楕円

デカルト座標系における楕円の標準形は、原点が楕円の中心であり、x軸が長軸であり、以下の条件を満たすことを前提としています。

任意の点について${\displaystyle (x,y)}$焦点までの距離${\displaystyle (c,0)}$は${\textstyle {\sqrt {(xc)^{2}+y^{2}}}}$そしてもう一方の焦点へ${\textstyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}}$だからこそ、${\displaystyle (x,\,y)}$は、次の場合に楕円上にある。 $${\displaystyle {\sqrt {(xc)^{2}+y^{2}}}+{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}=2a\ .}$$

適切な平方化と使用により根号を取り除きます${\displaystyle b^{2}=a^{2}-c^{2}}$（図を参照）楕円の標準方程式が得られます：^{[ 3 ]}$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}$$ または、yについて解くと次のようになる。 $${\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {{\vphantom {\left(a^{2}-x^{2}\right)}}a^{2}-x^{2}}}=\pm {\sqrt {\left(a^{2}-x^{2}\right)\left(1-e^{2}\right)}}.}$$

幅と高さのパラメータ${\displaystyle a,\;b}$これらは長半径と短半径と呼ばれます。上端と下端${\displaystyle V_{3}=(0,\,b),\;V_{4}=(0,\,-b)}$は共頂点です。点からの距離${\displaystyle (x,\,y)}$楕円の左焦点と右焦点は${\displaystyle a+ex}$そして${\displaystyle a-ex}$。

この式から、楕円は座標軸に関して対称であり、したがって原点に関しても対称であることがわかる。

任意の線${\displaystyle g}$楕円と交わる点は、それぞれ外接線、接線、割線と呼ばれる。楕円の任意の点を通る接線は一意である。${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$楕円の$\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$座標方程式は次のとおりです。 $$\displaystyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}x+{\frac {y_{1}}{b^{2}}}y=1.}$$

接線の ベクトル媒介変数表示は次のとおりです。$${\displaystyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}+s\left({\begin{array}{r}-y_{1}a^{2}\\x_{1}b^{2}\end{array}}\right),\quad s\in \mathbb {R} .}$$

証明:${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$楕円上の点であり、${\textstyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}}$任意の直線の式${\displaystyle g}$含む${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$直線の式を楕円の式に代入し、${\textstyle {\frac {x_{1}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y_{1}^{2}}{b^{2}}}=1}$収量： $${\displaystyle {\frac {\left(x_{1}+su\right)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\left(y_{1}+sv\right)^{2}}{b^{2}}}=1\ \quad \Longrightarrow \quad 2s\left({\frac {x_{1}u}{a^{2}}}+{\frac {y_{1}v}{b^{2}}}\right)+s^{2}\left({\frac {u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {v^{2}}{b^{2}}}\right)=0\ .}$$ 次のようなケースがあります。

1. ${\displaystyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}u+{\frac {y_{1}}{b^{2}}}v=0.}$次に線${\displaystyle g}$そして楕円には点が一つしかない${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$共通して、そして${\displaystyle g}$は接線です。接線の方向は垂直ベクトルを持ちます。${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {x_{1}}{a^{2}}}&{\frac {y_{1}}{b^{2}}}\end{pmatrix}}}$接線は次の式で表されます。${\textstyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}x+{\tfrac {y_{1}}{b^{2}}}y=k}$一部の人にとって${\displaystyle k}$。 なぜなら${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$接線と楕円上にあるので、${\displaystyle k=1}$。
2. ${\displaystyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}u+{\frac {y_{1}}{b^{2}}}v\neq 0.}$次に線${\displaystyle g}$楕円と共通する2つ目の点を持ち、割線である。

（１）を用いると、${\displaystyle {\begin{pmatrix}-y_{1}a^{2}&x_{1}b^{2}\end{pmatrix}}}$は点における接線ベクトルである${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$これはベクトル方程式を証明する。

