エヴォルート

曲線の微分幾何学において、曲線のエボリュートは、その曲線のすべての曲率中心の軌跡である。つまり、曲線上の各点の曲率中心を描くと、結果として得られる形状はその曲線のエボリュートとなる。したがって、円のエボリュートはその中心にある一点である。^{[ 1 ]} 同様に、エボリュートは曲線の法線の包絡線である。

曲線、曲面、またはより一般的には部分多様体のエボリュートは、法線マップの焦線です。MをR ⁿ内の滑らかで正則な部分多様体とします。M内の各点pと、 p を基点としMに垂直な各ベクトルvに対して、点p + vを対応付けます。これにより、法線マップと呼ばれるラグランジュマップが定義されます。法線マップの焦線は、 Mのエボリュートです。^{[ 2 ]}

外渦曲線は内渦曲線と密接に関連しています。ある曲線は、その曲線の内渦曲線のいずれかの内渦曲線です。

アポロニウス（紀元前200年頃）は『円錐曲線論』 第5巻でエボリュートについて論じた。しかし、エボリュートを最初に研究したのはホイヘンス（1673年）であるとされることもある。ホイヘンスは、等時曲線を求める問題を解決するために、1659年頃にエボリュートの理論を定式化し、それが等時振り子の製作に役立った。これは、等時曲線がサイクロイドであり、サイクロイドにはエボリュートもまたサイクロイドであるという特異な性質があるためである。実際、エボリュートの理論によって、ホイヘンスは後に微積分を用いて得られる多くの成果を達成することができた。^{[ 3 ]}

もし${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {c}}(t),\;t\in [t_{1},t_{2}]}$は、曲率がどこにも 0 ではなく、平面上の正則曲線のパラメトリック表現です。${\displaystyle \rho (t)}$その曲率半径と${\displaystyle {\vec {n}}(t)}$曲率中心を指す単位法線ベクトル、次に $${\displaystyle {\vec {E}}(t)={\vec {c}}(t)+\rho (t){\vec {n}}(t)}$$与えられた曲線の進化を 記述する 。

のために${\displaystyle {\vec {c}}(t)=(x(t),y(t))^{\mathsf {T}}}$そして${\displaystyle {\vec {E}}=(X,Y)^{\mathsf {T}}}$1つ手に入れる $${\displaystyle X(t)=x(t)-{\frac {y'(t){\Big (}x'(t)^{2}+y'(t)^{2}{\Big )}}{x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)}}}$$そして $${\displaystyle Y(t)=y(t)+{\frac {x'(t){\Big (}x'(t)^{2}+y'(t)^{2}{\Big )}}{x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)}}.}$$

曲線の場合${\displaystyle \Gamma }$暗黙のうちに表現された形式${\displaystyle f(x,y)=0}$曲線のエボリュートは、元の曲線をその法線に関連付ける方程式系によって決定できます。曲線上の各点において${\displaystyle \Gamma }$法線ベクトルの方向は次のように表されます。

$${\displaystyle \left(-{\frac {f_{y}}{f_{x}}},\,{\frac {xf_{y}-yf_{x}}{f_{x}}}\right)}$$

どこ${\displaystyle f_{x}={\frac {\partial f}{\partial x}}}$そして${\displaystyle f_{y}={\frac {\partial f}{\partial y}}}$これらの要素は、曲線上の各点における法線ベクトルの方向を表します。

エボリュートは、以下の連立方程式を解くことで得られます（詳細は^{[ 4 ]を参照）。}

$${\displaystyle {\begin{aligned}0&=f(x,y),\\u&=-{\frac {f_{y}}{f_{x}}},\\v&={\frac {xf_{y}-yf_{x}}{f_{x}}},\end{aligned}}}$$

どこ${\displaystyle u}$そして${\displaystyle v}$法線ベクトルの成分を表す。変数を消去する${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$このシステムから、次の単一の代数方程式が得られます。${\displaystyle u}$そして${\displaystyle v}$これは曲線の進化を定義するものです。

正則曲線の性質を導出するには、弧長を用いるのが有利である。${\displaystyle s}$与えられた曲線のパラメータとして、${\textstyle \left|{\vec {c}}'\right|=1}$そして${\textstyle {\vec {n}}'=-{\vec {c}}'/\rho }$（フレネ・セレの公式を参照）。したがって、エヴォリュートの接線ベクトルは次のようになる。${\textstyle {\vec {E}}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}}$は： $${\displaystyle {\vec {E}}'={\vec {c}}'+\rho '{\vec {n}}+\rho {\vec {n}}'=\rho '{\vec {n}}\ .}$$ この式から、進化体の以下の特性が得られます。

