真の異常

天体力学において、真近点角とは、ケプラー軌道に沿って運動する天体の位置を定義する角度パラメータである。これは、楕円の主焦点（天体が公転する点）から見た、近点方向と天体の現在位置との間の角度である。

真近点角は通常、ギリシャ文字の $ν$ または $θ$ 、あるいはラテン文字の $f$ で表され、通常は0～360°（0～2πラジアン）の範囲に限定されます。

真近点角 $f$ は、軌道に沿った位置を定義するために使用できる3つの角度パラメータ（近点角）の1つであり、他の2つは離心近点角と平均近点角です。

公式

状態ベクトルから

楕円軌道の場合、真の近点角 $νは$ 軌道状態ベクトルから次のように計算できます。

\nu =\arccos {{\mathbf {e} \cdot \mathbf {r} } \over {\mathbf {\left|e\right|} \mathbf {\left|r\right|} }}

( r ⋅ v < 0の場合、

ν を

2

π

−

ν

に置き換えます)

どこ：

vは軌道上の物体の軌道速度ベクトルであり、
eは離心率ベクトルです。
rは、軌道上の天体の軌道位置ベクトル（図中の線分FP ）である。

円軌道

円軌道の場合、真近点角は定義されません。なぜなら、円軌道には一意に決定される近点が存在しないからです。代わりに、緯度uの引数が使用されます。

u=\arccos {{\mathbf {n} \cdot \mathbf {r} } \over {\mathbf {\left|n\right|} \mathbf {\left|r\right|} }}

( r _z < 0の場合、 u を2

π

− uに置き換える)

どこ：

nは昇ノードを指すベクトルである（つまり、nのz成分はゼロである）。
r _zは軌道位置ベクトルrのz成分である。

傾斜角ゼロの円軌道

軌道傾斜角がゼロの円軌道の場合、緯度の引数も定義されません。なぜなら、一意に決定されるノード線が存在しないからです。代わりに真経度を使用します。

l=\arccos {r_{x} \over {\mathbf {\left|r\right|} }}

( v _x > 0の場合は、

l を

2

π

−

l

に置き換える)

どこ：

r _xは軌道位置ベクトルrのx成分です。
v _xは軌道速度ベクトルvのx成分です。

偏心異常から

$真近点角ν$ と偏心近点角の関係 $E$ は：

\cos {\nu }={{\cos {E}-e} \over {1-e\cos {E}}}

または正弦^{[ 1 ]}と正接を用いる：

{\begin{aligned}\sin {\nu }&={{{\sqrt {1-e^{2}\,}}\sin {E}} \over {1-e\cos {E}}}\\[4pt]\tan {\nu }={{\sin {\nu }} \over {\cos {\nu }}}&={{{\sqrt {1-e^{2}\,}}\sin {E}} \over {\cos {E}-e}}\end{aligned}}

または同等に：

\tan {\nu \over 2}={\sqrt {{1+e\,} \over {1-e\,}}}\tan {E \over 2}

それで

\nu =2\,\operatorname {arctan} \left(\,{\sqrt {{1+e\,} \over {1-e\,}}}\tan {E \over 2}\,\right)

^{あるいは、R. BrouckeとP. Cefola [ 2 ]}は、引数が近い場合に数値的な問題を回避できるこの方程式の形式を導出した。 $\pm \pi$ 2つの接線が無限大になるため。さらに、 ${\frac {E}{2}}$ そして ${\frac {\nu }{2}}$ 常に同じ象限にあるため、符号の問題は発生しません。

\tan {{\frac {1}{2}}(\nu -E)}={\frac {\beta \sin {E}}{1-\beta \cos {E}}}

どこ

\beta ={\frac {e}{1+{\sqrt {1-e^{2}}}}}

それで

\nu =E+2\operatorname {arctan} \left(\,{\frac {\beta \sin {E}}{1-\beta \cos {E}}}\,\right)

