平行投影

3 次元幾何学において、平行投影(または軸測投影)とは、 3 次元空間の物体を固定平面 (投影平面または像平面) に投影することです。投影平面では、視線または投影線と呼ばれる光線が互いに平行になります。これは、記述幾何学の基本的なツールです。光線が像平面に対して垂直(直交)である場合、この投影は正投影と呼ばれ、そうでない場合は 斜めまたはゆがんだ投影と呼ばれます。

平行投影は、数学における投影と製図におけるグラフィカル投影の特殊なケースです。平行投影は、中心投影または透視投影の限界として考えることができます。中心投影または透視投影では、中心または視点と呼ばれる固定点が無限大に向かって移動するときに、光線がそこを通過します。言い換えると、平行投影は、無限の焦点距離(写真のレンズと焦点の間の距離) または「ズーム」を持つ透視投影に対応します。さらに、平行投影では、3 次元空間で平行な線は、2 次元に投影された画像でも平行のままです。

物体の透視投影は、人間の視覚や写真により近いため、平行投影よりも現実的であると考えられることが多い。しかし、物体の線や面の平行性が保たれ、画像から直接測定できるため、平行投影は技術的な用途では人気がある。平行投影の中では、正投影が最も現実的であると考えられており、エンジニアによく使用されている。一方、特定の種類の斜投影（キャバリア投影、ミリタリー投影など）は実装が非常に簡単で、物体の迅速で非公式な絵画を作成するために使用される。

文献では、平行投影という用語は、手順自体(数学的なマッピング関数) と、手順によって生成される結果の画像の両方を説明するために使用されます。

すべての平行投影には次の特性があります。

• これは、投影面Πと (平行な) 投影線の方向によって一意に定義されます。方向は投影面と平行であってはなりません。${\displaystyle {\vec {v}}}$
• 空間の任意の点は投影平面Πに一意の像を持ち、Πの点は固定されています。
• 方向に平行でない線は線にマッピングされ、方向に平行な線は点にマッピングされます。${\displaystyle {\vec {v}}}$${\displaystyle {\vec {v}}}$
• 平行線は、平行線上、または 2 つの点（ に平行な場合）上にマッピングされます。${\displaystyle {\vec {v}}}$
• 線上の 2 つの線分の長さの比は変化しません。特別なケースとして、中点は中点にマッピングされます。
• 投影面に平行な線分の長さは変化しません。投影が正投影の場合、線分の長さは短くなります。^{[説明が必要]}
• 投影面と平行な平面にある円は、同じ半径を持つ円にマッピングされます。その他の円は、楕円または線分にマッピングされます(方向が円の平面と平行の場合)。${\displaystyle {\vec {v}}}$
• 角度は一般に保存されません。ただし、投影面と平行な 1 本の線による直角は変更されません。
• 任意の長方形は、平行四辺形または線分（長方形の平面に平行である場合）にマッピングされます。${\displaystyle {\vec {v}}}$
• 像平面に平行な平面上の図形はすべてその像と合同です。

正投影は記述幾何学の原理から派生したもので、投影光線が投影面に対して垂直になる平行投影の一種です。作業図面にはこの投影タイプが好まれます。 正投影という用語は、物体の主軸または主平面が投影面 (または正投影または平行投影が描かれる紙) に対しても平行である物体の描写のみに使用されることがあります。ただし、主ビューという用語も使用されます。マルチビュー投影では、物体の最大 6 枚の画像が生成され、各投影面は座標軸の 1 つに対して垂直になります。ただし、物体の主平面または主軸が投影面に対して平行ではなく、物体の複数の側面が見えるようにある程度傾いている場合は、補助ビューまたは図解と呼ばれます。軸測投影という用語は、これらのビューのみに使用されることもあり、正投影という用語と並べて使用されます。しかし、軸測投影は平行投影と同義であり、正投影は軸測投影の一種であると説明する方が正確かもしれません。

