正規分布

正規分布

確率密度関数 赤い曲線は標準正規分布です。
累積分布関数
表記	${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$
パラメータ	${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$=平均(位置) =分散( 二乗スケール) ${\displaystyle \sigma ^{2}\in \mathbb {R} _{>0}}$
サポート	${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$
PDF	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$
ドイツ連邦共和国	${\displaystyle \Phi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]}$
クォンタイル	${\displaystyle \mu +\sigma {\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1)}$
平均	${\displaystyle \mu}$
中央値	${\displaystyle \mu}$
モード	${\displaystyle \mu}$
分散	${\displaystyle \sigma ^{2}}$
狂った	${\displaystyle \sigma {\sqrt {2/\pi }}}$
歪度	${\displaystyle 0}$
過剰尖度	${\displaystyle 0}$
エントロピ	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\log(2\pi e\sigma ^{2})}$
MGF の	${\displaystyle \exp(\mu t+\sigma ^{2}t^{2}/2)}$
CF	${\displaystyle \exp(i\mu t-\sigma ^{2}t^{2}/2)}$
フィッシャー情報	${\displaystyle {\mathcal {I}}(\mu ,\sigma )={\begin{pmatrix}1/\sigma ^{2}&0\\0&2/\sigma ^{2}\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}(\mu ,\sigma ^{2})={\begin{pmatrix}1/\sigma ^{2}&0\\0&1/(2\sigma ^{4})\end{pmatrix}}}$
カルバック・ライブラー距離	${\displaystyle {1 \over 2}\left\{\left({\frac {\sigma _{0}}{\sigma _{1}}}\right)^{2}+{\frac {(\mu _{1}-\mu _{0})^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}-1+\ln {\sigma _{1}^{2} \over \sigma _{0}^{2}}\right\}}$
予想される不足額	${\displaystyle \mu -\sigma {\frac {{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{\frac {-\left(q_{p}\left({\frac {X-\mu }{\sigma }}\right)\right)^{2}}{2}}}{1-p}}}$[1]

確率論と統計学において、正規分布またはガウス分布は、実数値のランダム変数に対する連続確率分布の一種である。その確率密度関数の一般的な形式は^[要出典]である 。 $${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,.}$$

パラメータは分布の平均または期待値（および中央値と最頻値）であり、パラメータは分散です。分布の標準偏差は（シグマ）です。ガウス分布のランダム変数は正規分布していると言われ、正規偏差と呼ばれます。 ${\textstyle \mu }$${\textstyle \sigma ^{2}}$${\textstyle \sigma }$

正規分布は統計学において重要であり、分布が不明な実数値のランダム変数を表すために自然科学や社会科学でよく使用されます。 ^{[2] [3]正規分布の重要性は、}中心極限定理に一部起因しています。中心極限定理は、ある条件下では、有限の平均と分散を持つランダム変数の多数のサンプル（観測値）の平均は、それ自体がランダム変数であり、その分布はサンプル数が増えるにつれて正規分布に収束することを述べています。したがって、測定誤差などの多くの独立したプロセスの合計であると予想される物理量は、ほぼ正規分布になることがよくあります。^[4]

さらに、ガウス分布には、分析研究において価値のあるいくつかのユニークな特性があります。たとえば、独立した正規偏差の固定された集合の任意の線形結合は、正規偏差です。不確実性の伝播や最小二乗法^[5]パラメータフィッティングなどの多くの結果と方法は、関連する変数が正規分布している場合、明示的な形式で分析的に導くことができます。

正規分布は非公式にはベル曲線と呼ばれることもあります。^[6]しかし、他の多くの分布もベル曲線です（コーシー分布、スチューデントのt分布、ロジスティック分布など）。（他の名前については命名を参照してください。）

単変量確率分布は、多変量正規分布のベクトルと行列正規分布の行列に対して一般化されます。

正規分布の最も単純なケースは、標準正規分布または単位正規分布として知られています。これは、およびの場合の特殊なケースであり、次の確率密度関数（または密度）によって記述されます。 変数の平均は 0、分散と標準偏差は 1 です。密度はでピークを持ち、およびで変曲点を持ちます。 ${\textstyle \mu =0}$${\textstyle \sigma ^{2}=1}$$${\displaystyle \varphi (z)={\frac {e^{\frac {-z^{2}}{2}}}{\sqrt {2\pi }}}\,.}$$${\textstyle z}$${\textstyle \varphi (z)}$${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$${\textstyle z=0}$${\textstyle z=+1}$${\textstyle z=-1}$

上記の密度は標準正規分布として最もよく知られていますが、他のバージョンの正規分布を説明するためにこの用語を使用している著者もいます。たとえば、 カール・フリードリヒ・ガウスはかつて標準正規分布を⁠ ⁠ の分散を持つと定義し、スティーブン・スティグラー^[7]はかつて標準正規分布を ⁠ ⁠ の単純な関数形式で分散を持つと定義しました。$${\displaystyle \varphi (z)={\frac {e^{-z^{2}}}{\sqrt {\pi }}},}$$${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$$${\displaystyle \varphi (z)=e^{-\pi z^{2}},}$$${\textstyle \sigma ^{2}={\frac {1}{2\pi }}.}$

すべての正規分布は標準正規分布のバージョンであり、その定義域は係数(標準偏差)によって引き伸ばされ、次に係数 (平均値) によって変換されます。 ${\textstyle \sigma }$${\textstyle \mu }$

$${\displaystyle f(x\mid \mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{\sigma }}\varphi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)\,.}$$

確率密度は、積分が 1 のままになるようにスケーリングする必要があります。 ${\textstyle 1/\sigma }$

が標準正規偏差である場合、 は期待値と標準偏差の正規分布を持ちます。これは、標準正規分布をの係数で拡大/縮小し、 だけシフトして、と呼ばれる別の正規分布を生成できるということと同じです。逆に、 がパラメータおよびの正規偏差である場合、この分布は、式 によって再拡大縮小およびシフトされ、標準正規分布に変換されます。この変量は の標準化された形式とも呼ばれます。 ${\textstyle Z}$${\textstyle X=\sigma Z+\mu }$${\textstyle \mu }$${\textstyle \sigma }$${\textstyle Z}$${\textstyle \sigma }$${\textstyle \mu }$${\textstyle X}$${\textstyle X}$${\textstyle \mu }$${\textstyle \sigma ^{2}}$${\textstyle X}$${\textstyle Z=(X-\mu )/\sigma }$${\textstyle X}$

標準ガウス分布（平均ゼロ、分散1の標準正規分布）の確率密度は、ギリシャ文字の（ファイ）で表されることが多い。^[8]ギリシャ文字ファイの代替形である もよく使われる。 ${\textstyle \phi }$${\textstyle \varphi }$

正規分布はしばしばまたはと呼ばれる。^[9]したがって、ランダム変数が平均と標準偏差で正規分布している場合、次のように書くことができる。 ${\textstyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$${\textstyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$${\textstyle X}$${\textstyle \mu }$${\textstyle \sigma }$

$${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2}).}$$

分布の幅を定義するパラメータとして、標準偏差や分散の代わりに精度 を使うことを提唱する著者もいる。精度は通常、分散の逆数として定義される。[ ^10]分布の式は次のようになる。 ${\textstyle \tau }$${\textstyle \sigma }$${\textstyle \sigma ^{2}}$${\textstyle 1/\sigma ^{2}}$

$${\displaystyle f(x)={\sqrt {\frac {\tau }{2\pi }}}e^{-\tau (x-\mu )^{2}/2}.}$$

この選択は、 がゼロに非常に近い場合の数値計算で利点があり、多変量正規分布を持つ変数のベイズ推定などのいくつかのコンテキストで式を簡素化すると主張されています。 ${\textstyle \sigma }$

あるいは、標準偏差の逆数を精度として定義すると、正規分布の式は次のようになる。 ${\textstyle \tau '=1/\sigma }$

$${\displaystyle f(x)={\frac {\tau '}{\sqrt {2\pi }}}e^{-(\tau ')^{2}(x-\mu )^{2}/2}.}$$

スティグラーによれば、この定式化は、式がはるかに単純で覚えやすく、分布の 分位数の近似式が単純であるため有利です。

正規分布は、自然パラメータおよび、自然統計量xおよびx ²を持つ指数族を形成します。正規分布の双対期待パラメータは、η ₁ = μおよびη ₂ = μ ² + σ ²です。 ${\textstyle \textstyle \theta _{1}={\frac {\mu }{\sigma ^{2}}}}$${\textstyle \textstyle \theta _{2}={\frac {-1}{2\sigma ^{2}}}}$

標準正規分布の累積分布関数（CDF）は、通常ギリシャ文字の大文字で表記され、積分である。 ${\textstyle \Phi }$

$${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-t^{2}/2}\,dt\,.}$$

関連する誤差関数は 、平均 0 および分散 1/2 の正規分布に従うランダム変数が範囲 に入る確率を与えます。つまり、 ${\textstyle \operatorname {erf} (x)}$${\textstyle [-x,x]}$

$${\displaystyle \operatorname {erf} (x)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{-x}^{x}e^{-t^{2}}\,dt={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt\,.}$$

これらの積分は初等関数では表現できず、特殊関数と呼ばれることが多い。しかし、多くの数値近似が知られている。詳細については以下を参照。

2つの機能は密接に関連しており、

$${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right]\,.}$$

密度、平均、分散を持つ一般的な正規分布の場合、累積分布関数は ${\textstyle f}$${\textstyle \mu }$${\textstyle \sigma ^{2}}$

$${\displaystyle F(x)=\Phi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]\,.}$$

標準正規累積分布関数の補関数は、特に工学の教科書ではQ関数と呼ばれることが多い。 ^{[11] [12]}これは、標準正規乱数変数の値がを超える確率を与える。関数の他の定義（すべて の単純な変換）も時々使用される。^[13]${\textstyle Q(x)=1-\Phi (x)}$${\textstyle X}$${\textstyle x}$${\textstyle P(X>x)}$${\textstyle Q}$${\textstyle \Phi }$

標準正規累積分布関数のグラフは、点(0,1/2)を中心に2回回転対称性を持ちます。つまり、 です。その不定積分は次のように表すことができます。 ${\textstyle \Phi }$${\textstyle \Phi (-x)=1-\Phi (x)}$$${\displaystyle \int \Phi (x)\,dx=x\Phi (x)+\varphi (x)+C.}$$

標準正規分布の累積分布関数は、部分積分によって級数に展開できます。

$${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot e^{-x^{2}/2}\left[x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{3\cdot 5}}+\cdots +{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!!}}+\cdots \right]\,.}$$

ここで は二重階乗を表します。 ${\textstyle !!}$

大きなxに対する累積分布関数の漸近展開も部分積分を使って導くことができる。詳しくは誤差関数#漸近展開を参照のこと。^[14]

標準正規分布の累積分布関数の近似値は、テイラー級数近似を使用して簡単に求めることができます。

$${\displaystyle \Phi (x)\approx {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}x^{(2k+1)}}{2^{k}k!(2k+1)}}\,.}$$

導関数族の再帰的性質は、分布の既知の値の任意の点についての再帰的要素を使用して、急速に収束するテイラー級数展開を簡単に構築するために使用できます。 ${\textstyle e^{ax^{2}}}$${\textstyle \Phi (x_{0})}$

$${\displaystyle \Phi (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Phi ^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}\,,}$$

どこ：

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi ^{(0)}(x_{0})&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x_{0}}e^{-t^{2}/2}\,dt\\\Phi ^{(1)}(x_{0})&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-x_{0}^{2}/2}\\\Phi ^{(n)}(x_{0})&=-\left(x_{0}\Phi ^{(n-1)}(x_{0})+(n-2)\Phi ^{(n-2)}(x_{0})\right),&n\geq 2\,.\end{aligned}}}$$

上記のテイラー級数展開の応用として、ニュートン法を使用して計算を逆にすることができます。つまり、累積分布関数の値が分かっているが、を取得するために必要な x が分からない場合は、ニュートン法を使用して x を見つけ、上記のテイラー級数展開を使用して計算回数を最小限に抑えることができます。ニュートン法は、 の 1 次導関数 (正規標準分布の積分) が正規標準分布であり、ニュートン法のソリューションですぐに使用できるため、この問題を解決するのに最適です。 ${\textstyle \Phi (x)}$${\textstyle \Phi (x)}$${\textstyle \Phi (x)}$

