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複屈折（二重屈折とも呼ばれる）は、光の偏光と伝搬方向によって屈折率が変化する物質の光学特性である。[ 1 ]これらの光学的に異方性のある物質は、複屈折性または複屈折性物質と呼ばれる。複屈折は、物質が示す屈折率の最大差として定量化されることが多い。立方晶構造を持たない結晶は、機械的応力下にあるプラスチックと同様に、複屈折性を示すことが多い。
複屈折は、複屈折性物質に入射した光線が偏光によってわずかに異なる経路をたどる2つの光線に分割されるという、二重屈折現象の原因です。この効果は、最も強い複屈折性を持つアイスランドのスパー（方解石）結晶で観察したデンマークの科学者ラスムス・バルトリンによって1669年に初めて記述されました[ 2 ]。19世紀には、オーギュスタン・ジャン・フレネルが偏光の観点からこの現象を記述し、光を横偏光（波ベクトルの方向に対して垂直）の場成分を持つ波として理解しました[ 3 ] [ 4 ] 。
複屈折媒質における波動伝播の数学的記述を以下に示す。続いて、この現象の定性的な説明を行う。
最も単純なタイプの複屈折は単軸性と呼ばれ、光学的異方性を支配する方向が1つだけ存在し、その方向に垂直な方向（または特定の角度をなす方向）はすべて光学的に等価であることを意味します。したがって、この軸を中心に材料を回転させても、その光学的挙動は変化しません。この特別な方向は、材料の光軸として知られています。光軸に平行に伝搬する光（偏光は常に光軸に垂直）は、特定の偏光に関係なく、屈折率n o（「普通」を意味する）によって支配されます。他の伝搬方向を持つ光線については、光軸に垂直な線形偏光が1つ存在し、その偏光を持つ光線は普通光線と呼ばれ、同じ屈折率 n o によって支配されます。同じ方向に伝搬するが、偏光が普通光線の偏光に垂直な光線の場合、偏光方向は部分的に光軸の方向（平行）になり、この異常光線は、方向依存の異なる屈折率によって支配されます。屈折率は偏光に依存するため、無偏光光が一軸複屈折性物質に入射すると、異なる方向に進む2つの光線に分割され、一方は常光線の偏光を持ち、もう一方は異常光線の偏光を持ちます。常光線は常に屈折率n oを経験しますが、異常光線の屈折率は、屈折率楕円体で記述される光線の方向に応じて、n oとn eの間になります。この差の大きさは複屈折によって定量化されます[ 5 ] 。
通常の光線の伝播（および反射係数）は、複屈折が関与していないかのように、単純にn oで表されます。異常光線は、その名前が示すように、等方性光学材料中の他の波とは異なり伝播します。表面でのその屈折（および反射）は、実効屈折率（n oとn eの間の値）を使用して理解できます。そのパワーの流れ（ポインティングベクトルで与えられる）は、波数ベクトルと正確には一致しません。これにより、上に示した方解石の結晶を使用してよく観察されるように、垂直入射で入射した場合でも、そのビームに追加のシフトが発生します。方解石の結晶を回転させると、2 つの像のうちの 1 つ、異常光線の像が、固定されたままの通常の光線の像の周りをわずかに回転します。
光が光軸に沿って、または光軸に直交して伝搬する場合、このような横方向のずれ（または複屈折像）は発生しません。前者の場合、両方の偏光は光軸に垂直であり、同じ実効屈折率を見るため、異常光線は存在しません。後者の場合、異常光線は異なる位相速度（n eに対応）で伝搬しますが、波数ベクトルの方向にパワーが流れます。光軸が光学面と平行な結晶は、像の歪みはなく、入射波の偏光状態を意図的に変更する波長板を作成するために使用できます。たとえば、直線偏光光源から円偏光を作成するために、四分の一波長板がよく使用されます。