主なビューには、平面図、立面図、断面図が含まれます。また、等角投影図、二面投影図、三面投影図は補助ビューと見なすことができます。マルチビュー正投影の一般的な (ただし必須ではない) 特徴は、空間の 1 つの軸が通常垂直に表示されることです。

オブジェクトの向きに関係なく、視線方向が描画されたオブジェクトの表面に対して垂直である場合、それは法線投影と呼ばれます。したがって、空間の座標系に沿って方向付けられた立方体の場合、立方体の主なビューは法線投影と見なされます。

斜投影では、平行投影光線は観察面に対して垂直ではなく、90 度以外の角度で投影面に当たります。^[1]正投影と斜投影の両方において、空間内の平行線は投影された画像上で平行に表示されます。その単純さから、斜投影は正式な作業用図面ではなく、絵画目的にのみ使用されます。斜投影の絵画的図面では、座標軸を分ける表示角度と短縮係数 (スケーリング) は任意です。これによって生じる歪みは通常、画像化されたオブジェクトの 1 つの平面を投影面と平行になるように調整することで軽減され、選択された平面の真に形成されたフルサイズの画像が作成されます。特殊なタイプの斜投影には、ミリタリー投影、キャバリア投影、キャビネット投影があります。^[2]

像面が式で与えられ、投影方向が式で与えられる場合、点を通る投影線は次のようにパラメータ化される。 ${\displaystyle \Pi :~{\vec {n}}\cdot {\vec {x}}-d=0}$${\displaystyle {\vec {v}}}$${\displaystyle P:~{\vec {p}}}$

${\displaystyle g:~{\vec {x}}={\vec {p}}+t{\vec {v}}}$と。${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$

の像は直線と平面の交点であり、次の式で与えられる。 ${\displaystyle P'}$${\displaystyle P}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \Pi}$

${\displaystyle P':~{\vec {p}}'={\vec {p}}+{\frac {d-{\vec {p}}\cdot {\vec {n}}}{{\ vec {n}}\cdot {\vec {v}}}\;{\vec {v}}\ .}$

多くの場合、これらの式は簡略化できます。

(S1)となるベクトルとを選ぶことができれば、画像の式は次のように簡略化される。 ${\displaystyle {\vec {n}}}$${\displaystyle {\vec {v}}}$${\displaystyle {\vec {n}}\cdot {\vec {v}}=1}$

${\displaystyle {\vec {p}}'={\vec {p}}+(d-{\vec {p}}\cdot {\vec {n}})\;{\vec {v}}\ 。}$

（S2）正投影では、ベクトルとが平行です。この場合、次のように 選択できます。${\displaystyle {\vec {n}}}$${\displaystyle {\vec {v}}}$${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {n}},\;|{\vec {n}}|=1}$

${\displaystyle {\vec {p}}'={\vec {p}}+(d-{\vec {p}}\cdot {\vec {n}})\;{\vec {n}}\ 。}$

(S3)となるベクトルとを選択でき、像平面が原点を含む場合、となり、平行投影は線形写像となる。 ${\displaystyle {\vec {n}}}$${\displaystyle {\vec {v}}}$${\displaystyle {\vec {n}}\cdot {\vec {v}}=1}$${\displaystyle d=0}$

${\displaystyle {\vec {p}}'={\vec {p}}-({\vec {p}}\cdot {\vec {n}})\;{\vec {v}}={\ vec {p}}-({\vec {v}}\otimes {\vec {n}})~{\vec {p}}=(I_{3}-{\vec {v}}\otimes {\vec {n}})\;{\vec {p}}\ .}$

(ここでは単位行列と外積を示します。) ${\displaystyle I_{3}}$${\displaystyle \otimes }$

平行投影のこの解析的表現から、前のセクションで述べた特性のほとんどを推測することができます。

軸測図法は中国で生まれました。^{[3] [信頼できない情報源? ]}中国美術における軸測図法の機能は、客観的な視点、つまり外側から見た視点ではないという点で、ヨーロッパ美術の線遠近法とは異なります。その代わりに、軸測図法のパターンは絵画内で平行投影を使用し、鑑賞者が 1 つの巻物で空間と時間の進行の両方を考慮できるようにしました。^{[4]科学作家で}Medium のジャーナリストである Jan Krikkeによると、軸測図法とそれに伴う絵画的文法は、ビジュアル コンピューティングと エンジニアリング ドローイングの導入により、新たな重要性を帯びるようになりました。^{[4] [3] [5] [6]}