解決するには、目的の に対する既知の近似解 を選択してください。 は分布表の値、または任意の計算方法を使用して を計算した後のインテリジェントな推定値である可能性があります。 のこの値と上記のテイラー級数展開を使用して、計算を最小限に抑えます。 ${\textstyle x_{0}}$${\textstyle \Phi (x)}$${\textstyle x_{0}}$${\textstyle \Phi (x_{0})}$${\textstyle x_{0}}$

計算されたと目的の の差 （ と呼ぶ）が、10 ⁻⁵、10 ⁻¹⁵などの許容できる小さな誤差より小さくなるまで、次のプロセスを繰り返します。 ${\textstyle \Phi (x_{n})}$${\textstyle \Phi }$${\textstyle \Phi ({\text{desired}})}$

$${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {\Phi (x_{n},x_{0},\Phi (x_{0}))-\Phi ({\text{desired}})}{\Phi '(x_{n})}}\,,}$$

どこ

${\textstyle \Phi (x,x_{0},\Phi (x_{0}))}$は、テイラー級数解からであり、${\textstyle \Phi (x)}$${\textstyle x_{0}}$${\textstyle \Phi (x_{0})}$

$${\displaystyle \Phi '(x_{n})={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-x_{n}^{2}/2}\,.}$$

繰り返し計算が、選択された許容可能な小さい値以下の誤差に収束すると、x は目的の値のa を取得するために必要な値になります。 ${\textstyle \Phi (x)}$${\textstyle \Phi ({\text{desired}})}$

正規分布から抽出された値の約68%は平均値から1標準偏差σ以内にあり、約95%は2標準偏差以内にあり、約99.7%は3標準偏差以内にあります。^{[6]この事実は}、68-95-99.7（経験的）ルール、または3シグマルールとして知られています。

より正確には、正規分布が から までの範囲にある確率はで与えられます 。 12 桁の有効数字の場合、 の値は次のようになります。 ${\textstyle \mu -n\sigma }$${\textstyle \mu +n\sigma }$$${\displaystyle F(\mu +n\sigma )-F(\mu -n\sigma )=\Phi (n)-\Phi (-n)=\operatorname {erf} \left({\frac {n}{\sqrt {2}}}\right).}$$${\textstyle n=1,2,\ldots ,6}$

が大きい場合は、近似値 を使用できます。 ${\textstyle n}$${\textstyle 1-p\approx {\frac {e^{-n^{2}/2}}{n{\sqrt {\pi /2}}}}}$

分布の分位関数は、累積分布関数の逆です。標準正規分布の分位関数はプロビット関数と呼ばれ、逆誤差関数で表すことができます。 平均と分散 の正規ランダム変数の場合、分位関数 は です。標準正規分布の分位は通常 と表されます 。これらの値は、仮説検定、信頼区間の構築、Q-Q プロットで使用されます。正規ランダム変数はの確率で を超え、の確率で区間外になります。特に、分位点は1.96であるため、正規ランダム変数が区間外になるのは 5% のケースのみです。 $${\displaystyle \Phi ^{-1}(p)={\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1),\quad p\in (0,1).}$$${\textstyle \mu }$${\textstyle \sigma ^{2}}$$${\displaystyle F^{-1}(p)=\mu +\sigma \Phi ^{-1}(p)=\mu +\sigma {\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1),\quad p\in (0,1).}$$ ${\textstyle \Phi ^{-1}(p)}$${\textstyle z_{p}}$${\textstyle X}$${\textstyle \mu +z_{p}\sigma }$${\textstyle 1-p}$${\textstyle \mu \pm z_{p}\sigma }$${\textstyle 2(1-p)}$${\textstyle z_{0.975}}$${\textstyle \mu \pm 1.96\sigma }$

次の表は、指定された確率で範囲に入る分位数を示しています。これらの値は、正規分布（または漸近正規分布）を持つサンプル平均やその他の統計的推定値の許容区間を決定するのに役立ちます。^[15]次の表は、上記の定義とは異なります。 ${\textstyle z_{p}}$${\textstyle X}$${\textstyle \mu \pm z_{p}\sigma }$${\textstyle p}$${\textstyle {\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(p)=\Phi ^{-1}\left({\frac {p+1}{2}}\right)}$${\textstyle \Phi ^{-1}(p)}$

が小さい場合、分位関数は有用な漸近展開を持つ^[要出典]${\textstyle p}$ ${\textstyle \Phi ^{-1}(p)=-{\sqrt {\ln {\frac {1}{p^{2}}}-\ln \ln {\frac {1}{p^{2}}}-\ln(2\pi )}}+{\mathcal {o}}(1).}$

正規分布は、最初の2つ（つまり、平均と分散以外）を超えるキュムラントがゼロになる唯一の分布です。また、指定された平均と分散に対して最大エントロピーを持つ連続分布でもあります。^{[16] [17]} Gearyは、平均と分散が有限であると仮定すると、独立した抽出セットから計算された平均と分散が互いに独立している分布は正規分布のみであることを示しました。^{[18] [19]}

正規分布は楕円分布のサブクラスです。正規分布は平均に関して対称で、実数線全体にわたって非ゼロです。そのため、人の体重や株価など、本質的に正または大きく歪んだ変数には適したモデルではない場合があります。このような変数は、対数正規分布やパレート分布などの他の分布によってより適切に説明される場合があります。

正規密度の値は、平均値から数標準偏差以上離れている場合、実質的にゼロになります (たとえば、3 標準偏差の広がりは、分布全体の 0.27% を除くすべてをカバーします)。したがって、外れ値 (平均値から多くの標準偏差離れた値) がかなりの割合で存在すると予想される場合、このモデルは適切ではない可能性があります。また、正規分布する変数に最適な最小二乗法やその他の統計的推論法は、そのようなデータに適用すると、信頼性が非常に低くなることがよくあります。このような場合は、より裾の重い分布を想定し、適切な堅牢な統計的推論法を適用する必要があります。 ${\textstyle x}$

ガウス分布は、平均や分散が有限であるかどうかに関係なく、独立した同一分布の和のアトラクターである安定分布のファミリーに属します。極限の場合であるガウスを除いて、すべての安定分布は重い裾と無限の分散を持ちます。これは、安定しており、解析的に表現できる確率密度関数を持つ数少ない分布の 1 つであり、他の分布はコーシー分布とレヴィ分布です。

密度（平均と分散）を持つ正規分布には、次の特性があります。 ${\textstyle f(x)}$${\textstyle \mu }$${\textstyle \sigma ^{2}>0}$

• これは分布の最頻値、中央値、平均値である点を中心に対称である。 ^[20]${\textstyle x=\mu ,}$
• これは単峰性であり、1次導関数はに対しては正、に対しては負で、 に対してのみゼロである。${\textstyle x<\mu ,}$${\textstyle x>\mu ,}$${\textstyle x=\mu .}$
• 曲線と- 軸によって囲まれた領域は 1 です (つまり 1 に等しい)。${\textstyle x}$
• その一次導関数は${\textstyle f'(x)=-{\frac {x-\mu }{\sigma ^{2}}}f(x).}$
• その2次導関数は${\textstyle f''(x)={\frac {(x-\mu )^{2}-\sigma ^{2}}{\sigma ^{4}}}f(x).}$
• その密度には2つの変曲点（2次導関数がゼロで符号が変わる点）があり、平均値から1標準偏差離れたところ、つまりとにある[ ^20]${\textstyle f}$${\textstyle x=\mu -\sigma }$${\textstyle x=\mu +\sigma .}$
• その密度は対数凹面である。^[20]
• その密度は無限に微分可能であり、実際2次の超滑らかさである^。[21]

さらに、標準正規分布の密度（つまり、および）には次の特性もあります。 ${\textstyle \varphi }$${\textstyle \mu =0}$${\textstyle \sigma =1}$

• その一次導関数は${\textstyle \varphi '(x)=-x\varphi (x).}$
• その2次導関数は${\textstyle \varphi ''(x)=(x^{2}-1)\varphi (x)}$
• より一般的には、そのn次導関数はn次（確率論的）エルミート多項式である。^[22]${\textstyle \varphi ^{(n)}(x)=(-1)^{n}\operatorname {He} _{n}(x)\varphi (x),}$${\textstyle \operatorname {He} _{n}(x)}$
• 正規分布する変数が既知であり、特定のセット内にある確率は、分数が標準正規分布に従うという事実を使用して計算できます。${\textstyle X}$${\textstyle \mu }$${\textstyle \sigma ^{2}}$${\textstyle Z=(X-\mu )/\sigma }$

変数の単純モーメントと絶対モーメントは、それぞれとの期待値です。の期待値がゼロの場合、これらのパラメータは中心モーメントと呼ばれます。それ以外の場合は、これらのパラメータは非中心モーメントと呼ばれます。通常、整数次 のモーメントのみを対象とします。 ${\textstyle X}$${\textstyle X^{p}}$${\textstyle |X|^{p}}$${\textstyle \mu }$${\textstyle X}$${\textstyle \ p}$

が正規分布に従う場合、非中心モーメントは存在し、実部が−1より大きい任意のものに対して有限である。任意の非負整数 に対して、単純中心モーメントは次のようになる。^[23] ここで は二重階乗、つまり から1 までのすべての数の積で と同じ偶奇性を持つものの積を表す。${\textstyle X}$${\textstyle p}$${\textstyle p}$ $${\displaystyle \operatorname {E} \left[(X-\mu )^{p}\right]={\begin{cases}0&{\text{if }}p{\text{ is odd,}}\\\sigma ^{p}(p-1)!!&{\text{if }}p{\text{ is even.}}\end{cases}}}$$${\textstyle n!!}$${\textstyle n}$${\textstyle n.}$

中心絶対モーメントはすべての偶数次数では平モーメントと一致するが、奇数次数ではゼロではない。任意の非負整数に対して${\textstyle p,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[|X-\mu |^{p}\right]&=\sigma ^{p}(p-1)!!\cdot {\begin{cases}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}&{\text{if }}p{\text{ is odd}}\\1&{\text{if }}p{\text{ is even}}\end{cases}}\\&=\sigma ^{p}\cdot {\frac {2^{p/2}\Gamma \left({\frac {p+1}{2}}\right)}{\sqrt {\pi }}}.\end{aligned}}}$$ 最後の式は、任意の非整数に対しても有効である。平均が、平積率と絶対積率を合流型超幾何関数で表すことができる場合、^[24]${\textstyle p>-1.}$${\textstyle \mu \neq 0,}$ ${\textstyle {}_{1}F_{1}}$${\textstyle U.}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[X^{p}\right]&=\sigma ^{p}\cdot (-i{\sqrt {2}})^{p}U\left(-{\frac {p}{2}},{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right),\\\operatorname {E} \left[|X|^{p}\right]&=\sigma ^{p}\cdot 2^{p/2}{\frac {\Gamma \left({\frac {1+p}{2}}\right)}{\sqrt {\pi }}}{}_{1}F_{1}\left(-{\frac {p}{2}},{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right).\end{aligned}}}$$

これらの式は、 が整数でない場合でも有効です。一般化エルミート多項式も参照してください。 ${\textstyle p}$

区間内にあるイベントを条件とするの期待値は で与えられます 。 ここで、 と はそれぞれ の密度と累積分布関数です。これは逆ミルズ比として知られています。上記では、逆ミルズ比のように標準正規密度の代わりに の密度が使用されていることに注意してください。そのため、ここではの代わりに が使用されています。 ${\textstyle X}$${\textstyle X}$${\textstyle [a,b]}$$${\displaystyle \operatorname {E} \left[X\mid a<X<b\right]=\mu -\sigma ^{2}{\frac {f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}}\,,}$$${\textstyle f}$${\textstyle F}$${\textstyle X}$${\textstyle b=\infty }$${\textstyle f}$${\textstyle X}$${\textstyle \sigma ^{2}}$${\textstyle \sigma }$

平均と分散を持つ正規密度のフーリエ変換は^[25]${\textstyle f}$${\textstyle \mu }$${\textstyle \sigma ^{2}}$

$${\displaystyle {\hat {f}}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-itx}\,dx=e^{-i\mu t}e^{-{\frac {1}{2}}(\sigma t)^{2}}\,,}$$

ここで、 は虚数単位です。平均 の場合、最初の因子は 1 であり、フーリエ変換は、定数因子を除けば、平均 0 および分散 の周波数領域上の正規密度です。特に、標準正規分布はフーリエ変換の 固有関数です。${\textstyle i}$${\textstyle \mu =0}$${\textstyle 1/\sigma ^{2}}$${\textstyle \varphi }$

