ヘッセ正規形

解析幾何学において、ヘッセ標準形（オットー・ヘッセにちなんで名付けられた）は、ユークリッド平面内の直線、ユークリッド空間内の平面、または高次元の超平面を記述するために使用される方程式である。^{[1] [2]主に距離の計算に使用される（}点-平面距離と点-直線距離を参照）。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

ベクトル表記では次のように表される。

${\displaystyle {\vec {r}}\cdot {\vec {n}}_{0}-d=0.\,}$

ドットはドット積（またはスカラー積）を示します。ベクトルは、座標系の原点Oから、平面または線分Eに正確に位置する任意の点Pを指します。ベクトルは、平面または線分Eの単位法線ベクトルを表します。距離は、原点Oから平面または線分までの最短距離です。 ${\displaystyle \cdot}$${\displaystyle {\vec {r}}}$${\displaystyle {\vec {n}}_{0}}$ ${\displaystyle d\geq 0}$

注: 簡単にするために、以下の導出では 3D の場合について説明します。ただし、2D にも適用できます。

通常形式では、

${\displaystyle ({\vec {r}}-{\vec {a}})\cdot {\vec {n}}=0\,}$

平面は法線ベクトルと点の任意の位置ベクトルによって与えられる。の方向は次の不等式を満たすように選択される。 ${\displaystyle {\vec {n}}}$${\displaystyle {\vec {a}}}$${\displaystyle A\in E}$${\displaystyle {\vec {n}}}$

${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {n}}\geq 0\,}$

法線ベクトルをその大きさで割ると、単位（または正規化）法線ベクトルが得られる。 ${\displaystyle {\vec {n}}}$ ${\displaystyle |{\vec {n}}|}$

${\displaystyle {\vec {n}}_{0}={{\vec {n}} \over {|{\vec {n}}|}}\,}$

そして上記の式は次のように書き直すことができる。

${\displaystyle ({\vec {r}}-{\vec {a}})\cdot {\vec {n}}_{0}=0.\,}$

代用

${\displaystyle d={\vec {a}}\cdot {\vec {n}}_{0}\geq 0\,}$

ヘッセ正規形を得る

${\displaystyle {\vec {r}}\cdot {\vec {n}}_{0}-d=0.\,}$

この図では、dは原点からの距離です。平面上のすべての点に当てはまるので、点Q（原点からのベクトルが平面Eと交わる点）でも当てはまります。スカラー積の定義によれば、${\displaystyle {\vec {r}}\cdot {\vec {n}}_{0}=d}$${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}_{s}}$

${\displaystyle d={\vec {r}}_{s}\cdot {\vec {n}}_{0}=|{\vec {r}}_{s}|\cdot |{\vec { n}}_{0}|\cdot \cos(0^{\circ })=|{\vec {r}}_{s}|\cdot 1=|{\vec {r}}_{s}|.\,}$

の大きさは原点から平面までの最短距離です。 ${\displaystyle |{\vec {r}}_{s}|}$${\displaystyle {{\vec {r}}_{s}}}$

直線から点までの四角形（ 距離の二乗）は${\displaystyle ax+by+c=0}$${\displaystyle (x,y)}$

${\displaystyle {\frac {(ax+by+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}}}.}$

が単位長さの場合、これは${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle (ax+by+c)^{2}.}$

• Weisstein、Eric W.「ヘッセ正規形」。MathWorld。