカ 。1 （ 2）：155–163。doi ：10.1093 / biomet /1.2.155。Pearson, Karl (1914). 「2 つの独立した頻度分布が実際には同じ母集団のサンプルである確率について、特にトリパノソーマ株の同一性に関する最近の研究に言及して」Biometrika . 10 : 85– 154. doi : 10.1093/biomet/10.1.85 .
さらに読む クレイ、ヘンリー （1852）。専門家のためのカイ二乗検定ガイド（確率と統計） 。ワシントンDC：アシュランド。ISBN 978-0-060173-22-7 。「カイ二乗分布」、数学百科事典
外部リンク 数学用語の初期の使用例：カイ二乗の項目には簡単な歴史があります イェール大学統計学101の授業におけるカイ二乗適合度検定に関する講義ノート。 Mathematicaに よる、正規分布母集団における様々な統計量（例：Σ x ²）のカイ二乗標本分布を示すデモンストレーションポケット電卓でカイ二乗分布の累積分布関数と逆累積分布関数を近似する簡単なアルゴリズム カイ二乗分布の値
![{\displaystyle \sum _{t=1}^{n}(Z_{t}-{\bar {Z}})^{2}~=~\sum _{t=1}^{n}Z_{t}^{2}-n{\bar {Z}}^{2}~=~Z^{\top }[1\!\!1-{\textstyle {\frac {1}{n}}}{\bar {1}}{\bar {1}}^{\top }]Z~=:~Z^{\top }\!MZ}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a75244295aa75ce536257678c26cc1ca3976824f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}h&=\int _{0}^{\infty }f(x;\,k)\ln f(x;\,k)\,dx\\&={\frac {k}{2}}+\ln \left[2\,\Gamma {\left({\frac {k}{2}}\right)}\right]+\left(1-{\frac {k}{2}}\right)\psi \!\left({\frac {k}{2}}\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51c33d2d4fcd8983e7ce18623330e3a73ef15c59)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (X^{m})&=k(k+2)(k+4)\cdots (k+2m-2)\\[1ex]&=2^{m}{\frac {\Gamma {\left(m+{\frac {k}{2}}\right)}}{\Gamma {\left({\frac {k}{2}}\right)}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b318812179bce25d8a3067152f0b01429438134d)
![{\textstyle \ln \operatorname {E} [e^{tX}]=-{\frac {k}{2}}\ln(1-2t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6884afdfb79df907845ca7ce5492713bc22f696c)
![\displaystyle \Pr \left(\left\|Z\right\|^{2}\in \left[k-2k^{1/2+\alpha },\;k+2k^{1/2+\alpha }+2k^{\alpha }\right]\right)\geq 1-e^{-k^{\alpha }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07062f35fca43106197f6cdae440c2dab87dac9b)
![{\textstyle {\sqrt[{3}]{X/k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39b7bd4a293993f0087965fe7f65764a941f40d5)