もし${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$そして${\displaystyle (u,v)}$は楕円の2点であり、${\textstyle {\frac {x_{1}u}{a^{2}}}+{\tfrac {y_{1}v}{b^{2}}}=0}$すると、点は2つの共役直径上に位置する（下記参照）。（もし${\displaystyle a=b}$（楕円は円であり、「共役」とは「直交」を意味する。）

標準楕円の中心がシフトされている場合${\displaystyle \left(x_{\circ },\,y_{\circ }\right)}$その方程式は $${\displaystyle {\frac {\left(x-x_{\circ }\right)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\left(y-y_{\circ }\right)^{2}}{b^{2}}}=1\ .}$$

軸は依然としてx軸とy軸に平行である。

解析幾何学では、楕円は二次曲面として定義される。${\displaystyle (x,\,y)}$デカルト平面の非退化ケースでは、陰方程式^{[ 5 ] [ 6 ]を満たす。}$${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}$$ 提供された${\displaystyle B^{2}-4AC<0.}$

退化ケースと非退化ケースを区別するために、 ∆を行列式とする。$${\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}A&{\frac {1}{2}}B&{\frac {1}{2}}D\\{\frac {1}{2}}B&C&{\frac {1}{2}}E\\{\frac {1}{2}}D&{\frac {1}{2}}E&F\end{vmatrix}}=ACF+{\tfrac {1}{4}}BDE-{\tfrac {1}{4}}(AE^{2}+CD^{2}+FB^{2}).}$$

すると、楕円が非退化実楕円となるのは、C∆ < 0 の場合に限る。C∆ > 0 の場合は虚楕円となり、∆ = 0 の場合は点楕円となる。^{[ 7 ] : 63}

一般式の係数は、既知の長半径から求めることができる。${\displaystyle a}$短軸${\displaystyle b}$中心座標${\displaystyle \left(x_{\circ },\,y_{\circ }\right)}$回転角度${\displaystyle \theta }$（正の水平軸から楕円の長軸までの角度）を以下の式を用いて求めます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=a^{2}\sin ^{2}\theta +b^{2}\cos ^{2}\theta &B&=2\left(b^{2}-a^{2}\right)\sin \theta \cos \theta \\[1ex]C&=a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta &D&=-2Ax_{\circ }-By_{\circ }\\[1ex]E&=-Bx_{\circ }-2Cy_{\circ }&F&=Ax_{\circ }^{2}+Bx_{\circ }y_{\circ }+Cy_{\circ }^{2}-a^{2}b^{2}.\end{aligned}}}$$

これらの式は正準方程式から導き出すことができる。 $${\displaystyle {\frac {X^{2}}{a^{2}}}+{\frac {Y^{2}}{b^{2}}}=1}$$ 座標のユークリッド変換によって${\displaystyle (X,\,Y)}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}X&=\left(x-x_{\circ }\right)\cos \theta +\left(y-y_{\circ }\right)\sin \theta ,\\Y&=-\left(x-x_{\circ }\right)\sin \theta +\left(y-y_{\circ }\right)\cos \theta .\end{aligned}}}$$

逆に、標準形のパラメータは、次の式によって一般形の係数から得ることができます。^{[ 3 ] [ 8 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}a,b&={\frac {-{\sqrt {2{\big (}AE^{2}+CD^{2}-BDE+(B^{2}-4AC)F{\big )}{\big (}(A+C)\pm {\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}{\big )}}}}{B^{2}-4AC}},\\x_{\circ }&={\frac {2CD-BE}{B^{2}-4AC}},\\[5mu]y_{\circ }&={\frac {2AE-BD}{B^{2}-4AC}},\\[5mu]\theta &={\tfrac {1}{2}}\operatorname {atan2} (-B,\,C-A),\end{aligned}}}$$