• 点では${\displaystyle \rho '=0}$外転曲線は正則曲線ではありません。つまり、曲率が最大または最小となる点（与えられた曲線の頂点）では、外転曲線に尖点が生じます。（放物線、楕円、サイクロイド、ネフロイドの外転曲線の図を参照してください。）
• 尖点を含まないエヴォリュートの任意の弧について、弧の長さはその端点における曲率半径の差に等しい。この事実は、接円の入れ子に関するテイト・クネーザーの定理の簡単な証明につながる。^{[ 5 ]}
• 与えられた曲線の非ゼロ曲率点における法線は、エボリュートへの接線であり、ゼロ曲率点における法線は、エボリュートへの漸近線である。したがって、エボリュートは、与えられた曲線の法線の包絡線である。
• 曲線のセクションで${\displaystyle \rho '>0}$または${\displaystyle \rho '<0}$この曲線は、その外転曲線の内転曲線である。（図では、青い放物線は赤い半三次放物線の内転曲線であり、赤い半三次放物線は実際には青い放物線の外転曲線である。）

最後の性質の証明: とする${\displaystyle \rho '>0}$検討対象の断面において。エボリュートの インボリュートは次のように記述できる。$${\displaystyle {\vec {C}}_{0}={\vec {E}}-{\frac {{\vec {E}}'}{\left|{\vec {E}}'\right|}}\left(\int _{0}^{s}\left|{\vec {E}}'(w)\right|\mathrm {d} w+l_{0}\right),}$$ どこ${\displaystyle l_{0}}$は固定された弦の拡張です（パラメーター化された曲線のインボリュートを 参照）。${\displaystyle {\vec {E}}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}\;,\;{\vec {E}}'=\rho '{\vec {n}}}$そして${\displaystyle \rho '>0}$1つ手に入れる $${\displaystyle {\vec {C}}_{0}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}-{\vec {n}}\left(\int _{0}^{s}\rho '(w)\;\mathrm {d} w\;+l_{0}\right)={\vec {c}}+(\rho (0)-l_{0})\;{\vec {n}}\,.}$$ つまり、文字列の拡張については${\displaystyle l_{0}=\rho (0)}$与えられた曲線が再現されます。

• 平行な曲線は同じ進化曲線を持つ。

証明：距離が平行な曲線${\displaystyle d}$与えられた曲線はパラメトリック表現を持つ${\displaystyle {\vec {c}}_{d}={\vec {c}}+d{\vec {n}}}$そして曲率半径${\displaystyle \rho _{d}=\rho -d}$（平行曲線を参照）。したがって、平行曲線のエヴォリュートは$${\displaystyle {\vec {E}}_{d}={\vec {c}}_{d}+\rho _{d}{\vec {n}}={\vec {c}}+d{\vec {n}}+(\rho -d){\vec {n}}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}={\vec {E}}\;.}$$

進化

• 放物線の 1 つは半三次放物線です (上記参照)。
• 楕円の非対称なアステロイド（上記参照）
• 線上の理想点は、
• ネフロイドの はネフロイド (半分の大きさ、図を参照) であり、
• 小惑星の は小惑星 (2 倍の大きさ) です。
• 心臓形は心臓形（大きさが3分の1）であり、
• 円の中心は、
• 三角筋の は三角筋 (3 倍の大きさ) です。
• サイクロイドの合同なサイクロイドは、
• 対数螺旋の は、同じ対数螺旋です。
• トラクトリックスの曲線は懸垂線である。

同様の定義を持つ曲線は、与えられた曲線の半径です。曲線上の各点について、その点から曲率中心へのベクトルを取り、原点から始まるように平行移動します。すると、そのようなベクトルの終点の軌跡が、その曲線の半径と呼ばれます。半径の式は、エボリュートの式から x項とy項を取り除くことによって得られます。これにより、次の式が得られます。$${\displaystyle (X,Y)=\left(-y'{\frac {{x'}^{2}+{y'}^{2}}{x'y''-x''y'}}\;,\;x'{\frac {{x'}^{2}+{y'}^{2}}{x'y''-x''y'}}\right).}$$

• ワイスタイン、エリック・W. 「エボリュート」。マスワールド。
• ソコロフ、DD（2001）[1994]、「Evolute」、数学百科事典、EMS Press
• イェーツ、RC：『曲線とその性質に関するハンドブック』、JWエドワーズ（1952年）、「エヴォリュート」、 86ページ以降
• 2次元曲線上で進化する。
• ピエネ、ラグニ、リエナー、コーディアン、シャピロ、ボリス。「Return of the Plane Evolute」、フーリエ研究所*、75(4)、2025。