分位関数

確率と統計において、分位点関数は、確率が入力確率値以下となるようなランダム変数の値を出力します。直感的には、分位点関数は、ある確率分布においてランダム変数がその範囲内で実現される尤度を、確率入力以下の範囲に関連付けます。これは、パーセンタイル関数(パーセンタイルにちなんで)、パーセントポイント関数、逆累積分布関数(累積分布関数または cdf にちなんで)、または逆分布関数とも呼ばれます。

確率変数Xの連続かつ厳密に単調な累積分布関数(cdf)を参照すると、分位関数は入力p を閾値xにマッピングし、 Xがx以下になる確率がpになるようにします。分布関数Fの観点から見ると、分位関数Q は次の 値xを返します。${\displaystyle F_{X}\colon \mathbb {R} \to [0,1]}$ ${\displaystyle Q\colon [0,1]\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle F_{X}(x):=\Pr(X\leq x)=p,}$

これは、 CDFの 逆関数として表すことができる。

${\displaystyle Q(p)=F_{X}^{-1}(p).}$

厳密に単調ではない分布関数の一般的なケースでは、逆累積分布関数を許さないため、分位数は分布関数Fの（潜在的に）集合値関数であり、区間^{[1]で与えられる。}

${\displaystyle Q(p)={\big [}\sup\{x\colon F(x)<p\},\sup\{x\colon F(x)\leq p\}{\big ]}.}$

最も低い値を選択するのが標準であることが多く、これは次のように同等に表すことができます（ Fの右連続性を使用）

${\displaystyle Q(p)=\inf\{x\in \mathbb {R} :p\leq F(x)\}.}$

ここでは、分位関数が、 cdf 値がp を超えるすべての値の中からxの最小値を返すという事実を捉えています。これは、分布が連続している特殊なケースでの前の確率ステートメントに相当します。分布関数は右連続で弱単調増加であるため、最小値関数は最小値関数に置き換えることができることに注意してください。

分位数はガロア不等式を満たす唯一の関数である。

${\displaystyle Q(p)\leq x}$もし、もし、${\displaystyle p\leq F(x).}$

関数Fが連続かつ厳密に単調増加であれば、不等式は等式に置き換えることができ、

${\displaystyle Q=F^{-1}.}$

一般に、分布関数Fが左逆関数または右逆関数を持たない場合でも、分位関数Qは分布関数の「ほぼ確実な左逆関数」として振る舞う。

${\displaystyle Q{\bigl (}F(X){\bigr )}=X}$ほぼ確実です。

例えば、指数関数( λ )（強度λと期待値（平均）1/ λ）の累積分布関数は、

${\displaystyle F(x;\lambda )={\begin{cases}1-e^{-\lambda x}&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}}$

指数関数( λ )の分位関数は、次のQの値を見つけることによって導かれます。 ${\displaystyle 1-e^{-\lambda Q}=p}$

${\displaystyle Q(p;\lambda )={\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }},}$

0 ≤  p  < 1の場合。したがって四分位数は次のようになります。

第1四分位数（p = 1/4）

${\displaystyle -\ln(3/4)/\lambda ,}$

中央値（p = 2/4）

${\displaystyle -\ln(1/2)/\lambda ,}$

第三四分位数（p = 3/4）

${\displaystyle -\ln(1/4)/\lambda .}$

分位関数は、統計アプリケーションとモンテカルロ法の両方で使用されます。

分位関数は確率分布を規定する 1 つの方法であり、確率密度関数(pdf) または確率質量関数、累積分布関数(cdf)、および特性関数の代替手段です。確率分布の分位関数Qは、その累積分布関数Fの逆関数です。分位関数の導関数、つまり分位密度関数は、確率分布を規定するもう 1 つの方法です。これは、分位関数で構成された pdf の逆数です。

統計アプリケーションで、ユーザーが特定の分布の重要なパーセンテージ ポイントを知る必要がある場合を考えてみましょう。たとえば、上記の例のように中央値と 25% および 75% の四分位数、または分布がわかっている観測値の統計的有意性を評価するなどの他のアプリケーションでは 5%、95%、2.5%、97.5% のレベルが必要です (分位数の項目を参照)。コンピューターが普及する前は、分位関数をサンプリングした統計表が付録として本に載っていることは珍しくありませんでした。^[2]分位関数の統計アプリケーションについては、ギルクリストが詳細に説明しています。^[3]

モンテカルロシミュレーションは、さまざまなタイプのシミュレーション計算で使用するために、非一様乱数または疑似乱数を生成するために分位関数を使用します。与えられた分布からのサンプルは、原理的には、一様分布からのサンプルに分位関数を適用することによって得られます。現代の計算金融などのシミュレーション手法の需要は、コピュラ法または準モンテカルロ法^{[4]に基づく}多変量技術や金融におけるモンテカルロ法とうまく機能するため、分位関数に基づく手法にますます注目が集まっています。