確率論では、実数値ランダム変数の確率分布のフーリエ変換は、その変数の特性関数と密接に関係しており、特性関数は、実変数（フーリエ変換の周波数パラメータ）の関数としての の期待値として定義されます。この定義は、複素数値変数 に解析的に拡張できます。^[26]両者の関係は次のとおりです。 ${\textstyle X}$ ${\textstyle \varphi _{X}(t)}$${\textstyle e^{itX}}$${\textstyle t}$${\textstyle t}$$${\displaystyle \varphi _{X}(t)={\hat {f}}(-t)\,.}$$

実数ランダム変数のモーメント生成関数は、実パラメータの関数としてのの期待値です。密度、平均、分散を持つ正規分布の場合、モーメント生成関数が存在し、次の式に等しくなります。 ${\textstyle X}$${\textstyle e^{tX}}$${\textstyle t}$${\textstyle f}$${\textstyle \mu }$${\textstyle \sigma ^{2}}$

$${\displaystyle M(t)=\operatorname {E} \left[e^{tX}\right]={\hat {f}}(it)=e^{\mu t}e^{\sigma ^{2}t^{2}/2}\,.}$$任意の⁠ ⁠${\displaystyle k}$ について、モーメント生成関数 ( ⁠ ⁠の指数級数として表される) における⁠ ⁠${\displaystyle t^{k}/k!}$の係数は、正規分布の期待値⁠ ⁠です。 ${\displaystyle t}$${\displaystyle E[X^{k}]}$

キュムラント母関数はモーメント母関数の対数であり、すなわち

$${\displaystyle g(t)=\ln M(t)=\mu t+{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}\,.}$$

この指数級数の係数はキュムラントを定義しますが、これは ⁠ ⁠${\displaystyle t}$の二次多項式であるため、最初の 2 つのキュムラント、つまり平均 と分散 ⁠ ⁠のみがゼロ以外になります。 ${\textstyle \mu }$${\displaystyle \sigma ^{2}}$

一部の著者は、代わりに特性関数 E[ e ^itX ] = e ^{iμt − σ 2 t 2 /2}およびln E[ e ^itX ] = iμt − ⁠で作業することを好む。1/2⁠ σ ² t ²。

スタイン法では、スタイン演算子とランダム変数のクラスは 、すべての絶対連続関数のクラスです。 ${\textstyle X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$${\textstyle {\mathcal {A}}f(x)=\sigma ^{2}f'(x)-(x-\mu )f(x)}$${\textstyle {\mathcal {F}}}$${\textstyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} {\mbox{ such that }}\mathbb {E} [|f'(X)|]<\infty }$

がゼロに近づく極限では、確率密度は最終的に任意の でゼロに近づきますが、 の場合は積分が 1 のままである間、無制限に増加します。したがって、の場合、正規分布は通常の関数として定義することはできません。 ${\textstyle \sigma ^{2}}$${\textstyle f(x)}$${\textstyle x\neq \mu }$${\textstyle x=\mu }$${\textstyle \sigma ^{2}=0}$

しかし、分散ゼロの正規分布を一般化関数として定義することができます。具体的には、平均 によって変換されたディラックのデルタ関数 として、つまり です。 その累積分布関数は、平均 によって変換されたヘヴィサイドのステップ関数であり、つまり ${\textstyle \delta }$${\textstyle \mu }$${\textstyle f(x)=\delta (x-\mu ).}$${\textstyle \mu }$$${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<\mu \\1&{\text{if }}x\geq \mu \,.\end{cases}}}$$

指定された有限平均と有限分散を 持つ実数上のすべての確率分布の中で、正規分布は最大エントロピーを持つ分布です。^[27]これを確認するには、確率密度を持つ連続ランダム変数を とします。 のエントロピーは次のように定義されます。^{[28] [29] [30]}${\textstyle \mu }$${\textstyle \sigma ^{2}}$${\textstyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$${\textstyle X}$ ${\textstyle f(x)}$${\textstyle X}$ $${\displaystyle H(X)=-\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ln f(x)\,dx\,,}$$

ここで、は常にゼロであると理解されます。 この関数は、分布が適切に正規化され、指定された平均と分散を持つという制約の下で、変分法 を使用することで最大化できます。 3 つのラグランジュ乗数を持つ関数が定義されます。 ${\textstyle f(x)\log f(x)}$${\textstyle f(x)=0}$

$${\displaystyle L=-\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ln f(x)\,dx-\lambda _{0}\left(1-\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx\right)-\lambda _{1}\left(\mu -\int _{-\infty }^{\infty }f(x)x\,dx\right)-\lambda _{2}\left(\sigma ^{2}-\int _{-\infty }^{\infty }f(x)(x-\mu )^{2}\,dx\right)\,.}$$

エントロピーが最大になると、についての小さな変化によってが 0 になる 変化が生成されます。${\textstyle \delta f(x)}$${\textstyle f(x)}$${\textstyle \delta L}$${\textstyle L}$

$${\displaystyle 0=\delta L=\int _{-\infty }^{\infty }\delta f(x)\left(-\ln f(x)-1+\lambda _{0}+\lambda _{1}x+\lambda _{2}(x-\mu )^{2}\right)\,dx\,.}$$

これは任意の小さな に対して成り立つため、 を乗じる係数はゼロでなければならず、 を解くと次のようになります。 ${\textstyle \delta f(x)}$${\textstyle \delta f(x)}$${\textstyle f(x)}$

$${\displaystyle f(x)=\exp \left(-1+\lambda _{0}+\lambda _{1}x+\lambda _{2}(x-\mu )^{2}\right)\,.}$$

適切に正規化され、指定された平均と分散を持つラグランジュ制約が満たされるのは、、、が次のように選択される場合 のみです。 正規分布のエントロピーは、 平均 に依存しないに等しくなります 。 ${\textstyle f(x)}$${\textstyle \lambda _{0}}$${\textstyle \lambda _{1}}$${\textstyle \lambda _{2}}$$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,.}$$${\textstyle X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})}$$${\displaystyle H(X)={\tfrac {1}{2}}(1+\ln 2\sigma ^{2}\pi )\,,}$$${\textstyle \mu }$

中心極限定理は、ある特定の（かなり一般的な）条件下では、多数のランダム変数の合計がほぼ正規分布に従うと述べています。より具体的には、 は同じ任意分布、ゼロ平均、分散を持つ独立した同一分布のランダム変数であり、 はその平均を でスケールしたものです。 すると、 が増加するにつれて、 の確率分布は、ゼロ平均、分散 の正規分布に近づくようになります。 ${\textstyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$${\textstyle \sigma ^{2}}$${\textstyle Z}$${\textstyle {\sqrt {n}}}$ $${\displaystyle Z={\sqrt {n}}\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)}$$${\textstyle n}$${\textstyle Z}$${\textstyle \sigma ^{2}}$

依存度と分布のモーメントに特定の制約が課される場合、定理は独立していない変数や同一に分布していない 変数に拡張できます。${\textstyle (X_{i})}$

実際に遭遇する多くの検定統計量、スコア、推定量には、特定のランダム変数の合計が含まれており、影響関数を使用することで、さらに多くの推定量をランダム変数の合計として表すことができます。中心極限定理は、これらの統計パラメータが漸近的に正規分布することを意味します。

中心極限定理は、特定の分布が正規分布で近似できることも意味します。たとえば、

• 二項分布は 、平均と分散が大きく、 0 または 1 に近すぎない、ほぼ正規分布です。${\textstyle B(n,p)}$${\textstyle np}$${\textstyle np(1-p)}$${\textstyle n}$${\textstyle p}$
• パラメータ のポアソン分布は、の値が大きい場合、平均と分散の正規分布に近似します。^[38]${\textstyle \lambda }$${\textstyle \lambda }$${\textstyle \lambda }$${\textstyle \lambda }$
• カイ二乗分布は、 が大きい場合、平均、分散でほぼ正規分布になります。${\textstyle \chi ^{2}(k)}$${\textstyle k}$${\textstyle 2k}$${\textstyle k}$
• が大きい場合、スチューデントの t 分布は 平均 0、分散 1 でほぼ正規分布になります。${\textstyle t(\nu )}$${\textstyle \nu }$

これらの近似値が十分に正確であるかどうかは、近似値が必要とされる目的と、正規分布への収束率によって異なります。通常、このような近似値は分布の末端では精度が低くなります。

中心極限定理における近似誤差の一般的な上限はベリー・エッセン定理によって与えられ、近似の改良はエッジワース展開によって与えられます。

この定理は、多数の均一なノイズ源の合計をガウスノイズとしてモデル化することを正当化するためにも使用できます。AWGN を参照してください。

1つ以上の独立したまたは相関のある正規変数の任意の関数の確率密度、累積分布、逆累積分布は、レイトレーシング^[39]（Matlabコード）の数値法で計算できます。次のセクションでは、いくつかの特殊なケースを見ていきます。

が平均と分散で正規分布している場合、 ${\textstyle X}$${\textstyle \mu }$${\textstyle \sigma ^{2}}$

• ${\textstyle aX+b}$は、任意の実数およびに対して、平均および分散で正規分布します。つまり、正規分布族は線形変換に対して閉じています。${\textstyle a}$${\textstyle b}$${\textstyle a\mu +b}$${\textstyle a^{2}\sigma ^{2}}$
• の指数は対数正規分布します。${\textstyle X}$${\textstyle e^{X}\sim \ln(N(\mu ,\sigma ^{2}))}$
• の標準シグモイドはロジット正規分布します: 。${\textstyle X}$${\textstyle \sigma (X)\sim P({\mathcal {N}}(\mu ,\,\sigma ^{2}))}$
• の絶対値は折り畳み正規分布に従います。これは半正規分布と呼ばれます。${\textstyle X}$${\textstyle {\left|X\right|\sim N_{f}(\mu ,\sigma ^{2})}}$${\textstyle \mu =0}$
• 正規化された残差の絶対値 は、自由度 1 のカイ 分布に従います。${\textstyle |X-\mu |/\sigma }$${\textstyle |X-\mu |/\sigma \sim \chi _{1}}$
• の二乗は、自由度 1 の非心カイ二乗分布に従います。 の場合、分布は単にカイ二乗と呼ばれます。${\textstyle X/\sigma }$${\textstyle X^{2}/\sigma ^{2}\sim \chi _{1}^{2}(\mu ^{2}/\sigma ^{2})}$${\textstyle \mu =0}$
• 正規変数の対数尤度は、単にその確率密度関数の対数です。これは標準正規変数のスケーリングおよびシフトされた二乗であるため、スケーリングおよびシフトされたカイ二乗変数として分布します。${\textstyle x}$$${\displaystyle \ln p(x)=-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}-\ln \left(\sigma {\sqrt {2\pi }}\right).}$$
• 変数をある区間に制限した分布は、切断正規分布と呼ばれます。${\textstyle X}$${\textstyle [a,b]}$
• ${\textstyle (X-\mu )^{-2}}$位置 0 、スケール のレヴィ分布に従います。${\textstyle \sigma ^{-2}}$

• およびが、平均、分散の2 つの独立した正規確率変数である場合、それらの合計も正規分布し、 ^[証明]平均および分散になります。${\textstyle X_{1}}$${\textstyle X_{2}}$${\textstyle \mu _{1}}$${\textstyle \mu _{2}}$${\textstyle \sigma _{1}^{2}}$${\textstyle \sigma _{2}^{2}}$${\textstyle X_{1}+X_{2}}$${\textstyle \mu _{1}+\mu _{2}}$${\textstyle \sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}$
• 特に、とが平均0、分散 で独立した正規偏差である場合、ともまた独立しており、平均0、分散 で正規分布します。これは分極恒等式の特別な場合です。^[40]${\textstyle X}$${\textstyle Y}$${\textstyle \sigma ^{2}}$${\textstyle X+Y}$${\textstyle X-Y}$${\textstyle 2\sigma ^{2}}$
• 、が平均、分散 の2 つの独立した正規偏差であり、、が任意の実数である場合、変数も平均、分散の正規分布になります。したがって、正規分布は安定しています(指数)。${\textstyle X_{1}}$${\textstyle X_{2}}$${\textstyle \mu }$${\textstyle \sigma ^{2}}$${\textstyle a}$${\textstyle b}$$${\displaystyle X_{3}={\frac {aX_{1}+bX_{2}-(a+b)\mu }{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}+\mu }$$${\textstyle \mu }$${\textstyle \sigma ^{2}}$${\textstyle \alpha =2}$
• 、が正規分布である場合、それらの正規化された幾何平均は、およびを伴う正規分布です(視覚化についてはここを参照)。${\textstyle X_{k}\sim {\mathcal {N}}(m_{k},\sigma _{k}^{2})}$${\textstyle k\in \{0,1\}}$ ${\textstyle {\frac {1}{\int _{\mathbb {R} ^{n}}X_{0}^{\alpha }(x)X_{1}^{1-\alpha }(x)\,{\text{d}}x}}X_{0}^{\alpha }X_{1}^{1-\alpha }}$${\textstyle {\mathcal {N}}(m_{\alpha },\sigma _{\alpha }^{2})}$${\textstyle m_{\alpha }={\frac {\alpha m_{0}\sigma _{1}^{2}+(1-\alpha )m_{1}\sigma _{0}^{2}}{\alpha \sigma _{1}^{2}+(1-\alpha )\sigma _{0}^{2}}}}$${\textstyle \sigma _{\alpha }^{2}={\frac {\sigma _{0}^{2}\sigma _{1}^{2}}{\alpha \sigma _{1}^{2}+(1-\alpha )\sigma _{0}^{2}}}}$

