角の二等分線定理

添付のアニメーションで示されているように、この定理は相似な三角形を用いて証明できます。ここで示されているバージョンでは、三角形は${\displaystyle \triangle ABC}$角の二等分線に垂直な線に関して対称になる${\displaystyle AD}$結果として三角形が$\displaystyle \triangle AB_{2}C_{2}}$二等分線付き${\displaystyle AD_{2}}$二等分によって生じる角度が${\displaystyle \angle BAD}$そして${\displaystyle \angle CAD}$等しいとは${\displaystyle BAC_{2}}$そして${\displaystyle CAB_{2}}$直線です。これにより三角形を構築できます。${\displaystyle \triangle C_{2}BC}$それは${\displaystyle \triangle ABD}$相似な三角形の対応する辺の比はすべて等しいので、${\displaystyle |AB|/|AC_{2}|=|BD|/|CD|}$。 しかし、${\displaystyle AC_{2}}$線を反映して構築された${\displaystyle AC}$したがって、その2つの線は同じ長さです。したがって、${\displaystyle |AB|/|AC|=|BD|/|CD|}$定理で述べられている結果が得られる。

上記の図において、三角形△ ABDと△ ACDに正弦定理を適用してください。

角∠ADBと∠ADCは線形対を形成します。つまり、それらは隣接する補角です。補角は正弦が等しいので、

${\displaystyle {\sin \angle ADB}={\sin \angle ADC}.}$

∠DABと∠DACは等しい。したがって、式( 1 )と式( 2 )の右辺は等しいので、左辺も等しくなければならない。

${\displaystyle {\frac {|BD|}{|CD|}}={\frac {|AB|}{|AC|}},}$

これは角の二等分線定理です。

∠DAB 、∠DACの角度が異なる場合、式（ 1）と（2 ）は次のように書き換えることができます。

${\displaystyle {{\frac {|AB|}{|BD|}}\sin \angle DAB=\sin \angle ADB},}$

${\displaystyle {{\frac {|AC|}{|CD|}}\sin \angle DAC=\sin \angle ADC}.}$

∠ADB 、∠ADCは依然として補角であるため、これらの等式の右辺は依然として等しく、したがって次の式が得られます。

${\displaystyle {{\frac {|AB|}{|BD|}}\sin \angle DAB={\frac {|AC|}{|CD|}}\sin \angle DAC},}$

これは定理の「一般化」バージョンに再構成される。

Dを直線BC上の点とし、 BまたはCとは等しくなく、ADは三角形△ ABCの高さではないとする。

B _{1 を}三角形△ ABDにおいてBを通る垂線の底辺 (足) とし、C 1 を三角形 △ ACD において C を通る垂線の底辺とする。_このとき、DがBと C の間にある場合、B 1またはC 1_のどちらか_一方のみが△ ABC の内側にあり、一般性を失うことなくB ₁が内側にあると仮定できる。このケースは隣の図に示されている。Dが線分BCの外側にある場合、B ₁もC ₁も三角形の内側にはない。

∠ DB ₁ B、∠ DC ₁ Cは直角であり、∠ B ₁ DB、∠ C ₁ DCは、 D が線分BC上にある場合(つまり、BとCの間にある場合) には合同であり、その他の場合では同一であるため、三角形△ DB ₁ B、△ DC ₁ Cは相似 (AAA) であり、これは次のことを意味します。

${\displaystyle {\frac {|BD|}{|CD|}}={\frac {|BB_{1}|}{|CC_{1}|}}={\frac {|AB|\sin \angle BAD}{|AC|\sin \angle CAD}}.}$

Dが高さの足である場合、

${\displaystyle {\frac {|BD|}{|AB|}}=\sin \angle \ BAD{\text{ および }}{\frac {|CD|}{|AC|}}=\sin \angle \ DAC,}$

そして、一般化された形式は次のようになる。

構築ポイント${\displaystyle D'}$二等分線上で${\displaystyle \triangle ABD\sim \triangle ACD'}$私たちは、${\displaystyle |CD|=|CD'|}$。

の場合${\displaystyle D'}$横たわる${\displaystyle {\overline {AD}}}$我々はそれを持っている$${\displaystyle \angle CD'D=180^{\circ }-\angle CD'A=180^{\circ }-\angle BDA=\angle CDD',}$$そして、${\displaystyle D'}$横たわらない${\displaystyle {\overline {AD}}}$我々はそれを持っている$${\displaystyle \angle CD'D=\angle CD'A=\angle BDA=\angle CDD'.}$$どちらにしても、${\displaystyle \triangle CDD'}$二等辺三角形であるということは、${\displaystyle |CD|=|CD'|}$。 したがって、$${\displaystyle {\frac {|AB|}{|AC|}}={\frac {|BD|}{|CD'|}}={\frac {|BD|}{|CD|}},}$$それは望んでいた結果だった。

三角形Aの角の二等分線によって作られる2 つの三角形△ BAD、△ CAD の面積の比を調べると、簡単な証明が得られます。異なる公式を使用してこれらの面積を 2 回計算すると、${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}gh}$ベース付き${\displaystyle g}$高度hと${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ab\sin(\gamma )}$辺a、bおよびそれらの囲む角γを用いると、望ましい結果が得られます。

hを底辺BC上の三角形の高さとし、${\displaystyle \alpha }$Aの角度の半分とする。

${\displaystyle {\frac {|\triangle ABD|}{|\triangle ACD|}}={\frac {{\frac {1}{2}}|BD|h}{{\frac {1}{2}}|CD|h}}={\frac {|BD|}{|CD|}}}$

そして

${\displaystyle {\frac {|\triangle ABD|}{|\triangle ACD|}}={\frac {{\frac {1}{2}}|AB||AD|\sin(\alpha )}{{\frac {1}{2}}|AC||AD|\sin(\alpha )}}={\frac {|AB|}{|AC|}}}$

収量

${\displaystyle {\frac {|BD|}{|CD|}}={\frac {|AB|}{|AC|}}.}$