インデックス楕円体

結晶光学において、屈折率 楕円体（光学的 指示楕円体^{[ 1 ]}または誘電体 楕円体^{[ 2 ]}とも呼ばれる）は、複屈折結晶（結晶が光学回転を示さない場合に限る）における波面の向きの関数として、光の屈折 率とそれに伴う偏光を簡潔に表す幾何学的構成である。この楕円体を波面に平行な平面で中心から切断すると、結果として得られる交点（中心断面または直径断面と呼ばれる）は、長半軸と短半軸の長さがその波面の向きに対する2つの屈折率に等しく、電束密度ベクトルDで表されるそれぞれの偏光の方向を持つ楕円となる。^{[ 3 ]}屈折率楕円体の主半軸は主屈折率と呼ばれる。^{[ 4 ]}  

分割手順から、楕円体の各主半軸は、一般にその半軸の方向への伝搬における屈折率ではなく、その半軸に垂直な方向への伝搬における屈折率であることがわかります。ここで、Dベクトルはその半軸（および波面）に平行です。したがって、各主屈折率が適用される伝搬方向（波面に垂直な方向）は、対応する主半軸に垂直な平面内にあります。

屈折率楕円体は、屈折率 面と混同してはならない。屈折率面の半径ベクトル（原点からの距離）は、どの方向においても、その方向への伝搬における屈折率となる。複屈折媒質の場合、屈折率面は、どの方向においても、その方向に垂直な平面による屈折率楕円体の直径断面の長軸と短軸の長さに等しい2枚のシートからなる表面である。

もし私たちが許せば${\displaystyle n_{\text{a}},n_{\text{b}},n_{\text{c}}}$インデックス楕円体の主半軸を表し、これらの半軸がそれぞれ次の位置にあるデカルト座標系を選択する。${\displaystyle x}$、${\displaystyle y}$、 そして${\displaystyle z}$方向、指数楕円体の方程式は

屈折率楕円体が三軸性（主半軸がすべて等しくない）である場合、直径断面が円になる切断面が 2 つ存在する。これらの面に平行な波面では、すべての偏光が許容され、同じ屈折率を持つため、波速も同じになる。これら 2 つの面に垂直な方向、つまりすべての偏光に対して単一の波速となる方向は、双法線 軸^{[ 5 ]}または光軸^{[ 6 ]}と呼ばれ、したがって媒質は二軸性であると言われる。^{[注 1 ]}したがって、逆説的ではあるが、媒質の屈折率楕円体が三軸性である場合、媒質自体は二軸性と呼ばれる。

インデックス楕円体の主半軸のうち 2 つが等しい場合 (この場合、それらの共通の長さは常屈折率と呼ばれ、3 番目の長さは異常屈折率と呼ばれます)、楕円体は回転楕円体(回転楕円体) に縮小し、2 つの光軸が合流するため、媒質は一軸性であると言われます。^{[注 2 ]}インデックス楕円体が回転楕円体に縮小すると、そこから構成される 2 枚のシートのインデックス面は、インデックス楕円体の軸に平行な共通軸の両端で接する球と回転楕円体に縮小します。^{[ 7 ]}ただし、回転楕円体のインデックス楕円体とインデックス面の回転シートの主軸は入れ替わります。例えば方解石のよく知られた例では、指標楕円体は扁平回転楕円体であり、指標面の一方のシートは、その扁平回転楕円体の赤道に接する球であり、指標面のもう一方のシートは、その球の極に接する長球であり、その赤道半径（異常指標）は扁平回転楕円体の極半径に等しい。^{[注3 ]}

屈折率楕円体の 3 つの主半軸がすべて等しい場合、それは球に縮小します。屈折率楕円体の直径断面はすべて円形であるため、すべての伝搬方向に対してすべての偏光が許容され、すべての方向で同じ屈折率を持ち、屈折率面は (球状の) 屈折率楕円体と一体化します。つまり、媒質は光学的に等方性です。立方晶はこの性質を示します^{[ 8 ]}、ガラスや水などの非晶質透明媒質も同様です。^{[ 9 ]}