等角投影法の概念は、ケンブリッジ大学のウィリアム・ファリッシュ教授（1759-1837）が初めて等角投影図の詳細なルールを提示するよりずっと以前から、何世紀にもわたって大まかな経験的な形で存在していました。^{[7] [8]}

ファリッシュは1822年の論文「等角投影図について」でその考えを発表し、「光学的歪みのない正確な技術的作業図面の必要性を認識した。これが彼を等角投影図法の定式化へと導いた。等角投影図法は、高さ、幅、奥行きに同じスケールが使用されるため、「等しい尺度」を意味する」と述べた。^[9]

^{ヤン・クリッケ（2006） [9]}によると、19世紀半ばから アイソメトリは「エンジニアにとって非常に貴重なツールとなり、その後すぐに軸測図法とアイソメトリはヨーロッパとアメリカの建築トレーニングコースのカリキュラムに組み込まれました。軸測図法が一般に受け入れられたのは1920年代で、バウハウスとデ・スティルのモダニズム建築家がそれを受け入れた時でした」。^[9]テオ・ファン・ドゥースブルフのようなデ・スティルの建築家は建築デザインに軸測図法を使用し、1923年にパリで展示されたときにセンセーションを巻き起こしました。^[9]

1920年代以来、軸測図法、または平行遠近法は、芸術家、建築家、エンジニアにとって重要なグラフィック技術を提供してきました。線遠近法と同様に、軸測図法は2次元の絵画平面上に3次元空間を描くのに役立ちます。通常、CADシステムやその他のビジュアルコンピューティングツールの標準機能として提供されます。^[4]

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  光学式研磨エンジンモデル（1822年）、30°等角投影図で描かれている^[10]
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  米国特許（1874年）からの二等分透視図の例
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  香港の中国銀行タワーの形状を示す三角投影の例。
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  中国美術における二距離投影の例。中国『三国志演義』の挿絵入り版、西暦15世紀頃。
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  張沢端（1085-1145）作とされる『清明上河図』の原版の詳細。絵のさまざまな部分で、軸測投影と透視投影が交互に行われており、一貫性がないことに注意してください。

平行投影で描かれた物体は、見る人から近いか遠いかによって大きく見えたり小さく見えたりしません。これは、画像から直接測定する必要がある建築図面には有利ですが、透視投影とは異なり、人間の視覚や写真の通常の動作ではないため、結果として歪みが感じられます。また、右の図に示すように、深さと高度の測定が困難な状況になりがちです。

この視覚的な曖昧さは、オプアートや「不可能物体」の絵にも利用されてきた。厳密には平行ではないが、 MCエッシャーの滝（1961年）はよく知られた絵で、水路が下向きの経路に沿って自力で移動しているように見えるが、逆説的に水源に戻るときに再び落下する。したがって、水はエネルギー保存の法則に従わないように見える。 オスカー・ロイタースヴァルドは、ポール・クニホルムによるこの壁画に示されている不可能三角形（上）の例である不可能物体を発見したとされている。

• 射影（線形代数）

• ショームのアウトライン:記述的幾何学、マグロウヒル、(1962 年 6 月 1 日)、ISBN  978-0070272903
• ジョセフ・マルケヴィッチ（2003年4月）、「数学と芸術」、特集コラムアーカイブ、アメリカ数学会
• イングリッド・カールボム、ジョセフ・パシオレク（1978 年 12 月）、「平面幾何投影と表示変換」、ACM コンピューティング調査、10 (4): 465–502、doi :10.1145/356744.356750、S2CID  708008