とが平均0、分散1の2つの独立した標準正規分布のランダム変数である 場合、${\textstyle X_{1}}$${\textstyle X_{2}}$

• それらの和と差は平均 0、分散 2 で正規分布します。${\textstyle X_{1}\pm X_{2}\sim {\mathcal {N}}(0,2)}$
• それらの積は、密度関数 を持つ積分布^[41]に従います。ここで、 は第二種修正ベッセル関数です。この分布はゼロの周りで対称で、 で無限大であり、特性関数を持ちます。${\textstyle Z=X_{1}X_{2}}$${\textstyle f_{Z}(z)=\pi ^{-1}K_{0}(|z|)}$${\textstyle K_{0}}$${\textstyle z=0}$ ${\textstyle \phi _{Z}(t)=(1+t^{2})^{-1/2}}$
• それらの比率は標準のコーシー分布に従います。${\textstyle X_{1}/X_{2}\sim \operatorname {Cauchy} (0,1)}$
• それらのユークリッドノルムはレイリー分布に従います。${\textstyle {\sqrt {X_{1}^{2}+X_{2}^{2}}}}$

• 独立した正規偏差の任意の線形結合は正規偏差です。
• が独立した標準正規分布に従う場合、それらの平方和は自由度が${\textstyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$${\textstyle n}$$${\displaystyle X_{1}^{2}+\cdots +X_{n}^{2}\sim \chi _{n}^{2}.}$$
• が平均と分散を持つ独立した正規分布するランダム変数である場合、その標本平均は標本標準偏差から独立しており、^{[42]これは}Basuの定理またはCochranの定理を使用して証明できます。^[43]これら2つの量の比は、自由度を持つスチューデントのt分布に従います。${\textstyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$${\textstyle \mu }$${\textstyle \sigma ^{2}}$${\textstyle n-1}$$${\displaystyle t={\frac {{\overline {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}={\frac {{\frac {1}{n}}(X_{1}+\cdots +X_{n})-\mu }{\sqrt {{\frac {1}{n(n-1)}}\left[(X_{1}-{\overline {X}})^{2}+\cdots +(X_{n}-{\overline {X}})^{2}\right]}}}\sim t_{n-1}.}$$
• が独立した標準正規確率変数である場合、それらの正規化された平方和の比は自由度が( n , m )のF分布に従う： ^[44]${\textstyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$${\textstyle Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{m}}$ $${\displaystyle F={\frac {\left(X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+\cdots +X_{n}^{2}\right)/n}{\left(Y_{1}^{2}+Y_{2}^{2}+\cdots +Y_{m}^{2}\right)/m}}\sim F_{n,m}.}$$

• 正規ベクトルの二次形式、つまり複数の独立したまたは相関した正規変数の二次関数は、一般化されたカイ二乗変数です。${\textstyle q=\sum x_{i}^{2}+\sum x_{j}+c}$

分割正規分布は、異なる正規分布の密度関数のスケールされたセクションを結合し、密度を再スケールして 1 つに統合するという点で最も直接的に定義されます。切断正規分布は、単一の密度関数のセクションを再スケールすることによって生成されます。

任意の正の整数に対して、平均と分散 を持つ任意の正規分布は、それぞれ平均と分散を持つ独立した正規偏差の合計の分布である。この特性は無限割り切れる可能性と呼ばれる。^[45]${\textstyle {\text{n}}}$${\textstyle \mu }$${\textstyle \sigma ^{2}}$${\textstyle {\text{n}}}$${\textstyle {\frac {\mu }{n}}}$${\textstyle {\frac {\sigma ^{2}}{n}}}$

逆に、とが独立した確率変数であり、それらの和が正規分布に従う場合、との両方が正規偏差でなければならない。^[46]${\textstyle X_{1}}$${\textstyle X_{2}}$${\textstyle X_{1}+X_{2}}$${\textstyle X_{1}}$${\textstyle X_{2}}$

この結果はクラメールの分解定理として知られており、 2つの分布の畳み込みが正規分布となるのは、両方が正規分布である場合のみであると言うことと同等である。クラメールの定理は、独立した非ガウス変数の線形結合は、正規分布に任意に近づくことはあっても、厳密に正規分布になることは決してないということを意味している。^[31]

カッツ・ベルンシュタインの定理は、 XとYが独立であり、かつXとYも独立である場合、XとYは必ず正規分布に従うことを述べている。 ^{[47] [48]}${\textstyle X}$${\textstyle Y}$${\textstyle X+Y}$${\textstyle X-Y}$

より一般的には、が独立した確率変数である場合、2つの異なる線形結合とが独立であることと、すべてが正規分布かつである場合に限ります。ここで、はの分散を表します。^[47]${\textstyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$${\textstyle \sum {a_{k}X_{k}}}$${\textstyle \sum {b_{k}X_{k}}}$${\textstyle X_{k}}$${\textstyle \sum {a_{k}b_{k}\sigma _{k}^{2}=0}}$${\textstyle \sigma _{k}^{2}}$${\textstyle X_{k}}$

正規分布の概念は、確率論で最も重要な分布の 1 つであり、単変量 (つまり 1 次元) の場合 (ケース 1) の標準的な枠組みをはるかに超えて拡張されています。これらの拡張はすべて正規法則またはガウス法則とも呼ばれるため、名前にはある程度の曖昧さが存在します。

• 多変量正規分布は、k次元ユークリッド空間におけるガウスの法則を記述する。ベクトルX∈Rkは、その成分^Σの任意の線形結合が多変量正規分布である場合に多変量正規分布となる。^kj _{=1
  です}a _j X _{j は}（一変量）正規分布に従います。 Xの分散は、 k×k対称正定値行列 Vです。 多変量正規分布は、楕円分布の特殊なケースです。そのため、 k = 2 の場合の等密度軌跡は楕円であり、任意のkの場合は楕円体です。
• 修正ガウス分布は、すべての負の要素が 0 にリセットされた正規分布の修正バージョンです。
• 複素正規分布は複素正規ベクトルを扱います。複素ベクトルX ∈ C ^{k は}、その実数部と虚数部の両方が 2 k次元の多変量正規分布を一緒に持つ場合、正規分布であると言われます。Xの分散共分散構造は、分散行列 Γ と関係行列 C の2 つの行列によって記述されます。
• 行列正規分布は、正規分布する行列の場合を説明します。
• ガウス過程は正規分布する確率過程である。これらは、ある無限次元ヒルベルト空間 Hの要素として見ることができるため、 k = ∞の場合の多変量正規ベクトルの類似物である。任意の定数a ∈ Hに対してスカラー積( a , h )が (一変量) 正規分布に従う場合、ランダム要素h ∈ Hは正規であると言われる。このようなガウスランダム要素の分散構造は、線形共分散演算子 K: H → Hで記述できる。いくつかのガウス過程は、独自の名前が付けられるほど人気になった。
  • ブラウン運動、
  • ブラウン橋、
  • オルンシュタイン・ウーレンベック過程。
• ガウス q 分布は、正規分布のq 類似物を表す抽象的な数学的構成です。
• q-ガウス分布は、 Tsallisエントロピーを最大化するという意味でガウス分布に類似しており、 Tsallis分布の一種です。この分布は、上記のガウスq分布とは異なります。
• カニアダキスκ-ガウス分布は、カニアダキス統計から生じるガウス分布の一般化であり、カニアダキス分布の 1 つです。

確率変数Xは、分布が2つの部分からなる正規分布を持つ。

$${\displaystyle f_{X}(x)=N(\mu ,\sigma _{1}^{2}){\text{ if }}x\leq \mu }$$ $${\displaystyle f_{X}(x)=N(\mu ,\sigma _{2}^{2}){\text{ if }}x\geq \mu }$$

ここで、μ は平均であり、σ ₁ ²とσ ₂ ^{2 は}それぞれ平均の左側と右側の分布の分散です。

この分布の平均、分散、第三中心モーメントは決定されている^[49]

$${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\mu +{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}(\sigma _{2}-\sigma _{1})}$$ $${\displaystyle \operatorname {V} (X)=\left(1-{\frac {2}{\pi }}\right)(\sigma _{2}-\sigma _{1})^{2}+\sigma _{1}\sigma _{2}}$$ $${\displaystyle \operatorname {T} (X)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}(\sigma _{2}-\sigma _{1})\left[\left({\frac {4}{\pi }}-1\right)(\sigma _{2}-\sigma _{1})^{2}+\sigma _{1}\sigma _{2}\right]}$$

ここでE( X )、V( X )、T( X )はそれぞれ平均、分散、3次中心モーメントです。

ガウスの法則の主な実用的な用途の 1 つは、実際に遭遇するさまざまなランダム変数の経験的分布をモデル化することです。このような場合、可能な拡張は、2 つ以上のパラメーターを持つより豊富な分布族であり、経験的分布をより正確に適合させることができます。このような拡張の例は次のとおりです。

• ピアソン分布— 正規法則を拡張してさまざまな歪度と尖度の値を含む 4 つのパラメータを持つ確率分布のファミリ。
• 一般化正規分布は指数分布とも呼ばれ、漸近挙動がより厚い、またはより薄い分布裾を許容します。

正規分布のパラメータがわからず、代わりに推定したい場合がよくあります。つまり、正規分布の標本からパラメータとのおおよその値を知りたいのです。この問題に対する標準的なアプローチは最大尤度法であり、対数尤度関数を最大化する必要があります。${\textstyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$${\textstyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$${\textstyle \mu }$${\textstyle \sigma ^{2}}$ $${\displaystyle \ln {\mathcal {L}}(\mu ,\sigma ^{2})=\sum _{i=1}^{n}\ln f(x_{i}\mid \mu ,\sigma ^{2})=-{\frac {n}{2}}\ln(2\pi )-{\frac {n}{2}}\ln \sigma ^{2}-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}.}$$および について導関数をとり、結果として得られる一階条件系を解くと、最大尤度推定値が得られます。 ${\textstyle \mu }$${\textstyle \sigma ^{2}}$$${\displaystyle {\hat {\mu }}={\overline {x}}\equiv {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i},\qquad {\hat {\sigma }}^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}.}$$

すると次のようになります。 ${\textstyle \ln {\mathcal {L}}({\hat {\mu }},{\hat {\sigma }}^{2})}$

$${\displaystyle \ln {\mathcal {L}}({\hat {\mu }},{\hat {\sigma }}^{2})=(-n/2)[\ln(2\pi {\hat {\sigma }}^{2})+1]}$$

推定量はすべての観測値の算術平均であるため、標本平均と呼ばれます。統計量はに対して完全かつ十分であるため、レーマン・シェッフェの定理により、一様最小分散不偏(UMVU) 推定量となります。 ^[50]有限標本では、正規分布します。 この推定量の分散は、逆フィッシャー情報行列のμμ要素に等しくなります。これは、推定量が有限標本効率的 であることを意味します。実用上重要なのは、 の標準誤差が に比例するという事実です。つまり、標準誤差を 10 倍に減らしたい場合は、標本内の点の数を 100 倍に増やす必要があります。この事実は、世論調査の標本サイズやモンテカルロシミュレーションの試行回数を決定する際に広く使用されています。 ${\displaystyle \textstyle {\hat {\mu }}}$${\displaystyle \textstyle {\overline {x}}}$${\textstyle \mu }$${\displaystyle \textstyle {\hat {\mu }}}$$${\displaystyle {\hat {\mu }}\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2}/n).}$$ ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {I}}^{-1}}$${\displaystyle \textstyle {\hat {\mu }}}$${\displaystyle \textstyle 1/{\sqrt {n}}}$