屈折率の代わりに波速（波面に垂直な方向）に対して、屈折率楕円体に類似した曲面を定義することができる。n を原点から屈折率楕円体上の任意の点までの半径ベクトルの長さとする。すると、式 ( 1 ) をn ²で割ると、次のようになる。

どこ${\displaystyle \cos \xi }$、${\displaystyle \cos \eta }$、 そして${\displaystyle \cos \zeta }$これらは半径ベクトルの方向余弦です。しかし、 nは半径ベクトルが長軸または短軸である直径断面に平行な波面の屈折率でもあります。その波面が速度を持つ場合${\displaystyle v}$、 我々は持っています${\displaystyle n=c_{0}/v}$、 どこ${\displaystyle c_{0}}$は真空中の光速である。^{[注4 ]}指数楕円体の主半軸については、nは次の値をとる。${\displaystyle n_{\text{a}},n_{\text{b,}}n_{\text{c}},}$させて${\displaystyle v}$それぞれa、b、cの値を取ると、${\displaystyle n_{\text{a}}=c_{0}/a,}$ ${\displaystyle n_{\text{b}}=c_{0}/b,}$そして${\displaystyle n_{\text{c}}=c_{0}/c}$（ ２ ）にこれらの置換を行い、共通因数を消去する${\displaystyle c_{0}^{2}}$我々は得る

この方程式は、1822年1月にオーギュスタン＝ジャン・フレネルによって導出された。 ^{[ 10 ]}もし${\displaystyle v}$は半径ベクトルの長さであり、この方程式は、任意の直径断面の長軸と短軸の長さがその断面に平行な波面の波法線速度に等しく、フレネルが「振動」と呼んだもの（現在ではDの振動として認識されている）の方向を持つ表面を記述します。

（ １ ）で記述される曲面はインデックス空間（座標が無次元数である）にあるのに対し、（３）で記述される曲面は速度空間（座標が速度の単位を持つ）にある。前者の曲面は２次であるのに対し、後者の曲面は４次である。これは、再定義することで確認できる。${\displaystyle x,y,z}$速度の成分として、${\displaystyle \cos \xi =x/v}$など。したがって、後者の表面 （3）は一般に楕円体ではなく、別の種類の卵形面である。そして、指標楕円体が指標面を生成するのと同様に、表面 （3）は、同じプロセスによって、いわゆる法線速度面を生成する。^{[注5 ]}したがって、表面 （3）は「法線速度卵形面」と呼ぶのが妥当かもしれない。しかし、フレネルは、光波が横弾性波であり、媒質には分子の変位がちょうど反対方向に復元力を生み出す3つの直交方向があり、変位のベクトル和による復元力は個々の変位による復元力のベクトル和であると仮定して、それを弾性面と呼んだ。^{[ 10 ]}

フレネルはすぐに、弾性面と同じ主半軸上に構築された楕円体が、弾性面が波の法線速度に対して持つのと同じ関係を光線速度に対して持つことに気づいた。^{[ 11 ] [ 12 ]}フレネルの楕円体は現在、光線 楕円体と呼ばれている。したがって、現代の用語では、光線楕円体は屈折率楕円体が屈折率を生成するのと同様に光線速度を生成する。光線楕円体の直径断面の長半軸と短半軸は、電場ベクトルEの許容方向にある。^{[ 13 ]}

インデックス 面という用語は、 1837 年にJames MacCullaghによって造語されました。^{[ 14 ]} 1833 年に発表された以前の論文で、MacCullagh はこの面を「屈折面」と呼び、フレネルの楕円体の主半軸に反比例する主半軸を持つ楕円体の直径断面の長半軸と短半軸によって生成されることを示しました。^{[ 15 ]}そして、MacCullagh は後にこれを「インデックスの楕円体」と呼びました。^{[ 16 ]} 1891 年に、Lazarus Fletcher はこの楕円体を光学的 指示楕円体と呼びました。^{[ 17 ]}

電磁気理論から指数楕円体とその生成特性を導出することは容易ではない。^{[ 18 ]}しかし、指数楕円体が与えられれば、そのパラメータを媒質の電磁特性に容易に関連付けることができる。