いわゆる二軸結晶の場合は、かなり複雑です。[ 6 ]これらは、結晶の 3 つの主軸に対応する3 つの屈折率によって特徴付けられます。ほとんどの光線方向では、両方の偏光は異常光線に分類されますが、実効屈折率が異なります。異常波であるため、どちらの場合も、パワーの流れの方向は波数ベクトルの方向と同一ではありません。
2つの屈折率は、偏光方向が与えられたときの屈折率楕円体を用いて決定できます。二軸結晶の場合、屈折率楕円体は回転楕円体（「球状体」）ではなく、3つの異なる主屈折率nα、nβ 、 nγで表されます。したがって、回転しても光学特性が不変となる軸は存在しません（屈折率楕円体が球状体である一軸結晶の場合とは異なります）。
対称軸はありませんが、光が複屈折を起こさずに伝搬できる方向、つまり波長が偏光に依存しない方向として定義される2つの光軸またはバイノーマルが存在します。 [ 6 ]このため、3つの異なる屈折率を持つ複屈折材料は二軸性と呼ばれます。さらに、光の群速度が偏光に依存しない2つの異なる軸、すなわち光線軸またはバイラジアルが存在します。
任意の光線が複屈折物質の表面に垂直でない入射角で当たると、光軸に垂直な偏光成分（常光線）と他の直線偏光（異常光線）は、それぞれ異なる経路に屈折します。自然光、いわゆる無偏光は、互いに直交する2つの偏光に等しい量のエネルギーを持ちます。直線偏光であっても、複屈折の2つの軸のいずれかに沿って配置されていない限り、両方の偏光にいくらかのエネルギーを持ちます。スネルの屈折の法則によれば、2つの屈折角は、それぞれの偏光の実効屈折率によって決まります。これは、例えば方解石などの複屈折物質で構成されたプリズムを使用して入射光を2つの直線偏光に分離するウォラストンプリズムで明確に確認できます。
2 つの偏光成分の異なる屈折角は、このページの上部の図に示されています。光軸は表面に沿っており（入射面に対して垂直）、p偏光（この場合の「常光線」で、電場ベクトルが光軸に垂直）とs偏光（この場合の「異常光線」で、電場偏光に光軸の方向の成分が含まれる）では屈折角が異なります。光軸が屈折面に沿っていない場合（または正確に垂直でない場合）には、垂直入射であっても、別の形の複屈折が発生します。この場合、複屈折材料の誘電分極は、異常光線の波の電場の方向と正確に一致しません。この不均一な波の電力の流れの方向（ポインティングベクトルで与えられる）は、波ベクトルの方向から有限の角度をなしており、これらのビーム間に追加の分離が生じます。したがって、入射角がゼロと計算される垂直入射の場合（スネルの法則によれば、実効屈折率に関係なく）、異常光線のエネルギーは角度をつけて伝播します。入射面と平行な面から結晶から出射する場合、両方の光線の方向は復元されますが、 2つの光線の間にずれが生じます。これは、上の写真のように、自然な劈開面に沿って切断した方解石片を文字が書かれた紙の上に置くとよく観察されます。そのため、波長板は特に光軸が板の表面に沿って配置されており、（ほぼ）垂直入射の場合、どちらの偏光の光でも像にずれはなく、2つの光波間の相対的な位相ずれのみが生じます。
偏光に関する研究の多くは、光が横方向の電磁波であるという理解に先行して行われており、そのため一部の用語にも影響が出ています。等方性物質はあらゆる方向に対称性を持ち、屈折率はどの偏光方向でも同じです。異方性物質は、入射する単一の光線を一般的に2つの方向に屈折させるため、「複屈折性」と呼ばれます。現在では、この2つの方向は2つの異なる偏光に対応すると理解されています。これは、一軸性物質でも二軸性物質でも同様です。
一軸性材料では、一方の光線は通常の屈折法則（通常の屈折率に対応）に従って振る舞うため、垂直入射した光線は屈折面に対して垂直なままです。前述のように、もう一方の偏光は垂直入射からずれることがあり、これは屈折法則では説明できません。そのため、これは異常光線と呼ばれるようになりました。「通常」と「異常」という用語は、複屈折が関与しない場合でも、それぞれ光軸に垂直な偏光成分と垂直でない偏光成分に適用されます。
