平均偏差

天体力学において、平均近点角とは、軌道上の物体が近点を通過してから経過した楕円軌道の周期の割合であり、古典的な二体問題でその物体の位置を計算する際に使用できる角度として表されます。これは、仮想の物体が楕円軌道上の実際の物体と同じ軌道周期で一定の速度で円軌道を運動する場合に、近点から持つであろう角度距離です。^{[ 1 ] [ 2 ]}

T を、ある物体が一周するのに要する時間と定義する。時間Tの間に、半径ベクトルは2πラジアン、つまり 360°回転する。平均回転速度nは、次のようになる。

$${\displaystyle n={\frac {\,2\,\pi \,}{T}}={\frac {\,360^{\circ }\,}{T}}~,}$$

これは物体の平均角運動と呼ばれ、単位時間あたりのラジアンまたは単位時間あたりの度数で表される。

τを天体が近点にある時刻と定義する。上記の定義から、新しい量M、平均近点角を定義できる。

$${\displaystyle M=n\,(t-\tau )~,}$$

これは任意の時刻tにおける近点からの角度距離をラジアンまたは度単位で表します^{[ 3 ] 。}

増加率nは一定の平均値であるため、平均近点角は各軌道で 0 から 2 πラジアンまたは 0° から 360° まで均一に (線形に) 増加します。物体が近点にあるときは 0、遠点にあるときはπラジアン(180°) 、1 回の完全な回転後には 2 πラジアン (360°) になります。^{[ 4 ]}任意の瞬間の平均近点角がわかっている場合は、小さな時間差δtを表すn⋅δt を単純に加算 (または減算) することで、それ以降 (またはそれ以前) の任意の瞬間の平均近点角を計算できます。

平均近点角は、物理的な物体間の角度を測定するものではありません（近点または遠点、あるいは円軌道の場合を除く）。これは単に、物体が近点から軌道をどれだけ周回したかを示す、便利な均一な尺度です。平均近点角は、軌道上の位置を定義する3つの角度パラメータ（歴史的には「近点角」として知られています）の1つであり、他の2つは離心近点角と真近点角です。

平均近点角Mは、ケプラーの式を用いて、離心近点角Eと離心率eから計算できる。

$${\displaystyle M=Ee\,\sin E~.}$$

平均偏差は、

$${\displaystyle M=M_{0}+n\left(t-t_{0}\right)~,}$$

ここで、M ₀は時刻t ₀における平均近点角であり、τ は近点通過時刻と一致する場合も一致しない場合もある。楕円軌道上の物体の位置を軌道要素のセットから求める古典的な方法は、この式を用いて平均近点角を計算し、次にケプラー方程式を解いて離心近点角を求めることである。

ϖ を近点経度、基準方向からの近点の角度距離と定義する。ℓを平均経度、平均近点角と同様に均一な角運動で移動すると仮定した場合の、同じ基準方向からの物体の角度距離と定義する。したがって、平均近点角も[ ^{6 ]である。}

$${\displaystyle M=\ell -\varpi ~.}$$

平均角運動は次のように表現することもできます。

$${\displaystyle n={\sqrt {{\frac {\mu }{\;a^{3}\,}}\,}}~,}$$

ここでμは重力パラメータであり、物体の質量によって変化し、aは軌道の長半径である。平均近点角は次のように展開できる。

$${\displaystyle M={\sqrt {{\frac {\mu }{\;a^{3}\,}}\,}}\,\left(t-\tau \right)~,}$$

ここで平均近点角は半径aの円上の均一な角運動を表す。^{[ 7 ]}

平均近点角は、離心率と真近点角vから、離心近点角を求めてからケプラーの式を用いることで 計算できます。ラジアン単位で表すと次のようになります。$${\displaystyle M=\オペレータ名 {atan2} \left({\sqrt {1-e^{2}}}\sin \nu ,e+\cos \nu \right)-e{\frac {{\sqrt {1-e^{2}}}\sin \nu }{1+e\cos \nu }}}$$ ここで、atan2  (y, x) は (0, 0) から (x, y) への光線の x 軸からの角度であり 、y と同じ符号を持つ。

放物線軌道と双曲線軌道の場合、周期がないため、平均近点角は定義されません。しかし、これらの場合、楕円軌道と同様に、アトラクターと軌道を追う物体との間の弦によって掃過される面積は、時間とともに直線的に増加します。双曲線の場合、上記と同様の式があり、経過時間を角度（楕円の場合の真の近点角）の関数として表します。これは、記事「ケプラー軌道」で説明されています。放物線の場合、焦点間の距離が無限大に近づくときの楕円または双曲線の極限の場合である別の式があります。放物線軌道#バーカーの式を参照してください。

平均異常値は級数展開としても表現できます: ^{[ 8 ]}$${\displaystyle M=\nu +2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}\left[{\frac {1}{n}}+{\sqrt {1-e^{2}}}\right]\beta ^{n}\sin {n\nu }}$$

と${\displaystyle \beta ={\frac {1-{\sqrt {1-e^{2}}}}{e}}}$

$${\displaystyle M=\nu -2\,e\sin \nu +\left({\frac {3}{4}}e^{2}+{\frac {1}{8}}e^{4}\right)\sin 2\nu -{\frac {1}{3}}e^{3}\sin 3\nu +{\frac {5}{32}}e^{4}\sin 4\nu +\演算子名{\数学 {O}} \left(e^{5}\right)}$$

同様の式により、平均異常値を用いて真の異常値を直接表すことができる。^{[ 9 ]}

$${\displaystyle \nu =M+\left(2\,e-{\frac {1}{4}}e^{3}\right)\sin M+{\frac {5}{4}}e^{2}\sin 2M+{\frac {13}{12}}e^{3}\sin 3M+\operatorname {\mathcal {O}} \left(e^{4}\right)}$$

上記の式の一般的な定式化は、中心の式として記述できます。^{[ 10 ]}

$${\displaystyle \nu =M+2\sum _{s=1}^{\infty }{\frac {1}{s}}\left[J_{s}(se)+\sum _{p=1}^{\infty }\beta ^{p}{\big (}J_{sp}(se)+J_{s+p}(se){\big )}\right]\sin(sM)}$$

• ケプラーの惑星運動の法則
• 平均経度
• 平均運動
• 軌道要素

• 用語集エントリ異常、平均2017年12月23日にウェイバックマシンにアーカイブ米国海軍天文台の天文暦オンライン2015年4月20日にウェイバックマシンにアーカイブ