頂点（曲線）

平面曲線の幾何学において、頂点とは曲率の一次導関数がゼロになる点のことである。^[1]これは典型的には曲率の極大値または極小値であり、^[2]頂点をより具体的には曲率の極値であると定義する著者もいる。^[3]ただし、二次導関数もゼロになる場合や曲率が一定である場合など、他の特殊なケースが発生することもある。一方、空間曲線の場合、頂点はねじれが消える点である。

双曲線には、各枝に 1 つずつ、合計 2 つの頂点があります。これらの頂点は、双曲線の反対側の枝にある 2 つの点のうち最も近い点であり、主軸上にあります。放物線では、唯一の頂点は対称軸上にあり、次の形式の二次曲線上にあります。

${\displaystyle ax^{2}+bx+c\,\!}$

それは平方完成または微分によって求めることができる。^[2]楕円では、4つの頂点のうち2つが長軸上にあり、2つが短軸上にあります。^[4]

曲率が一定である円の場合、すべての点は頂点になります。

頂点は、曲線がその点で接触円と4 点で接触する点です。 ^{[5] [6]}対照的に、曲線上の一般的な点は、通常、接触円と 3 点しか接触しません。曲線が頂点を持つ場合、曲線の縮閉線は一般的に尖点を持ちます。 [6] 他のより退化した^非安定な特異点は、接触円が 4 より高次の接触を持つ高次の頂点で発生する可能性があります。^[5]単一の一般的な曲線には高次の頂点はありませんが、1 パラメータの曲線族内では、2 つの通常の頂点が合体してより高い頂点を形成し、その後消滅する曲線族で一般的に発生します。

曲線の対称セットは、頂点に対応する尖点に端点を持ち、対称セットのサブセットである中心軸も、尖点に端点を持ちます。

古典的な4頂点定理によれば、すべての単純な閉じた平面の滑らかな曲線は、少なくとも4つの頂点を持たなければなりません。^[7]より一般的な事実は、凸体の境界上にある、または局所的に凸な円板に接するすべての単純な閉じた空間曲線は、4つの頂点を持たなければなりません。^[8]一定幅の曲線はすべて、少なくとも6つの頂点を持たなければなりません。^[9]

平面曲線が左右対称である場合、対称軸が曲線と交差する点に頂点が存在します。したがって、曲線の頂点の概念は、光軸がレンズ面と交差する点である光学頂点の概念と密接に関連しています。

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