ここで、atan2は 2 引数の逆正接関数です。

三角関数を用いて、標準楕円のパラメトリック表現${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$は： $${\displaystyle (x,\,y)=(a\cos t,\,b\sin t),\ 0\leq t<2\pi \,.}$$

パラメータt (天文学では偏心近点角と呼ばれる) は角度ではなく、${\displaystyle (x(t),y(t))}$x軸と関連しているが、フィリップ・ド・ラ・イールによる幾何学的意味がある（下記の§ 楕円の描画を参照）。^{[ 9 ]}

交代により${\textstyle u=\tan \left({\frac {t}{2}}\right)}$そして三角関数の公式から $${\displaystyle \cos t={\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}\ ,\quad \sin t={\frac {2u}{1+u^{2}}}}$$

そして楕円の 有理パラメータ方程式$${\displaystyle {\begin{cases}x(u)=a\,{\dfrac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}\\[10mu]y(u)=b\,{\dfrac {2u}{1+u^{2}}}\\[10mu]-\infty <u<\infty \end{cases}}}$$

楕円の任意の点を覆う${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$左頂点を除く${\displaystyle (-a,\,0)}$。

のために${\displaystyle u\in [0,\,1],}$この式は、楕円の右上四分の一が反時計回りに回転し、${\displaystyle u.}$左の頂点は極限です${\textstyle \lim _{u\to \pm \infty }(x(u),\,y(u))=(-a,\,0)\;.}$

あるいは、パラメータが${\displaystyle [u:v]}$実射影線上の点とみなされる${\textstyle \mathbf {P} (\mathbf {R} )}$すると、対応する有理パラメータ化は次のようになる。 $${\displaystyle [u:v]\mapsto \left(a{\frac {v^{2}-u^{2}}{v^{2}+u^{2}}},b{\frac {2uv}{v^{2}+u^{2}}}\right).}$$

それから${\textstyle [1:0]\mapsto (-a,\,0).}$

円錐曲線の有理表現は、コンピュータ支援設計で一般的に使用されています（ベジェ曲線を参照）。

傾きを使用するパラメトリック表現${\displaystyle m}$楕円上の点における接線の導関数は、標準表現の導関数から得られる。${\displaystyle {\vec {x}}(t)=(a\cos t,\,b\sin t)}$: $${\displaystyle {\vec {x}}'(t)=(-a\sin t,\,b\cos t)\quad \rightarrow \quad m=-{\frac {b}{a}}\cot t\quad \rightarrow \quad \cot t=-{\frac {ma}{b}}.}$$

三角関数の公式を用いると、次の式が得られる。 $${\displaystyle \cos t={\frac {\cot t}{\pm {\sqrt {1+\cot ^{2}t}}}}={\frac {-ma}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}\ ,\quad \quad \sin t={\frac {1}{\pm {\sqrt {1+\cot ^{2}t}}}}={\frac {b}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}.}$$

交換する${\displaystyle \cos t}$そして${\displaystyle \sin t}$標準表現では次のようになります。 $${\displaystyle {\vec {c}}_{\pm }(m)=\left(-{\frac {ma^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}},\;{\frac {b^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}\right),\,m\in \mathbb {R} .}$$

ここ${\displaystyle m}$は対応する楕円点における接線の傾きであり、${\displaystyle {\vec {c}}_{+}}$上部と${\displaystyle {\vec {c}}_{-}}$楕円の下半分。頂点${\displaystyle (\pm a,\,0)}$垂直な接線を持つものは、この表現には含まれません。

点における接線の方程式${\displaystyle {\vec {c}}_{\pm }(m)}$形式は${\displaystyle y=mx+n}$まだ知られていない${\displaystyle n}$対応する楕円点の座標を挿入することで決定できます。${\displaystyle {\vec {c}}_{\pm }(m)}$: $${\displaystyle y=mx\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}\,.}$$