真空中の光速は $${\displaystyle c_{0}=1{\big ─\sqrt {\mu _{0}\epsilon _{0}}}\,,}$$ どこ$\displaystyle \mu _{0}}$そして$\displaystyle \epsilon _{0}}$はそれぞれ真空の透磁率と誘電率である。透明な媒質の場合、透磁率は$\displaystyle \mu _{0}}$（特に光周波数では）^{[ 19 ]}しかし$\displaystyle \epsilon _{0}}$に置き換える必要があります ${\displaystyle \epsilon _{\text{r}}\epsilon _{0}\;\!,}$どこ$\displaystyle \epsilon _{\text{r}}$ は比誘電率（誘電 率とも呼ばれる）なので、波の速度は $${\displaystyle v=1{\big /}{\sqrt {\mu _{0}\epsilon _{\text{r}}\epsilon _{0}}}\,.}$$ 分割する${\displaystyle c_{0}}$による${\displaystyle v}$すると、屈折率が得られます。 $${\displaystyle n={\sqrt {\epsilon _{\text{r}}}}\,.}$$ この導出では$\displaystyle \epsilon _{\text{r}}$等方性媒質では有効なスカラーとして表されます。異方性媒質では、この結果は異方性を回避する伝搬方向と偏光の組み合わせ、つまり等方性媒質の場合と同様に電束密度ベクトルDが電場ベクトルEと平行な場合にのみ有効です。指数楕円体の対称性を考慮すると、これらはDが軸のいずれかの方向にある場合でなければなりません。したがって、比誘電率を次のように表すと、${\displaystyle x}$、${\displaystyle y}$、 そして${\displaystyle z}$道順${\displaystyle \epsilon _{x}\;\!,\epsilon _{y},\epsilon _{z}}$（いわゆる主誘電率）を思い出して、${\displaystyle n_{\text{a}},n_{\text{b}},n_{\text{c}}}$Dのこれらの方向の屈折率を表すには、 $${\displaystyle n_{\text{a}}={\sqrt {\epsilon _{x}}}~;~~n_{\text{b}}={\sqrt {\epsilon _{y}}}~;~~n_{\text{c}}={\sqrt {\epsilon _{z}}}~,}$$これは、指数楕円体の半軸が主誘電率 の平方根であることを示している。^{[ 20 ]}これらの式を( 1 )に代入すると、指数楕円体の方程式が別の形で得られる。^{[ 21 ]}$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{\epsilon _{x}}}+{\frac {y^{2}}{\epsilon _{y}}}+{\frac {z^{2}}{\epsilon _{z}}}=1\,,}$$ そのため、誘電体楕円体とも呼ばれる。

• 複屈折
• 複素屈折率
• 結晶光学
• D-DIA
• 不透明度の数学的記述

• M. Born および E. Wolf、2002、『光学の原理』、第 7 版、ケンブリッジ大学出版局、1999 年（2002 年に訂正版が再版）、ISBN 978-0-521-64222-4。
• A. フレネル ( H.ドセナルモン、E.ヴェルデ、L.フレネル編)、1868 年、オーギュスタン フレネル作品集、パリ: Imprimerie Impériale (3巻、1866 ～ 70 年)、vol. 2 (1868)。         
• F.A. ジェンキンスとH.E. ホワイト、1976年、『光学の基礎』第4 版、ニューヨーク ：マグロウヒル、ISBN 0-07-032330-5。
• L.D. ランダウと E.M. リフシッツ ( J.B.サイクスと J.S.ベル訳)、1960 年、『連続媒体の電気力学』（理論物理学講義第8巻）、ロンドン: パーガモン プレス。     
• A. Yariv および P. Yeh、1984 年、『結晶中の光波：レーザー放射の伝播と制御』、ニューヨーク：Wiley、ISBN 0-471-09142-1。
• F. Zernike および JE Midwinter、1973 年、『応用非線形光学』、ニューヨーク：Wiley（2006 年、ニューヨーク州ミネオラ：Dover により再版）。