97.5パーセンタイルポイント

確率と統計学において、標準正規分布の97.5 パーセンタイル点は、統計計算でよく使用される数値です。この数値のおおよその値は1.96で、正規曲線の下の領域の 95% が平均値の約 1.96標準偏差以内にあることを意味します。中心極限定理により、この数値はおおよそ 95%信頼区間の構築に使用されます。この数値が広く使用されているのは、科学や頻度主義統計学において 95% の確率で信頼区間を使用するという恣意的ではあるが一般的な慣習によるものですが、他の確率 (90%、99% など) が使用されることもあります。^{[1] [2] [3] [4]}この慣習は特に医療統計学で一般的なようですが、^{[5] [6] [7]地球科学、 [8]}社会科学、ビジネス研究などの他の応用分野でも一般的です。^[9]

この数値には単一の正式な名前はありません。97.5 パーセンタイル ポイント、.975 ポイント、またはその近似値 1.96 に対して、「標準正規偏差」、「正規スコア」、または「Z スコア」と呼ばれることもあります。

Xが標準正規分布に従う場合、つまりX ~ N(0,1) の場合、

${\displaystyle \mathrm {P} (X>1.96)\approx 0.025,\,}$

${\displaystyle \mathrm {P} (X<1.96)\approx 0.975,\,}$

正規分布は対称なので、

${\displaystyle \mathrm {P} (-1.96<X<1.96)\approx 0.95.\,}$

この数値の表記法の一つはz _.975である。^[10]標準正規分布の確率密度関数から、 z _.975の正確な値は次のように決定される。

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-z_{.975}}^{z_{.975}}e^{-x^{2}/2}\,\mathrm {d} x=0.95.}$

その平方は約 3.84146 で、自由度 1 のカイ 2 乗分布の 95 パーセンタイル点であり、2×2分割表のテストによく使用されます。

応用統計学におけるこの数字の使用は、1925 年に最初に出版されたロナルド フィッシャーの古典的な教科書「研究者のための統計的方法」の影響にまで遡ることができます。

「P = .05、つまり20分の1となる値は1.96、つまりほぼ2である。この点を、偏差が有意であるかどうかを判断する際の限界としてとらえると便利である。」^[11]

同著の表1では、より正確な値1.959964が示されている。^{[12] 1970年には、}小数点以下 20桁に切り捨てられた値は次のように計算された。

1.95996 39845 40054 23552... ^{[13] [14]}

したがって、一般的に使用される近似値 1.96 は 50,000 分の 1 よりも精度が高く、応用作業には十分すぎるほどです。

1.96の代わりに2という値を使用し、95.4%信頼区間を95%信頼区間として報告する人もいます。これは推奨されませんが、時々見られます。^[15]

標準正規CDFの逆関数を使用して値を計算できます。以下は、よく使用されるアプリケーションで 1.96 を返す関数呼び出しの表です。

• 誤差の範囲
• プロビット
• 基準範囲
• 標準誤差（統計）
• 68–95–99.7 ルール

• ガードナー、マーティン J;アルトマン、ダグラス G編 (1989)、統計学の信頼性、BMJ Books、ISBN 978-0-7279-0222-1