楕円軌道

天体力学において、楕円軌道または偏心軌道とは、離心率が1未満の軌道のことです。これには、離心率が0である円軌道という特殊な場合も含まれます。離心率の高い軌道の中には「細長い」と表現されるものもありますが、これは説明的な用語ではありません。単純な二体問題においては、すべての軌道は楕円です。

重力二体問題では、両天体は共通の重心の周りを同じ周期で同様の楕円軌道を描きます。一方の天体に対する他方の天体の相対位置もまた、楕円軌道を描きます。

太陽系では、太陽の圧倒的な質量により、惑星はそれぞれ太陽を主焦点とするほぼ円形の楕円軌道（ e が0 に近い）を描きますが、ハレー彗星のような彗星は非常に偏心した、または細長い軌道（ e が1 に近い）を描きます。衛星の楕円軌道または軌道の例としては、ホーマン遷移軌道、モルニヤ軌道、ツンドラ軌道などがあります。

速度

標準的な仮定の下では、2つの球対称物体以外に作用する力はない。 $(m_{1})$ そして $(m_{2})$ [ ¹^]軌道速度( $v\,$ 楕円軌道に沿って移動する物体の ) は、vis-viva 方程式から次のように計算できます。^{[ 2 ]}

v={\sqrt {\mu \left({2 \over {r}}-{1 \over {a}}\right)}}

どこ：

$\mu \,$ は標準重力パラメータです。 $G(m_{1}+m_{2})$ しばしば次のように表現される $GM$ 一方の物体が他方の物体よりはるかに大きい場合。
$r\,$ これは、両物体の重心間の距離です。
$a\,\!$ は半長軸の長さです。

双曲線軌道の速度方程式は、 $(+{1 \over {a}})$ あるいは、その場合、慣例と同じである。 $(a)$ 負の値です。

軌道周期

標準的な仮定の下では、軌道周期（ $T\,\!$ 楕円軌道に沿って移動する物体の ) は次のように計算できます。^{[ 3 ]}

T=2\pi {\sqrt {a^{3} \over {\mu }}}

どこ：

$\mu$ は標準重力パラメータです。
$a\,\!$ は半長軸の長さです。

結論：

軌道周期は、軌道半径が半長軸に等しい円軌道の周期と等しい（ $a\,\!$ )
与えられた軌道長半径に対して、軌道周期は離心率に依存しない（ケプラーの第三法則も参照）。

エネルギー

標準的な仮定の下では、比軌道エネルギー（ $\epsilon$ 楕円軌道の ) は負であり、この軌道の軌道エネルギー保存方程式 ( Vis-viva 方程式) は次の形式をとることができます。^{[ 4 ]}

{v^{2} \over {2}}-{\mu \over {r}}=-{\mu \over {2a}}=\epsilon <0

どこ：

$v\,$ は軌道上の物体の軌道速度であり、
$r\,$ は、周回する天体と中心天体との距離です。
$a\,$ は半長軸の長さです。
$\mu \,$ は標準重力パラメータです。

結論：

特定の軌道長半径の場合、比軌道エネルギーは離心率に依存しない。

ビリアル定理を用いて以下を求める：

比ポテンシャルエネルギーの時間平均は −2ε に等しい
- r ⁻¹の時間平均はa ⁻¹です
比運動エネルギーの時間平均はεに等しい

半長軸の観点から見たエネルギー

軌道のエネルギーを長半径（および関連する質量）の観点から知ることは役立つ場合があります。軌道の全エネルギーは次のように与えられます。

E=-G{\frac {Mm}{2a}}

、

ここで、aは長半径である。

導出

重力は中心力であるため、角運動量は一定である。

\displaystyle {\dot {\mathbf {L} }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {r} \times F(r)\mathbf {\hat {r}} =0}

最接近時と最遠接近時において、角運動量は周回する質量からの距離に垂直であるため、次のようになる。

L=rp=rmv

。

軌道の全エネルギーは^{[ 5 ]で与えられる。}

E={\frac {1}{2}}mv^{2}-G{\frac {Mm}{r}}

。

vを代入すると、方程式は次のようになる。

E={\frac {1}{2}}{\frac {L^{2}}{mr^{2}}}-G{\frac {Mm}{r}}

。

これはrが最も近い距離／最も遠い距離である場合に当てはまるので、2つの連立方程式が作成され、それをEについて解くと次のようになります。

E=-G{\frac {Mm}{r_{1}+r_{2}}}

以来 ${\textstyle r_{1}=a+a\epsilon }$ そして $r_{2}=aa\epsilon$ ここで、εは軌道の離心率であり、上記の結果が得られる。