平均異常値から

真の異常値は平均異常値から直接計算できる。 $M$ フーリエ展開により：^{[ 3 ]}

\nu =M+2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(-ke)\beta ^{|k+n|}\right]\sin {kM}

ベッセル関数を用いて $J_{n}$ およびパラメータ $\beta ={\frac {1-{\sqrt {1-e^{2}}}}{e}}$ 。

注文のすべての条項を省略 $e^{4}$ またはそれ以上（以下で示される） $\operatorname {\mathcal {O}} \left(e^{4}\right)$ )、それは^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]と書くことができる。}

\nu =M+\left(2e-{\frac {1}{4}}e^{3}\right)\sin {M}+{\frac {5}{4}}e^{2}\sin {2M}+{\frac {13}{12}}e^{3}\sin {3M}+\operatorname {\mathcal {O}} \left(e^{4}\right).

精度上の理由から、この近似は通常、離心率が小さい軌道に限定されることに注意してください。 $e$ 小さい。

その表現 $\nu -M$ これは中心の方程式として知られており、展開に関するより詳細な説明が示されています。

真近点からの半径

半径（引力の焦点と周回天体との距離）は、次の式で真の近点角と関連付けられます。

r(t)=a\,{1-e^{2} \over 1+e\cos \nu (t)}\,\!

ここで、aは軌道の長半径である。

天体力学において、射影近点角とは、ケプラー軌道に沿って運動する天体の位置を定義する角度パラメータである。これは、近点の方向と射影空間における天体の現在位置との間の角度である。

射影異常は通常、次のように表される。 $\theta$ 通常は0～360度（0～2）の範囲に制限されます $\pi$ ラジアン）。

射影異常 $\theta$ は、軌道に沿った位置を定義する4 つの角度パラメータ (近点角) の 1 つであり、他の 3 つは離心近点角、真近点角、平均近点角です。

射影幾何学では、円、楕円、放物線、双曲線はすべて同じ種類の二次曲線として扱われる。

射影パラメータと射影異常

軌道タイプは、2つのプロジェクトパラメータによって分類されます。 $\alpha$ そして $\beta$ 次のように、

円軌道 $\beta =0$
楕円軌道 $\alpha \beta <1$
放物線軌道 $\alpha \beta =1$
双曲線軌道 $\alpha \beta >1$
直線軌道 $\alpha =\beta$
想像上の軌道 $\alpha <\beta$

どこ

$\alpha ={\frac {(1+e)(q-p)+{\sqrt {(1+e)^{2}(q+p)^{2}+4e^{2}}}}{2}}$

$\beta ={\frac {2e}{(1+e)(q+p)+{\sqrt {(1+e)^{2}(q+p)^{2}+4e^{2}}}}}$

$q=(1-e)a$

$p={\frac {1}{Q}}={\frac {1}{(1+e)a}}$

どこ $\alpha$ 半長軸は、 $e$ 奇抜さ、 $q$ は近日点距離であり、 $Q$ は遠日点距離です。

惑星の位置と太陽からの距離 $x$ 、 $y$ そして $r$ 射影異常の関数として計算できる $\theta$ :

$x={\frac {-\beta +\alpha \cos \theta }{1+\alpha \beta \cos \theta }}$

$y={\frac {{\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}\sin \theta }{1+\alpha \beta \cos \theta }}$

$r={\frac {\alpha -\beta \cos \theta }{1+\alpha \beta \cos \theta }}$

ケプラーの方程式

射影異常 $\theta$ 偏心近点角から計算できる $u$ 次のように、

場合： $\alpha \beta <1$

$\tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {1+\alpha \beta }{1-\alpha \beta }}}\tan {\frac {u}{2}}$

$u-e\sin u=M=\left({\frac {1-\alpha ^{2}\beta ^{2}}{\alpha (1+\beta ^{2})}}\right)^{3/2}k(t-T_{0})$

場合： $\alpha \beta =1$

${\frac {s^{3}}{3}}+{\frac {\alpha ^{2}-1}{\alpha ^{2}+1}}s={\frac {2k(t-T_{0})}{\sqrt {\alpha (\alpha ^{2}+1)^{3}}}}$