材料が光学特性において単一の対称方向を持つ場合、その材料は一軸性であると言われ、その方向を光軸と呼びます。光軸は、屈折率楕円体（この場合は回転楕円体）の対称軸でもあります。屈折率楕円体は、 3つの座標軸に沿った屈折率n α、n β、n γによって記述できます。この場合、2つの屈折率は等しくなります。したがって、 x軸とy軸に対応するn α = n βの場合、 z軸に対応する異常屈折率はn γであり、この場合、 z軸は光軸とも呼ばれます。
3つの屈折率がすべて異なる材料は二軸性と呼ばれ、この用語の由来はより複雑で、しばしば誤解されています。一軸性結晶では、光線の異なる偏光成分は、光軸と呼ばれる方向の光線を除いて、異なる位相速度で伝搬します。したがって、光軸は、その方向の光線が複屈折を示さず、そのような光線のすべての偏光が同じ屈折率を経験するという特別な性質を持っています。3つの主屈折率がすべて異なる場合は、状況は大きく異なります。その場合、それらの主方向のいずれかに入射する光線は、依然として2つの異なる屈折率に遭遇します。しかし、3つの軸すべてに対して角度をなす2つの特別な方向があり、そこでは異なる偏光の屈折率が再び等しくなります。このため、これらの結晶は二軸性と呼ばれ、この場合の2つの「軸」は、伝搬中に複屈折を経験しない光線の方向を指します。
複屈折性物質では、波は一般的に異なる実効屈折率によって支配される 2 つの偏光成分から構成されます。いわゆるスロー レイは、物質の実効屈折率が高い（位相速度が遅い）成分であり、ファスト レイは実効屈折率が低い成分です。空気（または屈折率の低い任意の物質）からこのような物質にビームが入射すると、スロー レイはファスト レイよりも法線方向に大きく屈折します。このページの上部の図の例では、シナリオ 1 では、 s偏光（電気振動が光軸の方向に沿っているため、異常光線[ 7 ]と呼ばれる）を持つ屈折光線がスロー レイであることがわかります。
その材料の薄い板を垂直入射させることで、波長板を作製することができる。この場合、偏光間に空間的な分離はほとんどなく、平行偏光（遅波）の波の位相は、垂直偏光の波の位相よりも遅れる。したがって、これらの方向は波長板の遅軸と速軸と呼ばれる。
一軸複屈折は、異常屈折率n e が常屈折率n oより大きい場合に正と分類されます。負の複屈折とは、Δ n = n e − n oがゼロより小さいことを意味します。[ 8 ]言い換えれば、結晶の複屈折が正（または負）の場合、高速（または低速）波の偏光は光軸に垂直になります。二軸結晶の場合、3 つの主軸すべてで屈折率が異なるため、この指定は適用されません。しかし、任意の定義された光線方向に対して、高速光線と低速光線の偏光を指定することは同様に可能です。
複屈折の最もよく知られた原因は、光が異方性結晶に入射することですが、光学的に等方性の材料でも、いくつかの方法で複屈折が生じる可能性があります。
最もよく特徴づけられた複屈折性物質は結晶です。結晶は特有の結晶構造を持つため、屈折率が明確に定義されています。結晶構造の対称性（32 種類の結晶学的点群のいずれかによって決定されます）に応じて、その群の結晶は等方性（複屈折性を持たない）、一軸対称性、またはどちらでもない二軸性結晶となる場合があります。一軸性および二軸性の複屈折を許容する結晶構造は、以下の 2 つの表に示されており、 よく知られているいくつかの結晶の 2 つまたは 3 つの主屈折率（波長 590 nm）が記載されています。[ 9 ]
応力下で誘発される複屈折に加えて、多くのプラスチックは、成形または押出成形時に生じる機械的な力によって「固定」された応力により、製造中に永久的な複屈折を獲得します。[ 10 ]例えば、普通のセロハンは複屈折性があります。偏光子は、ポリスチレンやポリカーボネートなどのプラスチックに加わる応力、または固定された応力を検出するために日常的に使用されています。
