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数学解析および関連する数学分野では、集合のすべての点が互いに一定の距離内にある場合、その集合は有界であると呼ばれます。逆に、有界でない集合は非有界であると呼ばれます。「有界」という言葉は、対応する距離を持たない一般的な位相空間では意味を成しません。
境界は明確な概念である。例えば、円（円盤と混同しないように）は単独では境界のない有界集合であるが、半平面は境界を持たないものの境界を持つ。
有界集合は必ずしも閉集合ではなく、その逆もまた然りです。例えば、デカルト座標系で定義された2つの放物線曲線x 2 + 1とx 2 − 1によって制約された2次元実空間R 2の部分集合Sは、曲線によって閉集合となりますが、有界ではありません（したがって、非有界です）。
実数の集合Sは、 Sに含まれるすべてのsに対してk ≥ sとなるような実数k (必ずしもSに含まれるとは限らない)が存在する場合、上界が有界であると呼ばれる。この数kはSの上限と呼ばれる。下界および下限も同様に定義される。
集合Sは、上界と下界の両方を持つ場合に有界である。したがって、実数の集合は、有限区間に含まれる場合に有界である。
距離空間( M , d )の部分集合Sは、 S内のすべてのsおよびtに対してd ( s , t ) < rとなるようなr > 0が存在する場合に有界である。距離空間( M , d )は、 M がそれ自身の部分集合として有界である場合に有界距離空間である(またはdは有界距離である) 。
位相ベクトル空間においては、有界集合の別の定義が存在し、これはフォン・ノイマン有界性と呼ばれることもある。位相ベクトル空間の位相が均質な計量によって誘導される場合（例えば、ノルムベクトル空間のノルムによって誘導される計量の場合など）、この2つの定義は一致する。
実数の集合は、上限と下限が存在する場合に限り、有界である。この定義は、任意の半順序集合の部分集合にも拡張できる。なお、このより一般的な有界性の概念は、「大きさ」の概念とは対応しない。
半順序集合Pの部分集合Sは、 Sのすべての要素 s に対して k ≥ s となるような要素 k が P に存在する場合、上界が有界であると呼ばれる。要素kはSの上界と呼ばれる。下界および下界の概念も同様に定義される。（上界および下界も参照。）
半順序集合Pの部分集合Sは、上限と下限の両方を持つ場合、または同等に、区間に含まれる場合、有界であると呼ばれます。これは集合Sの性質であるだけでなく、集合SがPの部分集合である場合の性質でもあることに注意してください。
有界な半順序集合 P (つまり、部分集合としてではなく、それ自体として有界な半順序集合) とは、最小元と最大元を持つ半順序集合のことです。この有界性の概念は有限サイズとは何の関係もなく、有界な半順序集合Pの部分集合Sが、 Pの順序の制限を順序として持つ場合、必ずしも有界な半順序集合になるとは限りません。
R nの部分集合Sがユークリッド距離に関して有界であるのは、それが積の順序を持つ R n の部分集合として有界である場合に限る。ただし、 Sは辞書式順序を持つR nの部分集合として有界であっても、ユークリッド距離に関して有界ではない場合がある。
順序数のクラスは、任意の順序数が与えられたとき、必ずそれよりも大きい要素がクラス内に存在する場合、非有界または共終数であると言われます。したがって、この場合の「非有界」とは、それ自体が非有界であるという意味ではなく、すべての順序数のクラスのサブクラスとして非有界であるという意味です。