シュタイナー楕円

幾何学において、三角形のシュタイナー楕円は、その中心が三角形の重心である唯一の外接楕円（頂点で三角形に接する楕円）である。^[1]シュタイナー楕円と区別するために、シュタイナー外接楕円とも呼ばれる。ヤコブ・シュタイナーにちなんで名付けられたこの楕円は、外接円錐の一例である。比較すると、三角形の外接円は、三角形の頂点に接する別の外接円錐であるが、三角形が正三角形でない限り、三角形の重心を中心としない。

シュタイナー楕円の面積は三角形の面積の倍に等しいため、シュタイナー内楕円の面積の4倍になります。シュタイナー楕円は三角形に外接する楕円の中で最も面積が小さいものです。^[1]${\displaystyle {\frac {4\pi }{3{\sqrt {3}}}},}$

シュタイナー楕円は、スケールされたシュタイナー内楕円です（係数 2、中心は重心です）。したがって、両方の楕円は相似です（同じ離心率を持ちます）。

• シュタイナー楕円は、中心が三角形の重心であり、点 を含む唯一の楕円です。シュタイナー楕円の面積は、三角形の面積の 倍です。${\displaystyle S}$${\displaystyle ABC}$${\displaystyle A,B,C}$${\displaystyle {\tfrac {4\pi }{3{\sqrt {3}}}}}$

証拠

A)正三角形の場合、シュタイナー楕円は外接円であり、前提条件を満たす唯一の楕円です。目的の楕円には、楕円の中心に反映される三角形が含まれている必要があります。これは外接円にも当てはまります。円錐曲線は5 つの点によって一意に決定されます。したがって、外接円は唯一のシュタイナー楕円です。

B)任意の三角形は正三角形のアフィン像であり、楕円は単位円のアフィン像であり、三角形の重心は像三角形の重心にマッピングされるため、この特性 (重心を中心とした唯一の円周楕円) はどの三角形にも当てはまります。

正三角形の外接円の面積は、 三角形の面積の - 倍です。アフィン写像は面積の比を保存します。したがって、比に関する記述は、任意の三角形とそのシュタイナー楕円に当てはまります。 ${\displaystyle {\tfrac {4\pi }{3{\sqrt {3}}}}}$

楕円は、中心のほかに共役直径上の少なくとも2つの共役点が分かっている場合に（コンピュータまたは手で）描くことができます。この場合

• リッツ作図法によって楕円の頂点を決定し、適切な楕円コンパスで楕円を描く。
• または、楕円を描画するためにパラメトリック表現を使用します。

を三角形とし、その重心を とします。軸を通り、 に平行なシアー写像により、三角形は二等辺三角形に変換されます (図を参照)。点は三角形 のシュタイナー楕円の頂点です。この楕円の 2 番目の頂点は にあります。これは、が に垂直であるためです(対称性の理由)。この頂点は、データ (と を通る中心を持つ楕円、 ) から計算によって決定できます。次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle ABC}$${\displaystyle S}$${\displaystyle d}$${\displaystyle S}$${\displaystyle AB}$${\displaystyle A'B'C'}$${\displaystyle C'}$${\displaystyle A'B'C'}$${\displaystyle D}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$${\displaystyle SC'}$${\displaystyle S}$${\displaystyle C'}$${\displaystyle B'}$${\displaystyle |A'B'|=c}$

${\displaystyle |SD|={\frac {c}{\sqrt {3}}}\ .}$

または、描画によって: de la Hire 法(中央の図を参照)を使用して、二等辺三角形のシュタイナー楕円の頂点を決定します。${\displaystyle D}$${\displaystyle A'B'C'}$

逆せん断写像はにマッピングされ、点はせん断軸上の点であるため固定されます。したがって、半径はと共役です。${\displaystyle C'}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle SD}$${\displaystyle SC}$

この共役半径のペアの助けを借りて、楕円を手作業またはコンピューターで描くことができます。

与えられたもの: 三角形 求めるもの: そのシュタイナー楕円のパラメトリック表現と方程式 ${\displaystyle \ A=(a_{1},a_{2}),\;B=(b_{1},b_{2}),\;C=(c_{1},c_{2})}$

三角形の重心は${\displaystyle \ S=({\tfrac {a_{1}+b_{1}+c_{1}}{3}},{\tfrac {a_{2}+b_{2}+c_{2}}{3}})\ .}$

パラメトリック表現:

前のセクションの調査から、シュタイナー楕円の次のパラメトリック表現が得られます。

• ${\displaystyle \ {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\overrightarrow {OS}}\;+\;{\overrightarrow {SC}}\;\cos t\;+\;{\frac {1}{\sqrt {3}}}{\overrightarrow {AB}}\;\sin t\;,\quad 0\leq t<2\pi \;.}$

• 楕円の4つの頂点は どこ から来るのか${\displaystyle \quad {\vec {p}}(t_{0}),\;{\vec {p}}(t_{0}\pm {\frac {\pi }{2}}),\;{\vec {p}}(t_{0}+\pi ),\ }$${\displaystyle t_{0}}$