綿繊維は、繊維の二次細胞壁にセルロース物質が高濃度で含まれており、それが綿繊維の方向と一直線に並んでいるため、複屈折性を示す。
偏光顕微鏡は、多くの生体材料が直線または円偏光複屈折性を示すため、生体組織でよく使用されます。軟骨、腱、骨、角膜、および体内の他のいくつかの領域に存在するコラーゲンは複屈折性を示し、偏光顕微鏡でよく研究されます。[ 11 ]一部のタンパク質も複屈折性を示し、形状複屈折性を示します。[ 12 ]
光ファイバーの製造上の不完全性は避けられず、複屈折を引き起こします。複屈折は、光ファイバー通信におけるパルス幅の広がりの一因となります。このような不完全性は、幾何学的欠陥（円対称性の欠如）によるもの、または光ファイバーに加わる不均一な横方向応力によるものなどがあります。複屈折は、偏波保持光ファイバーを製造するために意図的に導入されます（例えば、断面を楕円形にするなど）。光ファイバーを曲げることで、曲げ軸と曲率半径に応じて形状と応力に異方性が生じ、複屈折を誘起（または補正）することができます。
電気分極率の異方性に加えて、磁気透磁率の異方性も複屈折の原因となり得る。しかし、光周波数では天然物質の磁気分極率（μ = μ 0）は測定できないため、これは実際の複屈折の原因ではない。
複屈折やその他の偏光に基づく光学効果（旋光や線形二色性、円偏光二色性など）は、物質を通過する光の偏光の変化を測定することによって観察できます。これらの測定は偏光測定法として知られています。試料の両側に互いに90°の角度で配置された2つの偏光子を備えた偏光顕微鏡は、複屈折を可視化するために使用されます。これは、複屈折の影響を受けていない光は、2番目の偏光子（「検光子」）によって完全に遮断される偏光状態のまま残るためです。1/4波長板を追加することで、円偏光を用いた観察が可能になります。このような装置を用いて偏光状態の変化を決定することがエリプソメトリーの基礎となっており、エリプソメトリーでは反射を通して鏡面光学特性を測定できます。
流体の過渡的な流れ挙動を調べるために、位相変調システムを用いて複屈折測定が行われてきました。[ 14 ] [ 15 ]脂質二重層の複屈折は、二重偏光干渉法を用いて測定できます。これにより、これらの流体層内の秩序の度合いと、層が他の生体分子と相互作用するときにこの秩序がどのように乱されるかの尺度が得られます。
複屈折の3D測定には、ホログラフィック断層撮影に基づく技術が用いられる。使用できます。
複屈折は多くの光学機器で利用されています。最も一般的なフラットパネルディスプレイである液晶ディスプレイは、画面表面のシート偏光子を通して見た直線偏光の偏光回転（円偏光）によって、画素の明るさや暗さを変化させます。同様に、光変調器は、偏光子に続く偏光の電気的に誘起された複屈折によって光の強度を変調します。リオットフィルターは、複屈折の波長依存性を利用した特殊な狭帯域スペクトルフィルターです。波長板は、特定の光学機器で広く使用されている薄い複屈折シートで、通過する光の偏光状態を変化させるために使用されます。
透過率の高い偏光子を製造するために、グラン・トンプソンプリズム、グラン・テイラープリズム、その他の派生型などのデバイスに複屈折結晶が使用されています。[ 16 ]また、この目的のために、積層複屈折ポリマーシートを使用することもできます。[ 17 ]
複屈折は、第二高調波発生やその他の非線形光学プロセスにおいても重要な役割を果たします。これらの用途に使用される結晶は、ほぼ例外なく複屈折性です。入射角を調整することで、異常光線の実効屈折率を調整し、これらのデバイスの効率的な動作に必要な位相整合を実現できます。