漸近理論の観点からは、は矛盾なく、つまり のときに確率的に に収束します。推定量は漸近的に正規でもあり、これは有限サンプルでは正規であるという事実の単純な帰結です。 ${\displaystyle \textstyle {\hat {\mu }}}$${\textstyle \mu }$${\textstyle n\rightarrow \infty }$$${\displaystyle {\sqrt {n}}({\hat {\mu }}-\mu )\,\xrightarrow {d} \,{\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2}).}$$

推定量は標本分散と呼ばれます。これは標本 ( ) の分散だからです。実際には、 の代わりに別の推定量がよく使用されます。この別の推定量は と表記され 、標本分散とも呼ばれますが、これは用語の曖昧さを表しています。その平方根は標本標準偏差と呼ばれます。推定量は、分母にnではなく ( n − 1)を持つ点でと異なります(いわゆるベッセル補正)。 と の差は、nが大きい場合、無視できるほど小さくなります。ただし、有限標本では、 を使用する理由は、基礎となるパラメータ の不偏推定量であるのに対し、は偏りがあるからです。また、レーマン・シェッフェの定理により、推定量は一様最小分散不偏 ( UMVU )であり、 ^[50]すべての不偏推定量の中で「最良」の推定量となります。しかし、平均二乗誤差(MSE) 基準の点では、バイアス推定量の方が よりも優れていることが示されます。有限サンプルでは、​​ と はどちらも自由度 ( n − 1)の尺度カイ二乗分布に従います。 これらの式の最初の式は、 の分散がに等しく、逆フィッシャー情報行列 のσσ要素よりもわずかに大きいことを示しています。したがって、は の効率的な推定量ではなく、さらに はUMVU であるため、 の有限サンプルの効率的な推定量は存在しないと結論付けることができます。 ${\displaystyle \textstyle {\hat {\sigma }}^{2}}$${\textstyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle \textstyle {\hat {\sigma }}^{2}}$${\textstyle s^{2}}$${\textstyle s}$${\textstyle s^{2}}$${\displaystyle \textstyle {\hat {\sigma }}^{2}}$$${\displaystyle s^{2}={\frac {n}{n-1}}{\hat {\sigma }}^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}.}$$${\textstyle s^{2}}$${\displaystyle \textstyle {\hat {\sigma }}^{2}}$${\textstyle s^{2}}$${\textstyle \sigma ^{2}}$${\displaystyle \textstyle {\hat {\sigma }}^{2}}$${\textstyle s^{2}}$${\displaystyle \textstyle {\hat {\sigma }}^{2}}$${\textstyle s^{2}}$${\textstyle s^{2}}$${\displaystyle \textstyle {\hat {\sigma }}^{2}}$$${\displaystyle s^{2}\sim {\frac {\sigma ^{2}}{n-1}}\cdot \chi _{n-1}^{2},\qquad {\hat {\sigma }}^{2}\sim {\frac {\sigma ^{2}}{n}}\cdot \chi _{n-1}^{2}.}$$${\textstyle s^{2}}$${\textstyle 2\sigma ^{4}/(n-1)}$${\displaystyle \textstyle {\mathcal {I}}^{-1}}$${\textstyle s^{2}}$${\textstyle \sigma ^{2}}$${\textstyle s^{2}}$${\textstyle \sigma ^{2}}$

漸近理論を適用すると、推定量と推定量は両方とも矛盾しません。つまり、サンプル サイズが になると確率的に に収束します。2 つの推定量は両方とも漸近的に正規です。 特に、両方の推定量は に対して漸近的に効率的です 。 ${\textstyle s^{2}}$${\displaystyle \textstyle {\hat {\sigma }}^{2}}$${\textstyle \sigma ^{2}}$${\textstyle n\rightarrow \infty }$$${\displaystyle {\sqrt {n}}({\hat {\sigma }}^{2}-\sigma ^{2})\simeq {\sqrt {n}}(s^{2}-\sigma ^{2})\,\xrightarrow {d} \,{\mathcal {N}}(0,2\sigma ^{4}).}$$${\textstyle \sigma ^{2}}$

コクランの定理によれば、正規分布の場合、標本平均と標本分散s ^{2 は}独立しており、つまり、それらの結合分布を考慮しても利点はない。逆の定理もある。標本において標本平均と標本分散が独立している場合、標本は正規分布から来ているに違いない。とsの間の独立性は、いわゆるt 統計量を構築するために使用できる。 この量tは、自由度( n − 1)のスチューデントの t 分布を持ち、補助統計量(パラメータの値に依存しない) である。このt統計量の分布を反転すると、 μの信頼区間を構築できる。^[51]同様に、統計量s ^2のχ ^{2分布を反転すると、} σ ²の信頼区間が得られる。^[52] ここで、t _k,pおよびχ${\displaystyle \textstyle {\hat {\mu }}}$${\displaystyle \textstyle {\hat {\mu }}}$$${\displaystyle t={\frac {{\hat {\mu }}-\mu }{s/{\sqrt {n}}}}={\frac {{\overline {x}}-\mu }{\sqrt {{\frac {1}{n(n-1)}}\sum (x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}}\sim t_{n-1}}$$ $${\displaystyle \mu \in \left[{\hat {\mu }}-t_{n-1,1-\alpha /2}{\frac {s}{\sqrt {n}}},\,{\hat {\mu }}+t_{n-1,1-\alpha /2}{\frac {s}{\sqrt {n}}}\right]}$$ $${\displaystyle \sigma ^{2}\in \left[{\frac {n-1}{\chi _{n-1,1-\alpha /2}^{2}}}s^{2},\,{\frac {n-1}{\chi _{n-1,\alpha /2}^{2}}}s^{2}\right]}$$ 2k
、p はそれぞれt分布とχ ²分布のp番目の分位数です。これらの信頼区間の信頼水準は1 − αです。つまり、真の値μとσ ^{2 は、確率 (または}有意水準) αでこれらの区間から外れます。実際には、通常α = 5%とされ、その結果は 95% 信頼区間となります。σ の信頼区間は、σ 2^の区間境界の平方根を取ることで求められます。

およびs ²の漸近分布から近似式を導くことができます。 近似式はn の大きな値に対して有効になり、標準正規分布の分位数z _{α /2 は}nに依存しないため、手動計算ではより便利です。特に、最も一般的なα = 5%の値は、 | z _0.025 | = 1.96になります。 ${\displaystyle \textstyle {\hat {\mu }}}$$${\displaystyle \mu \in \left[{\hat {\mu }}-{\frac {|z_{\alpha /2}|}{\sqrt {n}}}s,\,{\hat {\mu }}+{\frac {|z_{\alpha /2}|}{\sqrt {n}}}s\right]}$$ $${\displaystyle \sigma ^{2}\in \left[s^{2}-{\sqrt {2}}{\frac {|z_{\alpha /2}|}{\sqrt {n}}}s^{2},\,s^{2}+{\sqrt {2}}{\frac {|z_{\alpha /2}|}{\sqrt {n}}}s^{2}\right]}$$

正規性検定は、与えられたデータ セット { x ₁ , ..., x _n } が正規分布から得られる可能性を評価します。通常、帰無仮説 H ₀は、観測値が不特定の平均μと分散σ ²で正規分布しているというものであり、対立仮説H _aは分布が任意であるというものです。この問題に対して、多くの検定 (40 種類以上) が考案されています。その中でも特に有名な検定を以下に概説します。

診断プロットは直感的に魅力的ですが、帰無仮説を受け入れるか拒否するかを非公式な人間の判断に依存するため、同時に主観的です。

• Q-Q プロットは、正規確率プロットまたはランクイットプロットとも呼ばれ、データ セットの並べ替えられた値を、標準正規分布の対応する分位数の期待値に対してプロットしたものです。つまり、これは (Φ ⁻¹ ( p _k ), x _{( k )} ) の形式の点のプロットです。ここで、プロットされた点p _kはp _k  = ( k  −  α )/( n  + 1 − 2 α )に等しく、 α は調整定数で、0 から 1 までの値になります。帰無仮説が真である場合、プロットされた点はほぼ直線上に位置するはずです。
• P-P プロット– Q-Q プロットに似ていますが、あまり使用されません。この方法は、点 (Φ( z _{( k )} ), p _k )をプロットすることから構成されます。正規分布データの場合、このプロットは (0, 0) と (1, 1) の間の 45° の線上にあります。${\textstyle \textstyle z_{(k)}=(x_{(k)}-{\hat {\mu }})/{\hat {\sigma }}}$

適合度検定:

モーメントベースのテスト:

• ダゴスティーノのK二乗検定
• ジャック・ベラテスト
• シャピロ・ウィルク検定: これは、Q-Q プロットの線の傾きがσであるという事実に基づいています。この検定では、その傾きの最小二乗推定値とサンプル分散の値を比較し、これら 2 つの量が有意に異なる場合は帰無仮説を棄却します。

経験分布関数に基づくテスト:

• アンダーソン・ダーリング検定
• リリーフォース検定（コルモゴロフ・スミルノフ検定の応用）

正規分布データのベイズ分析は、考えられるさまざまな可能性によって複雑になります。

• 平均または分散のいずれか、あるいはどちらも固定量と見なすことができます。
• 分散が不明な場合、分散を直接使用して分析することも、分散の逆数である精度を使用して分析することもできます。精度を使用して式を表現する理由は、ほとんどの場合の分析が簡略化されるためです。
• 単変量と多変量の両方のケースを考慮する必要があります。
• 未知の変数には、共役事前分布または不適切な 事前分布のいずれかが配置される場合があります。
• ベイズ線形回帰では、基本モデルでデータが正規分布していると仮定し、回帰係数に正規事前分布が配置される場合、追加のケースセットが発生します。結果の分析は、独立した同一分布データの基本ケースと同様です。

非線形回帰の場合の式は共役先行論文にまとめられています。

次の補助式は、事後更新方程式を簡素化するのに役立ちます。事後更新方程式は、そうしないとかなり面倒になります。

$${\displaystyle a(x-y)^{2}+b(x-z)^{2}=(a+b)\left(x-{\frac {ay+bz}{a+b}}\right)^{2}+{\frac {ab}{a+b}}(y-z)^{2}}$$

この式は、平方展開し、x内の項をグループ化し、平方完成することで、 x内の 2 つの二次方程式の和を書き直したものです。いくつかの項に付随する複素定数因子については、次の点に注意してください。

1. 係数はyとzの加重平均の形をとります。${\textstyle {\frac {ay+bz}{a+b}}}$
2. ${\textstyle {\frac {ab}{a+b}}={\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}}}=(a^{-1}+b^{-1})^{-1}.}$これは、この係数が量aとbの逆数が直接加算される状況から生じるものと考えられることを示しています。したがって、 aとb自体を組み合わせるには、結果を逆数にし、加算し、さらに逆数にして、元の単位に戻す必要があります。これはまさに調和平均によって実行される操作の一種であるため、 がaとbの調和平均の半分であることは驚くべきことではありません。${\textstyle {\frac {ab}{a+b}}}$

同様の式は、2つのベクトル二次方程式の和についても書くことができます。x、y、z が長さkのベクトルで、AとB が対称でサイズの可逆行列である場合、 ${\textstyle k\times k}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&(\mathbf {y} -\mathbf {x} )'\mathbf {A} (\mathbf {y} -\mathbf {x} )+(\mathbf {x} -\mathbf {z} )'\mathbf {B} (\mathbf {x} -\mathbf {z} )\\={}&(\mathbf {x} -\mathbf {c} )'(\mathbf {A} +\mathbf {B} )(\mathbf {x} -\mathbf {c} )+(\mathbf {y} -\mathbf {z} )'(\mathbf {A} ^{-1}+\mathbf {B} ^{-1})^{-1}(\mathbf {y} -\mathbf {z} )\end{aligned}}}$$

どこ

$${\displaystyle \mathbf {c} =(\mathbf {A} +\mathbf {B} )^{-1}(\mathbf {A} \mathbf {y} +\mathbf {B} \mathbf {z} )}$$

x ′ A x の形式は2次形式と呼ばれ、スカラーです。 言い換えると、 x の要素のペアの積のすべての可能な組み合わせを合計し、それぞれに別々の係数を持ちます。さらに、 であるため、 Aの非対角要素については合計のみが重要であり、 Aが対称であると仮定しても一般性が失われることはありません。さらに、Aが対称である場合、形式$${\displaystyle \mathbf {x} '\mathbf {A} \mathbf {x} =\sum _{i,j}a_{ij}x_{i}x_{j}}$$${\textstyle x_{i}x_{j}=x_{j}x_{i}}$${\textstyle a_{ij}+a_{ji}}$${\textstyle \mathbf {x} '\mathbf {A} \mathbf {y} =\mathbf {y} '\mathbf {A} \mathbf {x} .}$