飛行経路角度

飛行経路角は、軌道上の物体の速度ベクトル（瞬間軌道に接するベクトルに等しい）と局所的な水平面との間の角度です。角運動量保存の標準的な仮定の下では、飛行経路角は $\phi$ 方程式を満たす：^{[ 6 ]}

h\,=r\,v\,\cos \phi

どこ：

$h\,$ は軌道の比角運動量であり、
$v\,$ は軌道上の物体の軌道速度であり、
$r\,$ は、中心天体から周回天体までの半径方向の距離です。
$\phi \,$ 飛行経路の角度は

$\psi$ は、軌道速度ベクトルと軌道長半径との間の角度です。 $\nu$ は局所的な真の異常値です。 $\phi =\nu +{\frac {\pi }{2}}-\psi$ 、したがって、

\cos \phi =\sin(\psi -\nu )=\sin \psi \cos \nu -\cos \psi \sin \nu ={\frac {1+e\cos \nu }{\sqrt {1+e^{2}+2e\cos \nu }}}

\tan \phi ={\frac {e\sin \nu }{1+e\cos \nu }}

どこ $e$ それは奇抜さだ。

角運動量は位置と速度のベクトル積に関係しており、これはこれら2つのベクトル間の角度の正弦に比例する。 $\phi$ は、この角度から90度異なる角度として定義されるため、正弦の代わりに余弦が現れます。

運動方程式

初期位置と速度から

軌道方程式は、軌道を回る物体の経路を定義する。 $m_{2}\,\!$ 中心体の周囲 $m_{1}\,\!$ 相対的に $m_{1}\,\!$ 位置を時間の関数として指定せずに。離心率が 1 未満の場合、運動方程式は楕円軌道を表します。ケプラー方程式は $M=Ee\sin E$ 平均近点角 (M) に関して偏心近点角(E)の一般的な閉形式解はなく、時間の関数としての運動方程式にも閉形式解はありません (ただし、両方について数値解は存在します)。

しかし、中心天体に対する楕円軌道の閉形式の時間不変経路方程式は、初期位置( $\mathbf {r}$ ）と速度（ $\mathbf {v}$ )

この場合、上記の標準的な仮定とは若干異なる以下の仮定を用いると便利です。

中心体の位置は原点にあり、主要な焦点です（ $\mathbf {F1}$ 楕円の）（あるいは、軌道上の物体が相当な質量を持つ場合は、代わりに重心を使用することもできます）
中心天体の質量（m1）は既知である
軌道上の物体の初期位置（ $\mathbf {r}$ ）と速度（ $\mathbf {v}$ ）は知られています
楕円はXY平面内にある

4つ目の仮定は、任意の3点（または3つのベクトル）が同一平面上にあるという条件を満たせば、一般性を損なうことなく成立する。これらの仮定の下では、2番目の焦点（「空焦点」と呼ばれることもある）もXY平面上にある必要がある。 $\mathbf {F2} =\left(f_{x},f_{y}\right)$ 。

ベクトルを使用する

これらの仮定の下でベクトルを用いて表される楕円の一般式は次のとおりです。

|\mathbf {F2} -\mathbf {p} |+|\mathbf {p} |=2a\qquad \mid z=0

どこ：

$a\,\!$ は半長軸の長さです。
$\mathbf {F2} =\left(f_{x},f_{y}\right)$ これは2番目の（「空の」）フォーカスです。
$\mathbf {p} =\left(x,y\right)$ は、方程式を満たす任意の (x,y) 値です。

長半径（a）は次のように計算できます。

a={\frac {\mu |\mathbf {r} |}{2\mu -|\mathbf {r} |\mathbf {v} ^{2}}}

どこ $\mu \ =Gm_{1}$ は標準重力パラメータです。

空の焦点（ $\mathbf {F2} =\left(f_{x},f_{y}\right)$ ) は、まず離心率ベクトルを決定することで求めることができます。

\mathbf {e} ={\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |}}-{\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {h} }{\mu }}

どこ $\mathbf {h}$ は軌道上の物体の比角運動量です。^{[ 7 ]}

\mathbf {h} =\mathbf {r} \times \mathbf {v}

それから

\mathbf {F2} =-2a\mathbf {e}

XY座標を使用する

これは、以下の手順を用いて直交座標系で行うことができます。

上記の仮定に基づく楕円の一般式は次のとおりです。

{\sqrt {\left(f_{x}-x\right)^{2}+\left(f_{y}-y\right)^{2}}}+{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=2a\qquad \mid z=0