${\displaystyle \cot(2t_{0})={\frac {{\vec {f}}_{1}^{\,2}-{\vec {f}}_{2}^{\,2}}{2{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}}\quad }$（楕円を参照）。${\displaystyle \quad {\vec {f}}_{1}={\vec {SC}},\quad {\vec {f}}_{2}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\vec {AB}}\quad }$

パラメトリック表現を決定するポイントの役割を変更できます。

例（図を参照）：. ${\displaystyle A=(-5,-5),B=(0,25),C=(20,0)}$

方程式:

原点が三角形の重心（シュタイナー楕円の中心）である場合、パラメトリック表現に対応する方程式は次のようになります。 ${\textstyle {\vec {x}}={\vec {f}}_{1}\cos t+{\vec {f}}_{2}\sin t}$

• ${\displaystyle \ (xf_{2y}-yf_{2x})^{2}+(yf_{1x}-xf_{1y})^{2}-(f_{1x}f_{2y}-f_{1y}f_{2x})^{2}=0\ ,}$

と。^[2]${\displaystyle \ {\vec {f}}_{i}=(f_{ix},f_{iy})^{T}\ }$

例: 三角形の重心は原点です。ベクトルから シュタイナー楕円の方程式が得られます。 ${\displaystyle \quad A=(-{\tfrac {3}{2}}{\sqrt {3}},-{\tfrac {3}{2}}),\ B=({\tfrac {\sqrt {3}}{2}},-{\tfrac {3}{2}}),\ C=({\sqrt {3}},3)\quad }$${\displaystyle {\vec {f}}_{1}=({\sqrt {3}},3)^{T},\ {\vec {f}}_{2}=(2,0)^{T}\ }$

${\displaystyle 9x^{2}+7y^{2}-6{\sqrt {3}}xy-36=0\ .}$

頂点がすでにわかっている場合 (上記参照)、半軸を決定できます。軸と離心率のみに関心がある場合は、次の方法の方が適切です。

をシュタイナー楕円の半軸とします。楕円の共役半直径の性質に関する アポロニオスの定理から次の式が得られます。${\displaystyle a,b,\;a>b}$

${\displaystyle a^{2}+b^{2}={\vec {SC}}^{2}+{\vec {SD}}^{2}\ ,\quad a\cdot b=\left|\det({\vec {SC}},{\vec {SD}})\right|\ .}$

方程式の右辺をそれぞれおよびで表し、非線形システムを（ を尊重）変換すると、次のようになります。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle a>b>0}$

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=M,\ ab=N\quad \rightarrow \quad a^{2}+2ab+b^{2}=M+2N,\ a^{2}-2ab+b^{2}=M-2N}$

${\displaystyle \rightarrow \quad (a+b)^{2}=M+2N,\ (a-b)^{2}=M-2N\quad \rightarrow \quad a+b={\sqrt {M+2N}},\ a-b={\sqrt {M-2N}}\ .}$

を解くと半軸が得られます。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

• ${\displaystyle \ a={\frac {1}{2}}({\sqrt {M+2N}}+{\sqrt {M-2N}})\ ,\qquad b={\frac {1}{2}}({\sqrt {M+2N}}-{\sqrt {M-2N}})\ ,}$

と。 ${\displaystyle \qquad M={\vec {SC}}^{2}+{\frac {1}{3}}{\vec {AB}}^{2}\ ,\quad N={\frac {1}{\sqrt {3}}}|\det({\vec {SC}},{\vec {AB}})|\qquad }$

シュタイナー楕円の 直線離心率は

• ${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}=\cdots ={\sqrt {\sqrt {M^{2}-4N^{2}}}}\ .}$

そしてその地域

• ${\displaystyle F=\pi ab=\pi N={\frac {\pi }{\sqrt {3}}}\left|\det({\vec {SC}},{\vec {AB}})\right|}$

このセクションの意味をこの記事の他の意味と 混同しないでください。${\displaystyle a,b}$

三線座標におけるシュタイナー円周楕円の方程式は^[1]である。

${\displaystyle bcyz+cazx+abxy=0}$

辺の長さはa、b、cです。

長軸と短軸（長さa、b、cの辺を持つ三角形）の長さは^[1]

${\displaystyle {\frac {1}{3}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}\pm 2Z}},}$

焦点距離

${\displaystyle {\frac {2}{3}}{\sqrt {Z}}}$

どこ

${\displaystyle Z={\sqrt {a^{4}+b^{4}+c^{4}-a^{2}b^{2}-b^{2}c^{2}-c^{2}a^{2}}}.}$

焦点は 三角形の ビッカート点と呼ばれます。

• 三角形の円錐

• Georg Glaeser、Hellmuth Stachel、Boris Odehnal: The Universe of Conics、Springer 2016、ISBN 978-3-662-45449-7、p.383