もう一つの便利な式は次の通りです。 $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+n({\bar {x}}-\mu )^{2}}$$${\textstyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}.}$

サイズnのiid正規分布データ ポイントXのセット(各個別のポイントxが既知の分散σ ²に従う) の場合、共役事前分布も正規分布になります。 ${\textstyle x\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$

これは、分散を精度として書き直す、つまり τ = 1/σ ^{2 を}使用することで、より簡単に示すことができます。そして の場合、次のように進めます。 ${\textstyle x\sim {\mathcal {N}}(\mu ,1/\tau )}$${\textstyle \mu \sim {\mathcal {N}}(\mu _{0},1/\tau _{0}),}$

まず、尤度関数は次のようになります (平均からの差の合計については上記の式を使用)。

$${\displaystyle {\begin{aligned}p(\mathbf {X} \mid \mu ,\tau )&=\prod _{i=1}^{n}{\sqrt {\frac {\tau }{2\pi }}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\tau (x_{i}-\mu )^{2}\right)\\&=\left({\frac {\tau }{2\pi }}\right)^{n/2}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\tau \sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}\right)\\&=\left({\frac {\tau }{2\pi }}\right)^{n/2}\exp \left[-{\frac {1}{2}}\tau \left(\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+n({\bar {x}}-\mu )^{2}\right)\right].\end{aligned}}}$$

次に、次のように進めます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}p(\mu \mid \mathbf {X} )&\propto p(\mathbf {X} \mid \mu )p(\mu )\\&=\left({\frac {\tau }{2\pi }}\right)^{n/2}\exp \left[-{\frac {1}{2}}\tau \left(\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+n({\bar {x}}-\mu )^{2}\right)\right]{\sqrt {\frac {\tau _{0}}{2\pi }}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\tau _{0}(\mu -\mu _{0})^{2}\right)\\&\propto \exp \left(-{\frac {1}{2}}\left(\tau \left(\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+n({\bar {x}}-\mu )^{2}\right)+\tau _{0}(\mu -\mu _{0})^{2}\right)\right)\\&\propto \exp \left(-{\frac {1}{2}}\left(n\tau ({\bar {x}}-\mu )^{2}+\tau _{0}(\mu -\mu _{0})^{2}\right)\right)\\&=\exp \left(-{\frac {1}{2}}(n\tau +\tau _{0})\left(\mu -{\dfrac {n\tau {\bar {x}}+\tau _{0}\mu _{0}}{n\tau +\tau _{0}}}\right)^{2}+{\frac {n\tau \tau _{0}}{n\tau +\tau _{0}}}({\bar {x}}-\mu _{0})^{2}\right)\\&\propto \exp \left(-{\frac {1}{2}}(n\tau +\tau _{0})\left(\mu -{\dfrac {n\tau {\bar {x}}+\tau _{0}\mu _{0}}{n\tau +\tau _{0}}}\right)^{2}\right)\end{aligned}}}$$

上記の導出では、2つの二次方程式の和に上記の式を使用し、  μを含まない定数因子をすべて除去しました。結果は、平均と精度を持つ正規分布の核、つまり ${\textstyle {\frac {n\tau {\bar {x}}+\tau _{0}\mu _{0}}{n\tau +\tau _{0}}}}$${\textstyle n\tau +\tau _{0}}$

$${\displaystyle p(\mu \mid \mathbf {X} )\sim {\mathcal {N}}\left({\frac {n\tau {\bar {x}}+\tau _{0}\mu _{0}}{n\tau +\tau _{0}}},{\frac {1}{n\tau +\tau _{0}}}\right)}$$

これは、事前パラメータに関する事後パラメータのベイズ更新方程式のセットとして記述できます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{0}'&=\tau _{0}+n\tau \\[5pt]\mu _{0}'&={\frac {n\tau {\bar {x}}+\tau _{0}\mu _{0}}{n\tau +\tau _{0}}}\\[5pt]{\bar {x}}&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}\end{aligned}}}$$

つまり、総精度がnτ (または、総分散がn / σ ² ) で平均値がであるn 個のデータ ポイントを組み合わせるには、データの総精度を事前の総精度に加算するだけで新しい総精度を導き出し、精度加重平均、つまり、それぞれが関連する総精度で重み付けされたデータ平均と事前平均の加重平均によって新しい平均を形成します。精度が観測の確実性を示すものと考えられる場合、これは論理的に意味をなします。事後平均の分布では、各入力コンポーネントがその確実性によって重み付けされ、この分布の確実性は個々の確実性の合計です。(これを直感的に理解するには、「全体が部分の合計よりも大きい (または大きくない)」という表現を比較してください。さらに、事後分布の知識は事前分布と尤度の組み合わせから得られるため、事後分布のほうがそのコンポーネントのいずれよりも確実であると考えるのが理にかなっています。) ${\textstyle {\bar {x}}}$

上記の式は、ベイズ法による共役事前分布のベイズ分析を精度の観点から行う方が便利である理由を明らかにしている。事後精度は事前精度と尤度精度の合計に過ぎず、事後平均は前述のように精度加重平均によって計算される。同じ式を分散の観点から書くと、すべての精度を逆数にすることで、より見苦しい式が得られる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\sigma _{0}^{2}}'&={\frac {1}{{\frac {n}{\sigma ^{2}}}+{\frac {1}{\sigma _{0}^{2}}}}}\\[5pt]\mu _{0}'&={\frac {{\frac {n{\bar {x}}}{\sigma ^{2}}}+{\frac {\mu _{0}}{\sigma _{0}^{2}}}}{{\frac {n}{\sigma ^{2}}}+{\frac {1}{\sigma _{0}^{2}}}}}\\[5pt]{\bar {x}}&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}\end{aligned}}}$$

サイズnのiid正規分布データ ポイントXのセットで、各ポイントx が既知の平均 μ に従う場合、分散の共役事前分布は逆ガンマ分布またはスケール逆カイ 2 乗分布になります。この 2 つは、パラメーター化が異なることを除いて同等です。逆ガンマの方が一般的に使用されますが、便宜上、スケール逆カイ 2 乗を使用します。σ ²の事前分布は次のとおりです。 ${\textstyle x\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$

$${\displaystyle p(\sigma ^{2}\mid \nu _{0},\sigma _{0}^{2})={\frac {(\sigma _{0}^{2}{\frac {\nu _{0}}{2}})^{\nu _{0}/2}}{\Gamma \left({\frac {\nu _{0}}{2}}\right)}}~{\frac {\exp \left[{\frac {-\nu _{0}\sigma _{0}^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}{(\sigma ^{2})^{1+{\frac {\nu _{0}}{2}}}}}\propto {\frac {\exp \left[{\frac {-\nu _{0}\sigma _{0}^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}{(\sigma ^{2})^{1+{\frac {\nu _{0}}{2}}}}}}$$

上記の尤度関数を分散の観点から記述すると、次のようになります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}p(\mathbf {X} \mid \mu ,\sigma ^{2})&=\left({\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\right)^{n/2}\exp \left[-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}\right]\\&=\left({\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\right)^{n/2}\exp \left[-{\frac {S}{2\sigma ^{2}}}\right]\end{aligned}}}$$

どこ

$${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}.}$$

それから：

$${\displaystyle {\begin{aligned}p(\sigma ^{2}\mid \mathbf {X} )&\propto p(\mathbf {X} \mid \sigma ^{2})p(\sigma ^{2})\\&=\left({\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\right)^{n/2}\exp \left[-{\frac {S}{2\sigma ^{2}}}\right]{\frac {(\sigma _{0}^{2}{\frac {\nu _{0}}{2}})^{\frac {\nu _{0}}{2}}}{\Gamma \left({\frac {\nu _{0}}{2}}\right)}}~{\frac {\exp \left[{\frac {-\nu _{0}\sigma _{0}^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}{(\sigma ^{2})^{1+{\frac {\nu _{0}}{2}}}}}\\&\propto \left({\frac {1}{\sigma ^{2}}}\right)^{n/2}{\frac {1}{(\sigma ^{2})^{1+{\frac {\nu _{0}}{2}}}}}\exp \left[-{\frac {S}{2\sigma ^{2}}}+{\frac {-\nu _{0}\sigma _{0}^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]\\&={\frac {1}{(\sigma ^{2})^{1+{\frac {\nu _{0}+n}{2}}}}}\exp \left[-{\frac {\nu _{0}\sigma _{0}^{2}+S}{2\sigma ^{2}}}\right]\end{aligned}}}$$

上記は、スケール逆カイ二乗分布であり、

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nu _{0}'&=\nu _{0}+n\\\nu _{0}'{\sigma _{0}^{2}}'&=\nu _{0}\sigma _{0}^{2}+\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}\end{aligned}}}$$

または同等

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nu _{0}'&=\nu _{0}+n\\{\sigma _{0}^{2}}'&={\frac {\nu _{0}\sigma _{0}^{2}+\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}{\nu _{0}+n}}\end{aligned}}}$$

逆ガンマ分布の観点から再パラメータ化すると、結果は次のようになります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha '&=\alpha +{\frac {n}{2}}\\\beta '&=\beta +{\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}{2}}\end{aligned}}}$$

各点x が未知の平均 μ と未知の分散σ ²に従う、サイズnのiid正規分布データ ポイントXのセットの場合、平均と分散に対して、正規逆ガンマ分布で構成される複合 (多変量)共役事前分布が配置されます。論理的には、これは次のように発生します。 ${\textstyle x\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$

1. 平均は不明だが分散は既知のケースの分析から、更新方程式には、データ ポイントの平均と、データ ポイントの合計分散 (既知の分散をデータ ポイントの数で割って計算) で構成されるデータから計算された十分な統計量が含まれることがわかります。
2. 分散は不明だが平均はわかっているケースの分析から、更新方程式には、データ ポイントの数と偏差の二乗の合計で構成されるデータに対する十分な統計量が含まれていることがわかります。
3. 事後更新値は、さらにデータを処理する際に事前分布として機能することに注意してください。したがって、可能な限り同じセマンティクスを念頭に置きながら、先ほど説明した十分な統計量の観点から事前分布を論理的に考える必要があります。
4. 平均と分散の両方が未知のケースを処理するには、平均、総分散、分散事前分布の計算に使用されるデータ ポイントの数、および偏差の二乗和の固定推定値を使用して、平均と分散に独立した事前分布を配置することができます。ただし、実際には、平均の総分散は未知の分散に依存し、分散事前分布に含まれる偏差の二乗和は未知の平均に依存する (ように見える) ことに注意してください。実際には、後者の依存関係は比較的重要ではありません。実際の平均をシフトすると、生成されたポイントが同じ量だけシフトし、平均して偏差の二乗は同じままになります。ただし、平均の総分散の場合はそうではありません。未知の分散が増加すると、平均の総分散も比例して増加するため、この依存関係を捉えたいと考えています。
5. これは、未知の分散に対する平均の条件付き事前分布を作成し、事前分布に関連付けられた疑似観測の平均を指定するハイパーパラメータと、疑似観測の数を指定する別のパラメータを作成することを示唆しています。この数は分散のスケーリングパラメータとして機能し、実際の分散パラメータに対する平均の全体的な分散を制御できるようにします。分散の事前分布にも 2 つのハイパーパラメータがあり、1 つは事前分布に関連付けられた疑似観測の偏差の二乗の合計を指定し、もう 1 つは疑似観測の数を指定します。各事前分布には疑似観測の数を指定するハイパーパラメータがあり、それぞれの場合でその事前分布の相対的な分散を制御します。これらは 2 つの別々のハイパーパラメータとして指定されるため、2 つの事前分布の分散 (信頼度とも呼ばれます) を個別に制御できます。
6. これにより、すぐに正規逆ガンマ分布が得られます。これは、共役事前分布（分散上の逆ガンマ分布と、分散を条件とする平均上の正規分布）が使用され、定義した同じ 4つのパラメータを使用して、定義した 2 つの分布の積です。