$s=\tan {\frac {\theta }{2}}$

場合： $\alpha \beta >1$

$\tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {\alpha \beta +1}{\alpha \beta -1}}}\tanh {\frac {u}{2}}$

$e\sinh u-u=M=\left({\frac {\alpha ^{2}\beta ^{2}-1}{\alpha (1+\beta ^{2})}}\right)^{3/2}k(t-T_{0})$

上記の式はケプラー方程式と呼ばれます。

全般的異常

任意の定数に対して $\lambda$ 一般化された異常 $\Theta$ は次のように関連しています

$\tan {\frac {\Theta }{2}}=\lambda \tan {\frac {u}{2}}$

偏心異常、真異常、射影異常は、 $\lambda =1$ 、 $\lambda ={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}$ 、 $\lambda ={\sqrt {\frac {1+\alpha \beta }{1-\alpha \beta }}}$ 、それぞれ。

佐藤一郎、「ケプラー運動の新たな異常」、天文学雑誌第116巻、 2038-3039頁、（1997年）

参考文献

↑デビッド・A・ヴァラード著『宇宙力学の基礎と応用』
↑ Broucke, R.; Cefola, P. (1973). "二体問題における真の近点角と偏心近点角の関係についての注記" . Celestial Mechanics . 7 (3): 388–389 . Bibcode : 1973CeMec...7..388B . doi : 10.1007/BF01227859 . ISSN 0008-8714 . S2CID 122878026 .
1 2 Battin, RH (1999).宇宙力学の数学と方法入門. AIAA 教育シリーズ. アメリカ航空宇宙学会. p. 212 (式 (5.32)). ISBN 978-1-60086-026-32022年8月2日に取得。
↑ Smart, WM (1977). Textbook on Spherical Astronomy (PDF) . p. 120 (式 (87)). Bibcode : 1977tsa..book.....S .
↑ Roy, AE (2005). Orbital Motion (4 ed.). Bristol, UK; Philadelphia, PA: Institute of Physics (IoP). p. 78 (式 (4.65)). Bibcode : 2005ormo.book.....R . ISBN 07503101542021年5月15日にオリジナルからアーカイブされました。 2020年8月29日に取得。

さらに読む

Murray, CD & Dermott, SF, 1999, Solar System Dynamics , Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-57597-4
Plummer, HC, 1960, 『力学天文学入門』、ドーバー出版、ニューヨーク。OCLC 1311887（1918年ケンブリッジ大学出版局版の復刻版）。

外部リンク

連邦航空局 - 軌道の説明

[1] デビッド・A・ヴァラード著『宇宙力学の基礎と応用』

[2] Broucke, R.; Cefola, P. (1973). "二体問題における真の近点角と偏心近点角の関係についての注記" . Celestial Mechanics . 7 (3): 388–389 . Bibcode : 1973CeMec...7..388B . doi : 10.1007/BF01227859 . ISSN 0008-8714 . S2CID 122878026 .

[Battin_1999_p._212-3] 1 2 Battin, RH (1999).宇宙力学の数学と方法入門. AIAA 教育シリーズ. アメリカ航空宇宙学会. p. 212 (式 (5.32)). ISBN 978-1-60086-026-32022年8月2日に取得。

[Smart_p.-4] Smart, WM (1977). Textbook on Spherical Astronomy (PDF) . p. 120 (式 (87)). Bibcode : 1977tsa..book.....S .

[5] Roy, AE (2005). Orbital Motion (4 ed.). Bristol, UK; Philadelphia, PA: Institute of Physics (IoP). p. 78 (式 (4.65)). Bibcode : 2005ormo.book.....R . ISBN 07503101542021年5月15日にオリジナルからアーカイブされました。 2020年8月29日に取得。

[ 1 ]

あるいは、R. BrouckeとP. Cefola [ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]と書くことができる。