楕円形

楕円（ラテン語のovum 「卵」に由来）は、平面上の閉じた曲線で、卵の輪郭に似ている。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}この用語はあまり厳密ではないが、数学のいくつかの分野（射影幾何学、製図など）では、楕円の1 軸または 2軸の対称性を含む、より厳密な定義が与えられている。一般的な英語では、この用語はより広い意味で使用され、卵を連想させるあらゆる形状を指す。^{[ 4 ]}楕円の3次元バージョンは卵形と呼ばれる。^{[ 2 ]} 

幾何学において曲線を表す際に「楕円」という用語は、射影幾何学の文脈を除いて明確に定義されていません。多くの異なる曲線が一般的に楕円と呼ばれたり、「楕円形」であると言われたりします。一般的に、楕円と呼ばれるためには、平面曲線は卵または楕円の輪郭に似ている必要があります。特に、楕円には次のような共通の特徴があります。

• それらは微分可能（滑らかに見える）、^{[ 5 ]}単純（自己交差しない）、凸、閉じた、平面曲線です。
• それらの形状は楕円から大きく逸脱しておらず、

• 楕円には通常、対称軸が存在するが、これは必須ではない。

以下は、他の箇所で説明されている楕円の例です。

• カッシーニ楕円
• 楕円曲線の一部
• モスの卵
• スーパー楕円
• デカルト座標系の楕円
• スタジアム

卵形とは、楕円曲線を対称軸を中心に回転させて三次元空間に生成される曲面のことです。形容詞の「卵形の」と「卵形の」は、卵形であるという特徴を持つことを意味し、 「卵形の」の同義語としてよく使われます。

• 射影平面において、点の集合Ωは、以下の条件を満たす場合に楕円と呼ばれる。

1. 任意の直線lはΩと最大 2 点で交わり、
2. 任意の点P ∈ Ωに対して、 Pを通る接線tがちょうど 1 つ存在する。すなわち、t ∩ Ω = { P } である。

有限平面（つまり、点の集合が有限である）の場合、より便利な特徴付けがあります。 ^{[ 6 ]}

• 次数nの有限射影平面(つまり、任意の直線にn + 1個の点が含まれる)の場合、点の集合Ωが楕円であるのは、 | Ω | = n + 1であり、かつどの 3 点も同一直線上にない(同一直線上にない)場合に限る。

射影空間における卵形とは、次のような点の集合 Ωのことである。

1. 任意の直線はΩ と最大で2点で交わる。
2. ある点における接線は超平面を覆い（それ以上は覆わない）、
3. Ωには線が含まれていません。

有限の場合、次元が3の場合に限り、卵形が存在する。便利な特徴付けは次のとおりである。

• n > 2 の3 次元有限射影空間において、任意の点集合 Ωが卵形であるのは、| Ω |が成り立つ場合かつその場合に限る。${\displaystyle =n^{2}+1}$また、どの3点も同一直線上にはない。^{[ 7 ]}

卵の形は、長球の「長い」半分と、ほぼ球形の楕円体の「短い」半分、あるいはわずかに扁平な楕円体を組み合わせた形に近似できます。これらは赤道で結合し、上に示したように、回転対称の主軸を共有しています。卵形という用語は通常、赤道面に関して鏡面対称性がないことを意味しますが、真の長球を指す場合もあります。また、長軸を中心に回転させると三次元の表面が得られる二次元図形を表す場合にも使用できます。

「楕円形」（つまり「卵」）の意味に基づくと、楕円形とは卵を平面で表したものを指します。自然界にはさまざまな形の卵があるため、数学的な記述では、あらゆる卵の断面の楕円形をグラフィカルに再現する必要があります。^{[ 8 ]}楕円形を定義するパラメータとして、4つの主要な寸法（測定値）を採用できます。 ^{[ 9 ]}

• 長さL、
• 最大幅B、
• 中心、つまり点x = L /2 からの最大幅のシフトwと、
• 尖った端から長さの1/4の位置にある点の_幅Dp 。

したがって、楕円の数式は次のように書くことができます。 ^{[ 9 ]}$${\displaystyle y=\pm {\frac {B}{2}}\sin ^{n}\left({\frac {\pi (1-p)x}{x-pL}}\right),}$$ その中で $${\displaystyle p={\frac {1}{2}}\left[1+{\frac {1}{2}}\left({\frac {w}{L}}\right)^{-1}\right],}$$$${\displaystyle n={\frac {\ln \left({\frac {D_{p}}{B}}\right)}{\ln \left[\sin \left(\pi {\frac {1-p}{1-4p}}\right)\right]}}.}$$

単位長さ ( L = 1) を使用すると、楕円形のさまざまな変形を扱うのに便利であり、楕円のパラメータは、形状指数( B / L )、非対称指数 ( w / L )、円錐度指数 ( D _p / B )という慣習的に指数で表される組み合わせとして表されます。 ^{[ 9 ]}これにより、単位楕円の数式は次のように書くことができます。^{[ 9 ]}$${\displaystyle {\frac {y}{L}}=\pm {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {B}{L}}\sin ^{n}\left(\pi {\frac {1-p}{{\frac {x}{L}}-p}}\cdot {\frac {x}{L}}\right).}$$

指数値の多様性により、円や楕円などの標準的な幾何学的形状から、古典的な卵形の楕円、さらにエキゾチックな洋梨形（梨型）や双円錐形まで、無数の楕円形のバリエーションが可能になります。^{[ 9 ]}

• 楕円形のバリエーション：
  3つの主要指標の異なる値に対応する楕円の画像
• 
  円B / L = 1 w / L = 0 D _p / B = 0.866
• 
  楕円B / L = 0.75 w / L = 0 D _p / B = 0.866
• 
  クラシックエッグB / L = 0.75 w / L = 0.06 D _p / B = 0.8
• 
  洋ナシ形卵B / L = 0.63 w / L = 0.125 D _p / B = 0.7
• 
  二円錐卵B / L = 0.7 w / L = 0.07 D _p / B = 0.73

円錐度指数の特定の値により、古典的な楕円をスーパー楕円に変換できます。^{[ 9 ]}

• 超楕円の画像を取得できるインデックス値を持つ楕円
• 
  B / L = 0.75 w / L = 0 D _p / B = 0.825
• 
  B / L = 0.75 、w / L = 0、D _p / B = 0.885

製図において、楕円は半径の異なる2組の弧から構成される図形です（右図参照）。これらの弧は、接合する2つの弧に接する線が同一線上にある点で接合されるため、接合部は滑らかになります。楕円のどの点も、一定の半径（短いか長いかは問わない）を持つ弧に属しますが、楕円では半径は連続的に変化します。

日常会話では、「楕円形」とは卵や楕円のような形を指し、二次元または三次元の場合があります。また、クリケットの内野、スピードスケートリンク、陸上競技トラックのように、2つの半円を長方形でつないだような形を指すこともよくあります。しかし、これは最も正確にはスタジアムと呼ばれます。

「楕円」という用語はしばしば「卵形」と混同して使われますが、数学的にはより具体的な意味があります。^{[ 10 ]}「長方形」という用語も卵形を意味するのに使われますが、^{[ 11 ]}幾何学では長方形とは隣接する辺の長さが異なる長方形を指し、曲線図形ではありません。^{[ 12 ]}

• 楕円
• 楕円ドーム
• スタジアム（形状）
• ドームの象徴性
• 魚嚢– 尖った楕円形