複屈折は医療診断に利用されています。光学顕微鏡で使用される強力な補助装置の一つに、交差偏光フィルターがあります。光源からの光は最初の偏光子を通過するとx方向に偏光されますが、試料の上部にはy方向に配置された偏光子（いわゆる検光子）があります。そのため、光源からの光は検光子に届かず、視野は暗く見えます。複屈折を持つ試料の領域は、一般的にx偏光の一部をy偏光に変換します。その結果、これらの領域は暗い背景に対して明るく見えます。この基本原理に修正を加えることで、正の複屈折と負の複屈折を区別することができます。
例えば、痛風関節から針で液体を吸引すると、負の複屈折性を示す尿酸ナトリウム結晶が見つかる。一方、ピロリン酸カルシウム結晶は弱い正の複屈折性を示す。 [ 19 ]尿酸結晶は黄色に見え、ピロリン酸カルシウム結晶は、長軸が赤い補償フィルターの長軸と平行に並んでいる場合、[ 20 ]または比較のために既知の複屈折性を持つ結晶をサンプルに加えた場合、青色に見える。
生きた人間の大腿部内部の組織の複屈折は、1310 nm の偏光感応型光コヒーレンストモグラフィー と針の中のシングルモードファイバーを使用して測定されました。骨格筋の複屈折は Δn = 1.79 × 10 −3 ± 0.18×10 −3、脂肪組織は Δn = 0.07 × 10 −3 ± 0.50 × 10 −3、表層腱膜は Δn = 5.08 × 10 −3 ± 0.73 × 10 −3、間質組織は Δn = 0.65 × 10 −3 ±0.39 × 10 −3でした。[ 21 ]これらの測定は、デュシェンヌ型筋ジストロフィーの診断のためのより低侵襲な方法の開発にとって重要になる可能性があります。
アルツハイマー病患者の脳に見られるアミロイド斑は、コンゴーレッドなどの色素で染色すると複屈折が観察される。免疫グロブリン軽鎖などの修飾タンパク質が細胞間に異常に蓄積し、線維を形成する。これらの線維は幾重にも折り畳まれ、βシート構造をとる。コンゴーレッド色素は折り畳まれた線維の間に入り込み、偏光下で観察すると複屈折を引き起こす。
眼科学では、ヘンレ線維（中心窩から放射状に外側に向かう光受容体軸索）の両眼網膜複屈折スクリーニングにより、斜視、場合によっては不同視弱視を確実に検出できます。[ 22 ]健康な被験者では、ヘンレ線維層によって誘発される最大遅延は、840 nm で約 22 度です。[ 23 ]さらに、走査型レーザー偏光測定法は、視神経線維層の複屈折を利用してその厚さを間接的に定量化し、緑内障の評価とモニタリングに役立ちます。健康なヒト被験者から得られた偏光感受性光コヒーレンストモグラフィー測定では、視神経乳頭周辺の位置に応じて網膜神経線維層の複屈折が変化することが示されています。[ 24 ]同じ技術が最近、生きたヒト網膜に適用され、視神経付近の血管壁の偏光特性を定量化しました。[ 25 ]高血圧症の患者では網膜血管壁が厚くなり複屈折性が低下するが、[ 26 ]血管壁の状態が悪化していることを示唆している一方、糖尿病患者の血管壁は厚さの変化は見られないが、複屈折性の増加が見られる。 [ 27 ]これは線維化または炎症によるものと考えられる。
精子頭部の複屈折特性により、卵細胞質内精子注入法に適した精子を選択できる。[ 28 ]同様に、透明帯イメージングでは、卵母細胞の複屈折を利用して、妊娠成功の可能性が最も高い卵母細胞を選択する。[ 29 ]肺結節から採取した粒子の複屈折は、珪肺症を示す。
皮膚科医は皮膚病変を観察するためにダーモスコープを使用します。ダーモスコープは偏光を利用するため、皮膚の真皮コラーゲンに対応する結晶構造を観察することができます。これらの構造は、光沢のある白い線やロゼット状の形として現れることがあり、偏光ダーモスコピーでのみ視認可能です。