分位関数の評価には、多くの場合、数値的手法、たとえば上記の指数分布が含まれます。指数分布は、閉じた形式の表現が見つかる数少ない分布の 1 つです (他の分布には、一様分布、ワイブル分布、テューキーのラムダ分布(ロジスティック分布を含む)、対数ロジスティック分布などがあります)。 cdf 自体が閉じた形式の表現を持つ場合は、常に二分法などの数値的根探索アルゴリズムを使用してcdf を反転できます。その他の手法では、補間技法による逆関数の近似値に依存しています。^{[5] [6]} 分位関数を評価するためのさらなるアルゴリズムは、Numerical Recipesシリーズの書籍で説明されています。一般的な分布のアルゴリズムは、多くの統計ソフトウェアパッケージに組み込まれています。一般的な分布のクラスに対する分位関数を数値的に計算する一般的な手法は、次のライブラリにあります。

• CライブラリUNU.RAN ^[7]
• Rライブラリルヌラン^[8]
• scipy.statsのPythonサブパッケージサンプリング^{[9] [10]}

分位関数は非線形常微分方程式および偏微分方程式の解としても特徴付けられる。正規分布、スチューデント分布、ベータ分布、ガンマ分布の場合の常微分方程式が与えられ、解かれている。^[11]

正規分布はおそらく最も重要なケースです。正規分布は位置スケール族であるため、任意のパラメータに対するその分位関数は、プロビット関数として知られる標準正規分布の分位関数の単純な変換から導くことができます。残念ながら、この関数は基本的な代数関数を使用した閉じた形式の表現がないため、通常は近似表現が使用されます。徹底した合成有理近似と多項式近似は、Wichura ^[12]と Acklam ^[13]によって与えられています。非合成有理近似は、Shaw ^[14]によって開発されました。

正規分布w ( p )に対する非線形常微分方程式が与えられる。これは

${\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dp^{2}}}=w\left({\frac {dw}{dp}}\right)^{2}}$

中心（初期）条件

${\displaystyle w\left(1/2\right)=0,\,}$

${\displaystyle w'\left(1/2\right)={\sqrt {2\pi }}.\,}$

この方程式は、古典的なべき級数アプローチを含むいくつかの方法で解くことができます。これにより、任意の高精度の解が開発される可能性があります (Steinbrecher および Shaw、2008 を参照)。

これは歴史的に見て扱いにくいケースの1つであり、自由度νというパラメータが存在するため、有理数やその他の近似値の使用が困難である。ν = 1、2、4の場合には簡単な公式が存在し、νが偶数の場合には問題は多項式の解に簡略化できる。その他の場合には、分位関数はべき級数として展開される。^[15]簡単なケースは以下のとおりである。

ν = 1 (コーシー分布)

${\displaystyle Q(p)=\tan(\pi (p-1/2))\!}$

ν = 2

${\displaystyle Q(p)=2(p-1/2){\sqrt {\frac {2}{\alpha }}}\!}$

ν = 4

${\displaystyle Q(p)=\operatorname {sign} (p-1/2)\,2\,{\sqrt {q-1}}\!}$

どこ

${\displaystyle q={\frac {\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left({\sqrt {\alpha }}\,\right)\right)}{\sqrt {\alpha }}}\!}$

そして

${\displaystyle \alpha =4p(1-p).\!}$

上記の「符号」関数は、正の引数の場合は +1、負の引数の場合は -1、ゼロの場合は 0 です。三角関数の正弦関数と混同しないでください。

密度の混合と同様に、分布は分位混合として定義できる。

${\displaystyle Q(p)=\sum _{i=1}^{m}a_{i}Q_{i}(p)}$、

ここで、、は分位関数、、はモデルパラメータです。パラメータは、が分位関数となるように選択する必要があります。カルヴァネンによって、正規多項式分位混合とコーシー多項式分位混合という2つの4パラメータ分位混合が提示されました。^[16]${\displaystyle Q_{i}(p)}$${\displaystyle i=1,\ldots ,m}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle i=1,\ldots ,m}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle Q(p)}$

正規分布に対して与えられた非線形常微分方程式は、2次導関数が存在する任意の分位関数に対して利用可能な方程式の特別なケースである。一般に、分位数Q ( p )の方程式が与えられる。それは

${\displaystyle {\frac {d^{2}Q}{dp^{2}}}=H(Q)\left({\frac {dQ}{dp}}\right)^{2}}$

適切な境界条件によって補強され、

${\displaystyle H(x)=-{\frac {f'(x)}{f(x)}}=-{\frac {d}{dx}}\ln f(x)}$

ƒ ( x ) は確率密度関数です。この方程式の形と、正規分布、スチューデント分布、ガンマ分布、ベータ分布の場合の級数と漸近解による古典的な解析は、Steinbrecher と Shaw (2008) によって解明されています。このような解は正確なベンチマークを提供し、スチューデント分布の場合は、実際のモンテカルロ使用に適した級数を提供します。

• 逆変換サンプリング
• パーセンテージポイント
• 確率積分変換
• クォンタイル
• 順位と規模の分布

• Abernathy, Roger W. および Smith, Robert P. (1993) *「逆ベータ分布に級数展開を適用して F 分布のパーセンタイルを求める」、ACM Trans. Math. Softw.、9 (4)、478–480 doi :10.1145/168173.168387
• 正規分布の改良
• 「スチューデント」T分布を管理する新しい方法
• ACM アルゴリズム 396: 学生の t-分位値