事前確率は通常、次のように定義されます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}p(\mu \mid \sigma ^{2};\mu _{0},n_{0})&\sim {\mathcal {N}}(\mu _{0},\sigma ^{2}/n_{0})\\p(\sigma ^{2};\nu _{0},\sigma _{0}^{2})&\sim I\chi ^{2}(\nu _{0},\sigma _{0}^{2})=IG(\nu _{0}/2,\nu _{0}\sigma _{0}^{2}/2)\end{aligned}}}$$

更新方程式は次のように導出できます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {x}}&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}\\\mu _{0}'&={\frac {n_{0}\mu _{0}+n{\bar {x}}}{n_{0}+n}}\\n_{0}'&=n_{0}+n\\\nu _{0}'&=\nu _{0}+n\\\nu _{0}'{\sigma _{0}^{2}}'&=\nu _{0}\sigma _{0}^{2}+\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+{\frac {n_{0}n}{n_{0}+n}}(\mu _{0}-{\bar {x}})^{2}\end{aligned}}}$$

疑似観測値のそれぞれの数に実際の観測値の数が追加されます。新しい平均ハイパーパラメータは再び加重平均ですが、今回は観測値の相対数によって加重されます。最後に、の更新は既知の平均の場合と同様ですが、この場合、偏差の二乗和は真の平均ではなく観測データの平均に対して取られるため、結果として、以前の平均とデータの平均の偏差から生じる追加のエラー ソースに対処するために新しい相互作用項を追加する必要があります。 ${\textstyle \nu _{0}'{\sigma _{0}^{2}}'}$

実際の問題における正規分布の発生は、大まかに次の 4 つのカテゴリに分類できます。

1. 正確には正規分布です。
2. 近似正規法則、例えば、そのような近似が中心極限定理によって正当化される場合、および
3. 正規分布としてモデル化された分布 - 正規分布は、与えられた平均と分散に対して最大エントロピーを持つ分布です。
4. 回帰問題 - 体系的な効果が十分にモデル化された後に正規分布が見つかります。

物理学における特定の量は、ジェームズ・クラーク・マクスウェルによって初めて実証されたように、正規分布しています。そのような量の例は次のとおりです。

• 量子調和振動子における基底状態の確率密度関数。
• 拡散を経験する粒子の位置。粒子が最初に特定の点に位置する場合（つまり、その確率分布はディラックのデルタ関数）、時間tの後、その位置は分散tを持つ正規分布によって記述され、拡散方程式 を満たします。最初の位置が特定の密度関数によって与えられる場合、時間tにおける密度はgと正規確率密度関数の畳み込みです。${\textstyle {\frac {\partial }{\partial t}}f(x,t)={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}f(x,t)}$${\textstyle g(x)}$

中心極限定理で説明されているように、ほぼ正規分布は多くの状況で発生します。結果が、加算的かつ独立して作用する多くの小さな効果によって生成される場合、その分布は正規分布に近くなります。効果が乗算的に（加算的ではなく）作用する場合、または他の効果よりもかなり大きい単一の外部影響がある場合、正規近似は有効ではありません。

• 計数問題では、中心極限定理が離散から連続への近似を含み、無限に分割可能で分解可能な分布が関係している。
  • バイナリ応答変数に関連付けられた二項ランダム変数。
  • まれなイベントに関連するポアソン確率変数。
• 熱放射は、中心極限定理により、非常に短い時間スケールではボーズ・アインシュタイン分布を示し、より長い時間スケールでは正規分布を示します。

正規曲線、つまり誤差のラプラシアン曲線の発生は、非常に異常な現象としてしか認識できません。これは、特定の分布で大まかに近似されます。この理由と、その美しい単純さのため、特に理論的な調査では、おそらくこれを最初の近似として使用できます。

— ピアソン（1901）

この仮定を経験的にテストする統計的手法があります。上記の正規性テストのセクションを参照してください。

• 生物学では、さまざまな変数の対数は正規分布する傾向があり、つまり、 （男性/女性のサブグループに分離した後）対数正規分布になる傾向があります。例としては、次のものがあります。
  • 生体組織の大きさの測定（長さ、高さ、皮膚面積、重量）^[53]
  • 生物標本の不活性な付属肢（毛、爪、爪、歯）の成長方向の長さ。おそらく樹皮の厚さもこの範疇に入る。
  • 成人の血圧など、特定の生理学的測定値。
• 金融、特にブラック・ショールズ・モデルでは、為替レート、価格指数、株価指数の対数の変化は正規分布であると仮定されている（これらの変数は単利ではなく複利のように振舞うため乗法的である）。ブノワ・マンデルブロなどの数学者の中には、重い裾を持つ対数レヴィ分布の方が、特に株価暴落の分析にはより適切なモデルであると主張する者もいる。金融モデルで正規分布の仮定を使用することは、ナシム・ニコラス・タレブの著作でも批判されている。
• 物理実験における測定誤差は、多くの場合、正規分布によってモデル化されます。正規分布の使用は、測定誤差が正規分布していると仮定していることを意味するのではなく、むしろ、誤差の平均と分散に関する知識のみに基づいて、正規分布を使用することで可能な限り最も保守的な予測が生成されます。^[54]
• 標準化されたテストでは、問題の数と難易度を選択するか（IQテストの場合のように）、生のテストスコアを正規分布に当てはめて出力スコアに変換することで、結果を正規分布にすることができます。たとえば、SATの従来の範囲である200～800は、平均500、標準偏差100の正規分布に基づいています。

• 多くのスコアは正規分布から導出されます。これには、パーセンタイル順位(パーセンタイルまたはクォンタイル)、正規曲線相当値、スタンイン、Z スコア、T スコアが含まれます。さらに、一部の行動統計手順では、スコアが正規分布していると想定されます (例: t 検定およびANOVA)。ベル曲線グレーディングでは、スコアの正規分布に基づいて相対的な成績が割り当てられます。
• 水文学では、月間および年間の合計など、長期間の河川流量または降雨量の分布は、中心極限定理に従って実質的に正規分布であると考えられることが多い。^[55] CumFreqで作成された青い図は、二項分布に基づく90％信頼区間を示すランク付けされた10月の降雨量に正規分布を当てはめる例を示している。降雨量データは、累積頻度分析の一部として位置をプロットすることによって表される。

ジョン・イオアニディスは、 研究結果を検証するための基準として正規分布する標準偏差を使用すると、正規分布していない現象についての反証可能な予測がテストされないままになると主張した。これには、たとえば、すべての必要条件が存在し、加算のように一方が他方の代わりになることができない場合にだけ現れる現象や、ランダムに分布していない現象が含まれる。イオアニディスは、標準偏差中心の検証は、反証可能な予測のうち反証可能な予測の一部が、反証可能な予測の範囲の非正規分布部分にある可能性があり、場合によってはその部分にあるため、すべてではないが一部は正規分布している仮説や理論に、有効であるかのような誤った印象を与えるだけでなく、反証可能な予測のいずれも正規分布していない仮説を、実際には反証可能な予測をしているのに、あたかも反証不可能であるかのように根拠もなく却下することになる、と主張している。イオアニディスは、相互に排他的な理論が研究雑誌によって検証済みとして受け入れられるケースの多くは、非正規分布の予測の実証的な反証を雑誌が取り入れなかったことが原因で、相互に排他的な理論が正しいからではなく、相互に排他的な理論が正しいということはあり得ないと主張している。ただし、相互に排他的な2つの理論が両方とも間違っていて、3つ目の理論が正しいということはあり得ない。^[56]

コンピュータシミュレーション、特にモンテカルロ法の適用では、正規分布する値を生成することが望ましい場合がよくあります。以下にリストされているアルゴリズムはすべて、標準正規偏差を生成します。これは、N ( μ , σ ² )がX = μ + σZとして生成できるためです。ここで、Zは標準正規です。これらのアルゴリズムはすべて、一様乱数変量を生成できる乱数ジェネレータ Uが利用可能であることを前提としています。

• 最も簡単な方法は、確率積分変換特性に基づいています。Uが(0,1)に均一に分布している場合、Φ ⁻¹ ( U )は標準正規分布に従います。この方法の欠点は、プロビット関数Φ ^{−1の計算に依存していることですが、これは解析的には実行できません。いくつかの近似法は、Hart(1968)と}erfの記事に記載されています。Wichuraは、この関数を小数点以下16桁まで計算する高速アルゴリズムを示しており、^[57] Rはこれを使用して正規分布のランダム変量を計算します。
• 中心極限定理に基づいた、プログラムしやすい近似アプローチは次のとおりです。12個の均一なU (0,1)偏差を生成し、それらをすべて加算して6を引くと、結果として得られるランダム変数はほぼ標準正規分布になります。実際には、分布はアーウィン・ホール分布になり、これは正規分布の12セクション11次多項式近似です。このランダム偏差の範囲は(-6, 6)に制限されます。^[58]真の正規分布では、全サンプルのわずか0.00034%が±6σの外側に落ちることに注意してください。
• ボックス・ミュラー法では、(0,1) 上に一様に分布する2 つの独立した乱数UとV を使用します。この場合、2 つの乱数変数XとY はともに標準正規分布に従い、独立になります。この定式化は、 2 変量正規乱数ベクトル ( X、Y )に対して、2 乗ノルムX ² + Y ^{2 が}自由度 2 のカイ 2 乗分布に従うことから生じます。カイ 2 乗分布は、これらの式の量 −2 ln( U ) に対応する簡単に生成できる指数乱数変数です。角度は、乱数変数Vによって選択された円の周囲に一様に分布します。 $${\displaystyle X={\sqrt {-2\ln U}}\,\cos(2\pi V),\qquad Y={\sqrt {-2\ln U}}\,\sin(2\pi V).}$$
• マルサリア極座標法は、ボックス・ミュラー法の修正版で、正弦関数と余弦関数の計算を必要としません。この方法では、UとV は均一 (-1,1) 分布から抽出され、次にS = U ² + V ²が計算されます。S が 1 以上の場合は、この方法が最初からやり直され、それ以外の場合は 2 つの量が返されます。この場合も、XとY は独立した標準正規乱数変数です。$${\displaystyle X=U{\sqrt {\frac {-2\ln S}{S}}},\qquad Y=V{\sqrt {\frac {-2\ln S}{S}}}}$$
• 比率法^[59]は棄却法である。アルゴリズムは次のように進行する。
  • 2 つの独立した均一偏差UとV を生成します。
  • X = √ 8/ e ( V − 0.5)/ Uを計算します。
  • オプション: X ² ≤ 5 − 4 e ^1/4 Uの場合、 Xを受け入れてアルゴリズムを終了します。
  • オプション: X ² ≥ 4 e ^−1.35 / U + 1.4の場合はXを拒否し、手順1からやり直します。
  • X ² ≤ −4 ln Uの場合はX を受け入れ、それ以外の場合はアルゴリズムを最初からやり直します。

  2つのオプションのステップにより、ほとんどの場合、最後のステップでの対数の評価を回避できます。これらのステップは大幅に改善され、^[60]対数が評価されることはほとんどなくなります。

• ジッグラトアルゴリズム^[61]はボックス-ミュラー変換よりも高速で、正確です。すべてのケースの約97％で、2つの乱数、1つのランダム整数と1つのランダム一様乱数、1つの乗算とifテストのみを使用します。これらの2つの組み合わせが「ジッグラトのコア」（対数を使用した一種の拒否サンプリング）の外側になる3％のケースでのみ、指数関数とより均一な乱数を使用する必要があります。
• 整数演算は標準正規分布からサンプリングするために使用できます。^{[62] [63]この方法は、}理想的な近似の条件を満たすという意味で正確です。^[64]つまり、標準正規分布から実数をサンプリングし、これを最も近い表現可能な浮動小数点数に丸めるのと同じです。
• 高速アダマール変換と正規分布の関係についても調査が行われています^{[65] 。高速}アダマール変換では加算と減算のみが行われ、中心極限定理によりほぼあらゆる分布の乱数が正規分布に変換されるためです。この点で、一連のアダマール変換をランダム順列と組み合わせることで、任意のデータセットを正規分布データに変換できます。

標準正規累積分布関数は、科学計算や統計計算で広く使用されています。

Φ( x ) の値は、数値積分、テイラー級数、漸近級数、連分数などのさまざまな方法によって非常に正確に近似できます。必要な精度のレベルに応じて、さまざまな近似が使用されます。