等方性固体は複屈折を示さない。機械的応力が加わると、応力によって屈折率が変化するため複屈折が生じる。[ 30 ]応力は外部から加えることも、射出成形によって製造された複屈折性プラスチック製品を冷却した後に「凍結」させることもできる。このようなサンプルを2つの交差偏光板の間に置くと、光線が複屈折性材料を通過した後に偏光が回転し、回転量が波長に依存するため、色のパターンが観察される。固体内の応力分布を分析するために使用される光弾性と呼ばれる実験方法は、同じ原理に基づいている。最近では、ガラス板の応力誘起複屈折を利用して光渦と完全なポアンカレビーム（断面全体で可能なすべての偏光状態を持つ光ビーム）を生成する研究が行われている。 [ 31 ]
複屈折は異方性弾性材料で観察される現象である。これらの材料では、2つの偏光はそれぞれの有効屈折率に応じて分離し、その有効屈折率は応力にも敏感である。
固体地球を伝わるせん断波の複屈折の研究（地球の液体の核はせん断波を支持しない）は、地震学において広く用いられている。
複屈折は、鉱物学において岩石、鉱物、宝石を識別するために広く用いられている。
等方性媒質（自由空間を含む）では、いわゆる電気変位（D ）は、 D = εEに従って電場（E ）に比例します。ここで、材料の誘電率εはスカラー量であり（nは屈折率で、 n 2 ε 0に等しい）、複屈折を示す異方性材料では、 DとEの関係はテンソル方程式を用いて記述する必要があります。
ここで、εは3 × 3の誘電率テンソルである。媒質中の磁気透過率 をゼロとし、線形性を仮定する。すなわち、 μ = μ₀である。角周波数ωの平面波の電場は、一般的に次の形式で表すことができる。
ここで、rは位置ベクトル、tは時間、E 0はr = 0、t = 0における電場を表すベクトルである。次に、可能な波数ベクトルkを求める。∇ × Eと∇ × Hに関するマクスウェル方程式を組み合わせることにより、H = 1 / μ 0 Bを消去して、次の式を得る。
自由電荷がない場合、 Dの発散に関するマクスウェル方程式はゼロになる。
式 3aの左辺にベクトル恒等式∇ × (∇ × A ) = ∇(∇ ⋅ A ) − ∇ 2 Aを適用し、 xに関する各微分がik xによる乗算をもたらすという空間依存性を利用して、次の式を求めることができます。
式3aの右辺は、誘電率テンソルεを適用し、時間微分が−iωの乗算をもたらすことを考慮すると、Eを用いて表すことができ、式3aは次のようになる。
式3bに微分法則を適用すると、次のようになる。
式4bは、 Dが波数ベクトルkの方向と直交することを示しています等方性媒質の場合のようにEについては一般的にはそうではありません。式4bは、以降の導出手順では必要ありません。
与えられたωに対するkの許容値を求めるには、結晶の対称軸の方向にx、y、z軸を選択したデカルト座標系（または単軸結晶の光軸の方向にz軸を選択するだけ）を使用するのが最も簡単で、その結果、誘電率テンソルεの対角行列が得られます。
ここで、対角成分は、3つの主軸x、y、zに沿った偏光に対する屈折率の二乗である。εをこの形式で、光速cをc 2 = 1 / μ 0 ε 0を用いて代入すると、ベクトル方程式式4aのx成分は次のようになる。
ここで、E x、E y、E zはEの成分(空間と時間の任意の位置において) であり、k x、k y、k zはkの成分である。式を整理すると、次のように書ける (式 4aのyおよびz成分についても同様)。
これはE x、E y、E zに関する線形方程式の集合なので、次の行列式がゼロである限り、非自明な解（つまり、 E = 0以外の解）を持つことができます。
式 6の行列式を評価し、項をべき乗に従って並べ替えると、定数項は相殺される。共通因数を消去した後残りの項から、
一軸性材料の場合、光軸をz方向に選択してn x = n y = n oおよびn z = n eとすると、この式は次のように因数分解できます。
