楕円形

楕円（ラテン語のovum  「卵」に由来）は、平面上の閉じた曲線で、卵の輪郭に似ています。この用語はあまり具体的ではありませんが、一部の分野（射影幾何学、製図など）では、楕円の 1 つまたは 2 つの対称軸を含む、より正確な定義が与えられています。一般的な英語では、この用語はより広い意味で使用され、卵を連想させるあらゆる形状を指します。楕円の 3 次元バージョンは、卵形と呼ばれます。

幾何学で曲線を説明するために使用される楕円という用語は、射影幾何学の文脈を除いて明確に定義されていません。多くの異なる曲線は一般に楕円と呼ばれ、または「楕円形」であると言われています。一般に、楕円と呼ばれるためには、平面曲線は卵または楕円の輪郭に似ている必要があります。特に、楕円の一般的な特徴は次のとおりです。

• これらは微分可能（滑らかに見える）、^[1] 単純（自己交差しない）な、凸な、閉じた、平面曲線である。
• その形状は楕円形からあまり外れず、
• 楕円には通常対称軸がありますが、これは必須ではありません。

他の場所で説明されている楕円の例を次に示します。

• カッシーニの楕円
• いくつかの楕円曲線の部分
• モスの卵
• 超楕円
• デカルト楕円
• スタジアム

卵形は、楕円曲線を対称軸の 1 つを中心に回転させることによって生成される 3 次元空間の表面です。形容詞ovoidalおよびovate は、卵形であるという特徴を持つことを意味し、 「卵形」の 同義語としてよく使用されます。

• 射影平面上の点の集合Ωは、次の場合、楕円と呼ばれます。

1. 任意の直線lはΩと最大2点で交わり、
2. 任意の点P ∈ Ωに対して、 P を通る接線t が1 本だけ存在します。つまり、t ∩ Ω = { P } です。

有限平面（つまり点の集合が有限）の場合、より便利な特徴付けがある： ^[2]

• n次有限射影平面（つまり、任意の直線には n + 1 個の点が含まれる）の場合 、点の集合Ωが楕円となるのは、| Ω | = n + 1であり、3 つの点が同一線上（共通直線上）にない場合のみです。

射影空間内の 卵形とは、次のような点の集合Ωです。

1. 任意の直線はΩと 最大2点で交差し、
2. ある点の接線は超平面を覆う（それ以上のものではない）
3. Ωには線が含まれていません。

有限の場合、次元 3 の場合にのみ卵形が存在します。便利な特徴付けは次のとおりです。

• 3次元有限射影空間において、n > 2の任意の点集合Ωは、| Ω |かつどの 3点も同一直線上にない場合に限り、卵形となる。^[3]${\displaystyle =n^{2}+1}$

卵の形は、長楕円体の「長い」半分と、ほぼ球形の楕円体、またはわずかに扁平な楕円体の「短い」半分を結合したものに近似されます。これらは赤道で結合され、上に示すように、回転対称の主軸を共有します。卵形という用語は通常、赤道面を挟んで反射対称性がないことを意味しますが、真の長楕円体を指す場合もあります。また、長軸を中心に回転すると 3 次元の表面になる 2 次元図形を表すためにも使用できます。

製図において、楕円は2 つの異なる半径を持つ 2 組の円弧から構成される図形です(右の図を参照)。円弧は、結合する両方の円弧の接線が同じ線上にある点で結合されるため、結合部は滑らかになります。楕円のどの点も一定の半径 (短いか長い) を持つ円弧に属しますが、楕円では半径が連続的に変化します。

日常会話では、「楕円形」は卵や楕円に似た形状を意味し、2 次元または 3 次元の場合があります。また、クリケットの競技場、スピード スケート リンク、陸上競技場など、2 つの半円を長方形で結合したような図形を指すこともよくあります。ただし、これはスタジアムと呼ばれるのが最も正確です。

「楕円」という用語は、しばしば楕円形と互換的に使用されますが、より具体的な数学的意味を持ちます。^[4]「長方形」という用語は楕円形を意味するためにも使用されますが、^[5]幾何学では長方形は曲線ではなく、不等辺の長方形を指します。^[6]

• 楕円
• 楕円ドーム
• スタジアム（幾何学）
• ヴェシカ・ピシス– 尖った楕円形
• ドームの象徴性

• Dembowski、Peter (1968)、有限幾何学、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete、Band 44、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 3-540-61786-8、MR  0233275