• Zelen & Severo (1964)は、絶対誤差| ε ( x ) | < 7.5·10 ⁻⁸（アルゴリズム26.2.17）でx > 0に対するΦ( x )の近似値を与えている。ここで、ϕ ( x )は標準正規確率密度関数であり、b ₀ = 0.2316419、b ₁ = 0.319381530、b ₂ = −0.356563782、b ₃ = 1.781477937、b ₄ = −1.821255978、b ₅ = 1.330274429である。$${\displaystyle \Phi (x)=1-\varphi (x)\left(b_{1}t+b_{2}t^{2}+b_{3}t^{3}+b_{4}t^{4}+b_{5}t^{5}\right)+\varepsilon (x),\qquad t={\frac {1}{1+b_{0}x}},}$$
• Hart (1968) は、 erfc()関数の近似法を、指数関数の有無にかかわらず有理関数を使用して数十種類挙げています。彼のアルゴリズムは、複雑さの度合いと結果の精度が異なり、絶対精度は最大 24 桁です。West (2009) のアルゴリズムは、Hart のアルゴリズム 5666 と末尾の連分数近似を組み合わせて、16 桁の精度を持つ高速計算アルゴリズムを提供します。
• Cody (1969)は、Hart68の解がerfには適していないことを思い出した後、有理チェビシェフ近似によって、相対誤差が最大となるerfとerfcの両方の解を与えました。
• Marsaglia (2004)は、任意の精度でΦ( x )を計算するためのテイラー級数展開に基づく単純なアルゴリズム^[注1]を提案しました。このアルゴリズムの欠点は、計算時間が比較的遅いことです（たとえば、x = 10の場合、16桁の精度で関数を計算するには300回以上の反復が必要です）。$${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{2}}+\varphi (x)\left(x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{3\cdot 5}}+{\frac {x^{7}}{3\cdot 5\cdot 7}}+{\frac {x^{9}}{3\cdot 5\cdot 7\cdot 9}}+\cdots \right)}$$
• GNU科学ライブラリは、ハートのアルゴリズムとチェビシェフ多項式による近似を使用して、標準正規累積分布関数の値を計算します。
• Dia (2023)は、絶対値での最大相対誤差が 未満となるの次の近似を提案している。 に対して、に対して、${\textstyle 1-\Phi }$${\textstyle 2^{-53}}$ ${\textstyle \left(\approx 1.1\times 10^{-16}\right)}$${\textstyle x\geq 0}$${\textstyle {\begin{aligned}1-\Phi \left(x\right)&=\left({\frac {0.39894228040143268}{x+2.92678600515804815}}\right)\left({\frac {x^{2}+8.42742300458043240x+18.38871225773938487}{x^{2}+5.81582518933527391x+8.97280659046817350}}\right)\\&\left({\frac {x^{2}+7.30756258553673541x+18.25323235347346525}{x^{2}+5.70347935898051437x+10.27157061171363079}}\right)\left({\frac {x^{2}+5.66479518878470765x+18.61193318971775795}{x^{2}+5.51862483025707963x+12.72323261907760928}}\right)\\&\left({\frac {x^{2}+4.91396098895240075x+24.14804072812762821}{x^{2}+5.26184239579604207x+16.88639562007936908}}\right)\left({\frac {x^{2}+3.83362947800146179x+11.61511226260603247}{x^{2}+4.92081346632882033x+24.12333774572479110}}\right)e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\end{aligned}}}$${\textstyle x<0}$

$${\displaystyle 1-\Phi \left(x\right)=1-\left(1-\Phi \left(-x\right)\right)}$$

ショア（1982）は、信頼性工学や在庫分析などの工学およびオペレーションズリサーチの確率的最適化モデルに組み込むことができる単純な近似を導入しました。p = Φ( z )と表記すると、分位関数の最も単純な近似は次のようになります。 $${\displaystyle z=\Phi ^{-1}(p)=5.5556\left[1-\left({\frac {1-p}{p}}\right)^{0.1186}\right],\qquad p\geq 1/2}$$

この近似では、 zの最大絶対誤差は 0.026 になります ( 0.5 ≤ p ≤ 0.9999の場合、 0 ≤ z ≤ 3.719に相当)。p < 1/2の場合は、 p を1 − pに置き換えて符号を変更します。もう 1 つの近似は、精度がやや劣りますが、単一パラメータ近似です 。$${\displaystyle z=-0.4115\left\{{\frac {1-p}{p}}+\log \left[{\frac {1-p}{p}}\right]-1\right\},\qquad p\geq 1/2}$$

後者は、正規分布の損失積分の簡単な近似を導き出すのに役立ち、次のように定義される。 $${\displaystyle {\begin{aligned}L(z)&=\int _{z}^{\infty }(u-z)\varphi (u)\,du=\int _{z}^{\infty }[1-\Phi (u)]\,du\\[5pt]L(z)&\approx {\begin{cases}0.4115\left({\dfrac {p}{1-p}}\right)-z,&p<1/2,\\\\0.4115\left({\dfrac {1-p}{p}}\right),&p\geq 1/2.\end{cases}}\\[5pt]{\text{or, equivalently,}}\\L(z)&\approx {\begin{cases}0.4115\left\{1-\log \left[{\frac {p}{1-p}}\right]\right\},&p<1/2,\\\\0.4115{\dfrac {1-p}{p}},&p\geq 1/2.\end{cases}}\end{aligned}}}$$

この近似は、右端に対して特に正確です（z≥1.4 の場合、最大誤差は 10 ^{−3 ）。}応答モデリング手法（RMM、Shore、2011、2012）に基づく累積分布関数の高精度な近似は、Shore（2005）に示されています。

その他の近似については、誤差関数#基本関数による近似を参照してください。特に、累積分布関数と分位関数の全領域における相対誤差が小さいことは、2008 年に Sergei Winitzki によって明示的に可逆な式によって実現されています。 ${\textstyle \Phi }$${\textstyle \Phi ^{-1}}$

一部の著者^{[66] [67]}は、正規分布の発見はド・モアブルによるものだとしている。ド・モアブルは 1738 年^{[注 2]}に、( a + b ) ⁿの二項展開における係数の研究を『偶然の理論』第 2 版で発表した。ド・モアブルは、この展開における中間項の大きさが とほぼ等しいこと、および「mまたは⁠${\textstyle 2^{n}/{\sqrt {2\pi n}}}$1/2⁠ n が無限大の量である場合、中央から区間ℓ離れた項が中央の項に対して持つ比の対数は である。」^[68]この定理は正規確率法則の最初の難解な表現として解釈できるが、スティグラーは、ド・モアブル自身は彼の結果を二項係数のおおよその規則以上のものとして解釈しておらず、特にド・モアブルには確率密度関数の概念が欠けていたと指摘している。^[69]${\textstyle -{\frac {2\ell \ell }{n}}}$

1823年、ガウスはモノグラフ「最小二乗法、最大尤度法、正規分布など、いくつかの重要な統計概念を紹介する理論」を出版した。ガウスは、未知の量Vの測定値を表すために M、M ′、M ″、…を使用し、その量の最も確からしい推定値、つまり、観測された実験結果が得られる確率φ ( M − V ) · φ ( M ′ − V ) · φ ( M ″ − V ) · …を最大化する推定値を求めた。彼の表記法では、 φΔ は大きさ Δ の測定誤差の確率密度関数である。関数φが何であるかを知らなかったガウスは、彼の方法が、測定値の算術平均というよく知られた答えに簡略化されることを要求した。^{[注 3]}これらの原理から出発して、ガウスは、位置パラメータの推定値として算術平均を選択することを合理化する唯一の法則は、誤差の正規法則であることを証明しました。^[70] ここで、h は「観測の精度の尺度」です。この正規法則を実験における誤差の一般的なモデルとして使用して、ガウスは、現在では非線形加重最小二乗法として知られているものを定式化しました。^[71] $${\displaystyle \varphi {\mathit {\Delta }}={\frac {h}{\surd \pi }}\,e^{-\mathrm {hh} \Delta \Delta },}$$

正規分布の法則を最初に提案したのはガウスだが、ラプラスも重要な貢献をした。^{[注 4]} 1774年に複数の観測値を集約する問題を最初に提起したのはラプラスであったが、^[72]彼自身の解決策はラプラス分布につながった。 1782年に積分∫ e ^{− t 2}  dt = √ πの値を最初に計算し、正規分布の正規化定数を与えたのはラプラスであった。^[73]この業績により、ガウスはラプラスの優位性を認めた。^{[74]最後に、1810年にラプラスは基本的な}中心極限定理を証明してアカデミーに提示し、正規分布の理論的重要性を強調した。^[75]

1809年にアイルランド系アメリカ人の数学者ロバート・アドレインが、ガウスとは独立して、洞察に富んでいるが欠陥のある正規確率法則の導出を2つ同時に発表したことは興味深い。 ^[76]彼の研究は科学界ではほとんど注目されなかったが、1871年にアッベによって掘り起こされた。^[77]

19世紀半ばにマクスウェルは、正規分布は単に便利な数学的ツールであるだけでなく、自然現象にも起こり得ることを証明した。^{[78]ある方向に分解した速度が}xとx  +  dxの間にある粒子の数は、 $${\displaystyle \operatorname {N} {\frac {1}{\alpha \;{\sqrt {\pi }}}}\;e^{-{\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}}\,dx}$$

現在、この概念は英語では通常、正規分布またはガウス分布として知られています。その他のあまり一般的ではない名前には、ガウス分布、ラプラス-ガウス分布、誤差の法則、誤差の容易さの法則、ラプラスの第 2 法則、ガウスの法則などがあります。

ガウス自身は、その応用に関係する「正規方程式」に関連してこの用語を造ったようで、正規は、通常のものではなく、直交するという意味を専門的に持っていた。^[79]しかし、19世紀末までに、一部の著者^[注5]は、正規分布という名称を使い始め、そこでは「正規」という言葉が形容詞として使われていた。この用語は、この分布が典型的で、一般的であり、したがって正規であると見なされていたという事実を反映していると考えられている。ピアース（その著者の一人）はかつて「正規」を次のように定義した。「...「正規」は、実際に起こることの平均（または他の種類の平均）ではなく、長期的には特定の状況下で起こるであろうことの平均値である。」[ ^80] 20世紀初頭、ピアソンは、この分布の名称として正規という用語を普及させた。 ^[81]

何年も前に私はラプラス・ガウス曲線を正規曲線と呼びました。この名前は、国際的な優先権の問題を回避しますが、他のすべての頻度分布が何らかの意味で「異常」であると人々に信じさせるという欠点があります。

— ピアソン（1920）

また、分布を現代の表記法である標準偏差σで初めて記述したのはピアソンでした。その後まもなく、1915 年にフィッシャーが正規分布の式に位置パラメータを追加し、現在の表記法で表現しました。 $${\displaystyle df={\frac {1}{\sqrt {2\sigma ^{2}\pi }}}e^{-(x-m)^{2}/(2\sigma ^{2})}\,dx.}$$

平均ゼロ、分散1の正規分布を表す「標準正規」という用語は、1950年代頃に一般的に使われるようになり、P. G. Hoel (1947)の「数理統計学入門」やA. M. Mood (1950)の「統計理論入門」などの人気教科書に登場しました。^[82]

• ベイツ分布– アーウィン・ホール分布に似ていますが、0～1の範囲に再スケールされています。
• ベーレンス・フィッシャー問題– 異なる分散を持つ 2 つの正規標本の平均が同じかどうかを検定するという長年の問題。
• バタチャリヤ距離– 正規分布の混合物を分離するために使用される方法
• エルデシュ・カッツ定理–数論における正規分布の発生について
• 最大半値で全幅
• ガウスぼかし-畳み込み、正規分布をカーネルとして使用します
• ガウス関数
• 上のpdfを持つ修正半正規分布^[83]は として与えられ、ここで はフォックス・ライトのプサイ関数を表す。${\textstyle (0,\infty )}$${\textstyle f(x)={\frac {2\beta ^{\frac {\alpha }{2}}x^{\alpha -1}\exp(-\beta x^{2}+\gamma x)}{\Psi {\left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}}}$${\textstyle \Psi (\alpha ,z)={}_{1}\Psi _{1}\left({\begin{matrix}\left(\alpha ,{\frac {1}{2}}\right)\\(1,0)\end{matrix}};z\right)}$
• 正規分布と無相関は独立性を意味するものではない
• 比率正規分布
• 逆正規分布
• 標準正規表
• シュタインの補題
• 準ガウス分布
• 正規分布する確率変数の合計
• Tweedie 分布– 正規分布は、Tweedie指数分散モデルファミリーのメンバーです。
• ラップされた正規分布– 円形領域に適用された正規分布
• Z検定– 正規分布を使用する

• 「正規分布」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• 正規分布計算機