楕円の接線に関するこの記述は、楕円の正視座標を決定する上で不可欠なツールである。正視座標に関する記事には、微分積分や三角関数を用いない別の証明も掲載されている。

楕円の別の定義では、アフィン変換が用いられる。

任意の楕円は、方程式 を持つ単位円のアフィン変換である。${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$。

パラメトリック表現

ユークリッド平面のアフィン変換は次の形式をとる。${\displaystyle {\vec {x}}\mapsto {\vec {f}}\!_{0}+A{\vec {x}}}$、 どこ${\displaystyle A}$は正則行列（非ゼロ行列式を持つ）であり、${\displaystyle {\vec {f}}\!_{0}}$は任意のベクトルです。${\displaystyle {\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}}$は行列の列ベクトルです${\displaystyle A}$単位円${\displaystyle (\cos(t),\sin(t))}$、${\displaystyle 0\leq t\leq 2\pi }$は楕円上にマッピングされます。 $${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}\!_{0}+{\vec {f}}\!_{1}\cos t+{\vec {f}}\!_{2}\sin t\,.}$$

ここ${\displaystyle {\vec {f}}\!_{0}}$中心であり、${\displaystyle {\vec {f}}\!_{1},\;{\vec {f}}\!_{2}}$これらは2つの共役直径の方向であり、一般には垂直ではない。

頂点

楕円の4つの頂点は${\displaystyle {\vec {p}}(t_{0}),\;{\vec {p}}\left(t_{0}\pm {\tfrac {\pi }{2}}\right),\;{\vec {p}}\left(t_{0}+\pi \right)}$パラメータの場合${\displaystyle t=t_{0}}$定義: $${\displaystyle \cot(2t_{0})={\frac {{\vec {f}}\!_{1}^{\,2}-{\vec {f}}\!_{2}^{\,2}}{2{\vec {f}}\!_{1}\cdot {\vec {f}}\!_{2}}}.}$$

（もし${\displaystyle {\vec {f}}\!_{1}\cdot {\vec {f}}\!_{2}=0}$、 それから${\displaystyle t_{0}=0}$）これは次のように導出されます。点における接線ベクトル${\displaystyle {\vec {p}}(t)}$は： $${\displaystyle {\vec {p}}\,'(t)=-{\vec {f}}\!_{1}\sin t+{\vec {f}}\!_{2}\cos t\ .}$$

頂点パラメータにおいて${\displaystyle t=t_{0}}$接線は長軸／短軸に垂直なので、次のようになります。 $${\displaystyle 0={\vec {p}}'(t)\cdot \left({\vec {p}}(t)-{\vec {f}}\!_{0}\right)=\left(-{\vec {f}}\!_{1}\sin t+{\vec {f}}\!_{2}\cos t\right)\cdot \left({\vec {f}}\!_{1}\cos t+{\vec {f}}\!_{2}\sin t\right).}$$

アイデンティティの拡張と適用${\displaystyle \;\cos ^{2}t-\sin ^{2}t=\cos 2t,\ \ 2\sin t\cos t=\sin 2t\;}$方程式を与える${\displaystyle t=t_{0}\;.}$

エリア

アポロニオスの定理（下記参照）から、 楕円の面積は次のようになる。${\displaystyle \;{\vec {x}}={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}\cos t+{\vec {f}}_{2}\sin t\;}$は $${\displaystyle A=\pi \left|\det({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2})\right|.}$$

半軸

略語付き ${\displaystyle \;M={\vec {f}}_{1}^{2}+{\vec {f}}_{2}^{2},\ N=\left|\det({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2})\right|}$ アポロニオスの定理の記述は次のように表すことができる。 $${\displaystyle a^{2}+b^{2}=M,\quad ab=N\ .}$$ この非線形システムを解く${\displaystyle a,b}$半軸が得られる： $${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {1}{2}}({\sqrt {M+2N}}+{\sqrt {M-2N}})\\[1ex]b&={\frac {1}{2}}({\sqrt {M+2N}}-{\sqrt {M-2N}})\,.\end{aligned}}}$$