与えられた条件:

r_{x},r_{y}\quad

初期位置座標

v_{x},v_{y}\quad

初期速度座標

そして

\mu =Gm_{1}\quad

重力パラメータ

それから：

h=r_{x}v_{y}-r_{y}v_{x}\quad

比角運動量

r={\sqrt {r_{x}^{2}+r_{y}^{2}}}\quad

F1（原点）からの初期距離

a={\frac {\mu r}{2\mu -r\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}\right)}}\quad

半長軸の長さ

e_{x}={\frac {r_{x}}{r}}-{\frac {hv_{y}}{\mu }}\quad

偏心ベクトル座標

e_{y}={\frac {r_{y}}{r}}+{\frac {hv_{x}}{\mu }}\quad

最後に、空の焦点座標

f_{x}=-2ae_{x}\quad

f_{y}=-2ae_{y}\quad

これで、得られた結果値fx、fy、aを上記の一般的な楕円の方程式に適用できます。

軌道パラメータ

任意の時点における軌道上の物体の状態は、中心天体に対するその物体の位置と速度によって定義され、これは3次元直交座標（軌道上の物体の位置はx、y、zで表される）と、軌道上の物体の速度の同様の直交座標成分によって表すことができます。この6つの変数と時間の組み合わせは、軌道状態ベクトルと呼ばれます。2つの物体の質量が与えられれば、完全な軌道が決定されます。この6つの自由度を持つ最も一般的な2つのケースは、楕円軌道と双曲線軌道です。自由度が少ない特殊なケースとしては、円軌道と放物線軌道があります。

このパラメータセットで楕円軌道を完全に表現するには少なくとも6つの変数が絶対に必要であるため、任意のパラメータセットで軌道を表現するには6つの変数が必要です。一般的に使用されるもう1つの6つのパラメータセットは軌道要素です。

太陽系

太陽系では、惑星、小惑星、ほとんどの彗星、および一部の宇宙塵は、太陽の周りをほぼ楕円軌道で公転しています。厳密に言えば、両方の天体は楕円の同じ焦点、つまり質量が大きい天体に近い焦点の周りを公転していますが、太陽と地球のように一方の天体の質量が著しく大きい場合、焦点は質量が大きい天体の内部に含まれることがあり、そのため小さい天体はその天体の周りを公転していると言えます。次の惑星、準惑星、およびハレー彗星の近日点と遠日点の図は、それらの楕円軌道の離心率の変化を示しています。太陽からの距離が似ている場合、棒グラフが太いほど離心率が大きいことを示します。ハレー彗星とエリスの巨大な離心率と比較して、地球と金星の離心率がほぼゼロであることに注目してください。

太陽系内の主要天体と太陽との距離。各棒グラフの左端と右端は、それぞれ天体の近日点と遠日点に対応しており、棒グラフが長いほど軌道離心率が高いことを示しています。太陽の半径は70万km、木星（最大の惑星）の半径は70万kmですが、どちらも小さすぎてこの画像では識別できません。

放射状楕円軌道

放射状軌道は、半短軸が 0、離心率が 1 の退化楕円である二重線分となることがあります。離心率は 1 ですが、これは放物線軌道ではありません。楕円軌道のほとんどの性質と公式が適用されます。ただし、この軌道は閉じることができません。これは、物体が互いに接触し、離れ、再び接触するまでの退化楕円の部分に対応する開いた軌道です。点質量の場合、特異点から始まり特異点で終わる完全な軌道が 1 つだけ可能です。開始時と終了時の速度は反対方向に無限大であり、位置エネルギーはマイナス無限大に等しくなります。

放射状楕円軌道は、物体を落下させる場合（空気抵抗を無視した場合）のように、ある瞬間に速度がゼロになる二体問題の解である。

歴史

バビロニア人は、太陽の黄道上の動きが均一ではないことを最初に認識したが、その理由は分からなかった。今日では、これは地球が太陽の周りを楕円軌道で公転しているためであり、地球は近日点では太陽に近づくほど速く動き、遠日点では太陽から遠ざかるほど遅く動くことが分かっている。^{[ 8 ]}

17世紀、ヨハネス・ケプラーは、惑星が太陽の周りを公転する軌道が、太陽を焦点の一つとする楕円であることを発見し、これを惑星運動の第一法則として記述した。後に、アイザック・ニュートンはこれを万有引力の法則の帰結として説明した。