式 8 のいずれかの因子をゼロに設定すると、与えられたωに対して許容される波数ベクトルkの空間に楕円体表面[注 1 ]が定義されます。最初の因子がゼロの場合、球が定義されます。これは、 kの方向に関係なく実効屈折率が正確にn o である、いわゆる常光線の解です。2 番目の因子は、z軸に関して対称な回転楕円体を定義します。この解は、 kの方向に応じて実効屈折率がn oとn eの間にある、いわゆる異常光線に対応します。したがって、任意の伝搬方向 (光軸の方向以外) に対して、常光線と異常光線の偏光に対応する2 つの異なる波数ベクトルkが許容されます。
二軸材料の場合、2 つの波に対して同様だがより複雑な条件を記述できます。[ 32 ]許容されるkベクトルの軌跡(波数ベクトル面) は 4 次二面面であるため、特定の方向には一般に 2 つの許容されるkベクトル (およびその反対) があります。[ 33 ]目視により、式 6 は一般に 2 つの正のω値に対して満たされることがわかります。または、特定の光周波数ωと波面 k / | k | に垂直な方向に対して、その方向に 2 つの線形偏光が伝搬するのに対応する 2 つの波数(または伝搬定数) | k | (したがって実効屈折率) に対して満たされます。
これら 2 つの伝搬定数が等しい場合、実効屈折率は偏光に依存しないため、その特定の方向に伝搬する波は複屈折に遭遇しません。一軸結晶の場合、これは上記の構成に従って± z方向である光軸です。しかし、3 つの屈折率 (または誘電率) n x、n y、n zがすべて異なる場合、波数ベクトル表面の 2 つのシートが接する方向がちょうど 2 つあることが示されます。[ 33 ]これらの方向は全く自明ではなく、3 つの主軸 (上記の慣例に従ってx、y、z ) のいずれにも沿っていません。歴史的に、このような結晶に「二軸」という用語が使用されるのは、偏光と複屈折が物理的に理解されるずっと前に、ちょうど 2 つの特別な方向 (「軸」と見なされる) の存在が発見されたためです。これらの 2 つの特別な方向は一般に特に関心の対象ではありません。二軸結晶は、3つの対称軸に対応する3つの屈折率によって特徴づけられる。
媒質中に入射された一般的な偏光状態は、常に2つの波に分解でき、それぞれの偏光状態に対応する波が、異なる波数| k |で伝搬します。これらの2つの波に特定の伝搬距離にわたって異なる伝搬位相を適用すると、その地点で一般的に異なる正味の偏光状態が得られます。これは、例えば波長板の原理です。波長板では、2つの光線のk ベクトルが常に同じ方向を向いているため、2つの光線間に空間的なずれはありません。これは、2つの偏光状態がそれぞれ光軸に垂直（常光線）または平行（異常光線）である場合に当てはまります。
より一般的なケースでは、 2 つの光線の大きさだけでなく方向にも違いがあります。たとえば、方解石結晶を透過した写真 (ページ上部) では、2 つの偏光で画像がずれていることがわかります。これは、光軸が結晶表面に平行でも垂直でもないためです。また、光軸が表面に平行な場合でも、非垂直入射で入射した波ではこの現象が発生します (説明図に示されているように)。このような場合、2 つのkベクトルは、境界条件によって制約された式 6 を解くことで求めることができます。境界条件とは、2 つの透過波のkベクトルの成分と、界面の表面に投影された入射波のkベクトルがすべて同じでなければならないというものです。単軸結晶の場合、通常の光線 (そのためこの名前が付けられています) には空間的なずれがなく、光軸ではない 2 つの軸と同じ屈折率を持つ非複屈折性物質であるかのように屈折することがわかります。二軸結晶の場合、どちらの光線も「通常の」光線とはみなされず、一般的には主軸のいずれかに等しい屈折率に従って屈折することはありません。