暗黙的表現

パラメトリック表現を解く${\displaystyle \;\cos t,\sin t\;}$クレイマーの公式と${\displaystyle \;\cos ^{2}t+\sin ^{2}t-1=0\;}$暗黙表現が得られる $${\displaystyle \det {\left({\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{2}\right)^{2}}+\det {\left({\vec {f}}\!_{1},{\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0}\right)^{2}}-\det {\left({\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}\right)^{2}}=0.}$$

逆に：方程式が

${\displaystyle x^{2}+2cxy+d^{2}y^{2}-e^{2}=0\ ,}$と${\displaystyle \;d^{2}-c^{2}>0\;,}$

原点を中心とする楕円の 2 つのベクトルが与えられ、 $${\displaystyle {\vec {f}}_{1}={e \choose 0},\quad {\vec {f}}_{2}={\frac {e}{\sqrt {d^{2}-c^{2}}}}{-c \choose 1}}$$ 2 つの共役点を指し示す場合、上記で開発したツールが適用可能です。

例：方程式が の楕円の場合${\displaystyle \;x^{2}+2xy+3y^{2}-1=0\;}$ベクトルは $${\displaystyle {\vec {f}}_{1}={1 \choose 0},\quad {\vec {f}}_{2}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{-1 \choose 1}.}$$

回転した標準楕円

のために${\displaystyle {\vec {f}}_{0}={0 \choose 0},\;{\vec {f}}_{1}=a{\cos \theta \choose \sin \theta },\;{\vec {f}}_{2}=b{-\sin \theta \choose \;\cos \theta }}$角度だけ回転させた標準楕円のパラメトリック表現が得られる。${\displaystyle \theta }$: $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=x_{\theta }(t)=a\cos \theta \cos t-b\sin \theta \sin t\,,\\y&=y_{\theta }(t)=a\sin \theta \cos t+b\cos \theta \sin t\,.\end{aligned}}}$$

空間内の楕円

この節の楕円の定義は、空間においても任意の楕円のパラメトリック表現を与える。${\displaystyle {\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}}$空間におけるベクトルとなる。

極座標では、原点は楕円の中心にあり、角度座標は${\displaystyle \theta }$長軸から測った楕円の方程式は^{[ 7 ]： 75です。}$${\displaystyle r(\theta )={\frac {ab}{\sqrt {(b\cos \theta )^{2}+(a\sin \theta )^{2}}}}={\frac {b}{\sqrt {1-(e\cos \theta )^{2}}}}}$$ どこ${\displaystyle e}$は離心率（オイラー数ではない）です。

代わりに、原点を一つの焦点に置いた極座標を用いると、角度座標は${\displaystyle \theta =0}$長軸から測定した場合、楕円の方程式は次のようになります。 $${\displaystyle r(\theta )={\frac {a(1-e^{2})}{1\pm e\cos \theta }}}$$

参照方向が負の場合、分母の符号は負になります${\displaystyle \theta =0}$ points towards the center (as illustrated on the right), and positive if that direction points away from the center.

The angle ${\displaystyle \theta }$ is called the true anomaly of the point. The numerator ${\displaystyle \ell =a(1-e^{2})}$ is the semi-latus rectum.

円には次の性質があります。

平行弦の中点は直径上に位置する。

アフィン変換は線分の平行性と中点を保持するため、この性質は任意の楕円に当てはまります。（ただし、平行弦と直径はもはや直交しません。）

意味

直径が2つ${\displaystyle d_{1},\,d_{2}}$楕円の弦の中点が、${\displaystyle d_{1}}$横たわる${\displaystyle d_{2}\ .}$

図から次のことがわかる。

直径が2つ${\displaystyle {\overline {P_{1}Q_{1}}},\,{\overline {P_{2}Q_{2}}}}$楕円の接線が共役であるのは、${\displaystyle P_{1}}$そして${\displaystyle Q_{1}}$と平行である${\displaystyle {\overline {P_{2}Q_{2}}}}$。