参考文献

↑ベイト、ロジャー・R.、ミューラー、ドナルド・D.、ホワイト、ジェリー・E. (1971).天体力学の基礎（初版）. ニューヨーク：ドーバー出版. pp. 11–12 . ISBN 0-486-60061-0。
↑ Lissauer, Jack J.; de Pater, Imke (2019). Fundamental Planetary Sciences: physics, chemistry, and habitability . New York, NY, USA: Cambridge University Press. pp. 29–31 . ISBN 9781108411981。
↑ベイト、ロジャー・R.、ミューラー、ドナルド・D.、ホワイト、ジェリー・E. (1971).天体力学の基礎（初版）. ニューヨーク：ドーバー出版. p. 33. ISBN 0-486-60061-0。
↑ベイト、ロジャー・R.、ミューラー、ドナルド・D.、ホワイト、ジェリー・E. (1971).天体力学の基礎（初版）. ニューヨーク：ドーバー出版. pp. 27–28 . ISBN 0-486-60061-0。
↑ベイト、ロジャー・R.、ミューラー、ドナルド・D.、ホワイト、ジェリー・E. (1971).天体力学の基礎（初版）. ニューヨーク：ドーバー出版. p. 15. ISBN 0-486-60061-0。
↑ベイト、ロジャー・R.、ミューラー、ドナルド・D.、ホワイト、ジェリー・E. (1971).天体力学の基礎（初版）. ニューヨーク：ドーバー出版. p. 18. ISBN 0-486-60061-0。
↑ベイト、ロジャー・R.、ミューラー、ドナルド・D.、ホワイト、ジェリー・E. (1971).天体力学の基礎（初版）. ニューヨーク：ドーバー出版. p. 17. ISBN 0-486-60061-0。
↑デイビッド・レヴァリントン（2003）『バビロンからボイジャー、そしてその先へ：惑星天文学の歴史』ケンブリッジ大学出版局、6-7頁、ISBN 0-521-80840-5

情報源

D'Eliseo, Maurizio M. (2007). "The First-Order Orbital Equation". American Journal of Physics . 75 (4): 352–355 . Bibcode : 2007AmJPh..75..352D . doi : 10.1119/1.2432126 .
D'Eliseo, Maurizio M.; Mironov, Sergey V. (2009). "重力楕円". Journal of Mathematical Physics . 50 (2): 022901. arXiv : 0802.2435 . Bibcode : 2009JMP....50a2901M . doi : 10.1063/1.3078419 .
カーティス、ハワード・D. (2019).工学系学生のための軌道力学（第4 版）.バターワース・ハイネマン. ISBN 978-0-08-102133-0。

外部リンク

遠地点と近地点の月面写真比較
遠日点と近日点の太陽写真比較
カナダ天文学・衛星追跡・光学研究（CASTOR）

[1] ベイト、ロジャー・R.、ミューラー、ドナルド・D.、ホワイト、ジェリー・E. (1971).天体力学の基礎（初版）. ニューヨーク：ドーバー出版. pp. 11–12 . ISBN 0-486-60061-0。

[lissauer2019-2] Lissauer, Jack J.; de Pater, Imke (2019). Fundamental Planetary Sciences: physics, chemistry, and habitability . New York, NY, USA: Cambridge University Press. pp. 29–31 . ISBN 9781108411981。

[3] ベイト、ロジャー・R.、ミューラー、ドナルド・D.、ホワイト、ジェリー・E. (1971).天体力学の基礎（初版）. ニューヨーク：ドーバー出版. p. 33. ISBN 0-486-60061-0。

[4] ベイト、ロジャー・R.、ミューラー、ドナルド・D.、ホワイト、ジェリー・E. (1971).天体力学の基礎（初版）. ニューヨーク：ドーバー出版. pp. 27–28 . ISBN 0-486-60061-0。

[5] ベイト、ロジャー・R.、ミューラー、ドナルド・D.、ホワイト、ジェリー・E. (1971).天体力学の基礎（初版）. ニューヨーク：ドーバー出版. p. 15. ISBN 0-486-60061-0。

[6] ベイト、ロジャー・R.、ミューラー、ドナルド・D.、ホワイト、ジェリー・E. (1971).天体力学の基礎（初版）. ニューヨーク：ドーバー出版. p. 18. ISBN 0-486-60061-0。

[7] ベイト、ロジャー・R.、ミューラー、ドナルド・D.、ホワイト、ジェリー・E. (1971).天体力学の基礎（初版）. ニューヨーク：ドーバー出版. p. 17. ISBN 0-486-60061-0。

[8] デイビッド・レヴァリントン（2003）『バビロンからボイジャー、そしてその先へ：惑星天文学の歴史』ケンブリッジ大学出版局、6-7頁、ISBN 0-521-80840-5

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