楕円における共役直径は、円における直交直径を一般化したものである。

上記の一般楕円の媒介変数表示では、 $${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}\!_{0}+{\vec {f}}\!_{1}\cos t+{\vec {f}}\!_{2}\sin t,}$$

任意の2点${\displaystyle {\vec {p}}(t),\ {\vec {p}}(t+\pi )}$直径に属し、ペア${\displaystyle {\vec {p}}\left(t+{\tfrac {\pi }{2}}\right),\ {\vec {p}}\left(t-{\tfrac {\pi }{2}}\right)}$その共役直径に属する。

一般的なパラメトリック表現の場合${\displaystyle (a\cos t,b\sin t)}$方程式を持つ楕円${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$獲得できるポイント：

${\displaystyle (x_{1},y_{1})=(\pm a\cos t,\pm b\sin t)\quad }$（記号：（＋、＋）または（－、－））

${\displaystyle (x_{2},y_{2})=({\color {red}{\mp }}a\sin t,\pm b\cos t)\quad }$（符号：（−、+）または（+、−））

共役であり、

${\displaystyle {\frac {x_{1}x_{2}}{a^{2}}}+{\frac {y_{1}y_{2}}{b^{2}}}=0\ .}$

円の場合、最後の式は次のように簡略化されます。${\displaystyle x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0\ .}$

半軸を持つ楕円の場合${\displaystyle a,\,b}$以下のことが真実です。^{[ 10 ] [ 11 ]}

させて${\displaystyle c_{1}}$そして ${\displaystyle c_{2}}$2つの共役直径の半分である（図を参照）

1. ${\displaystyle c_{1}^{2}+c_{2}^{2}=a^{2}+b^{2}}$。
2. 三角形​${\displaystyle O,P_{1},P_{2}}$サイド付き${\displaystyle c_{1},\,c_{2}}$（図を参照）面積は一定である${\textstyle A_{\Delta }={\frac {1}{2}}ab}$これは次のように表現できます。${\displaystyle A_{\Delta }={\tfrac {1}{2}}c_{2}d_{1}={\tfrac {1}{2}}c_{1}c_{2}\sin \alpha }$、 あまりにも。${\displaystyle d_{1}}$地点の高度は${\displaystyle P_{1}}$そして${\displaystyle \alpha }$半直径間の角度。したがって、楕円の面積（メートル法特性のセクションを参照）は次のように表すことができます。${\displaystyle A_{el}=\pi ab=\pi c_{2}d_{1}=\pi c_{1}c_{2}\sin \alpha }$。
3. 与えられた共役直径に隣接する接線の平行四辺形は、${\displaystyle {\text{Area}}_{12}=4ab\ .}$

証拠

楕円は、媒介変数方程式を持つ標準形であるとする。 $${\displaystyle {\vec {p}}(t)=(a\cos t,\,b\sin t).}$$

2つのポイント${\textstyle {\vec {c}}_{1}={\vec {p}}(t),\ {\vec {c}}_{2}={\vec {p}}\left(t+{\frac {\pi }{2}}\right)}$共役直径上にある（前のセクションを参照）。三角関数の公式から、${\displaystyle {\vec {c}}_{2}=(-a\sin t,\,b\cos t)^{\mathsf {T}}}$そして $${\displaystyle \left|{\vec {c}}_{1}\right|^{2}+\left|{\vec {c}}_{2}\right|^{2}=\cdots =a^{2}+b^{2}\,.}$$

生成された三角形の面積${\displaystyle {\vec {c}}_{1},\,{\vec {c}}_{2}}$は $${\displaystyle A_{\Delta }={\tfrac {1}{2}}\det \left({\vec {c}}_{1},\,{\vec {c}}_{2}\right)=\cdots ={\tfrac {1}{2}}ab}$$