楕円座標系

幾何学において、楕円座標系は、座標線が共焦点の楕円 と双曲線 である2次元直交 座標系です。2つの焦点と は、通常、直交座標系の軸上でそれぞれとに固定されているとみなされます。 ${\displaystyle F_{1}}$${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle -a}$${\displaystyle +a}$${\displaystyle x}$

楕円座標の最も一般的な定義は ${\displaystyle (\mu ,\nu )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\ \cosh \mu \ \cos \nu \\y&=a\ \sinh \mu \ \sin \nu \end{aligned}}}$

ここで、は非負の実数であり、${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \nu \in [0,2\pi ].}$

複素平面上では、同等の関係は

${\displaystyle x+iy=a\ \cosh(\mu +i\nu )}$

これらの定義は楕円と双曲線に対応している。三角関数の恒等式

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {y^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1}$

定数曲線は楕円形になるが、双曲三角関数の恒等式は ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {y^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1}$

定数の曲線が双曲線を形成することを示しています。 ${\displaystyle \nu }$

直交座標系では、基底ベクトルの長さはスケール係数と呼ばれます。楕円座標のスケール係数は次の式に等しくなります。 ${\displaystyle (\mu ,\nu )}$

${\displaystyle h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}=a{\sqrt {\cosh ^{2}\mu -\cos ^{2}\nu }}.}$

双曲関数と三角関数の二重引数恒等式を用いると、スケール係数は次のように等価に表現できる。

${\displaystyle h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {{\frac {1}{2}}(\cosh 2\mu -\cos 2\nu )}}.}$

その結果、面積の微小要素は

${\displaystyle {\begin{aligned}dA&=h_{\mu }h_{\nu }d\mu d\nu \\&=a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)d\mu d\nu \\&=a^{2}\left(\cosh ^{2}\mu -\cos ^{2}\nu \right)d\mu d\nu \\&={\frac {a^{2}}{2}}\left(\cosh 2\mu -\cos 2\nu \right)d\mu d\nu \end{aligned}}}$

そしてラプラシアンは

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\Phi &={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)\\&={\frac {1}{a^{2}\left(\cosh ^{2}\mu -\cos ^{2}\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)\\&={\frac {2}{a^{2}\left(\cosh 2\mu -\cos 2\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

や などの他の微分演算子は、スケール係数を直交座標の一般式に代入することによって座標で表すことができます。 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$${\displaystyle (\mu ,\nu )}$

楕円座標の代替的で幾何学的に直感的なセットが時々使用されます。ここで、 および です。したがって、定数の曲線は楕円ですが、定数の曲線は双曲線です。座標は区間 [-1, 1] に属している必要があり、 座標は 1 以上である必要があります。 ${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$${\displaystyle \sigma =\cosh \mu }$${\displaystyle \tau =\cos \nu }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \sigma }$

座標は、焦点およびまでの距離と単純な関係にあります。平面上の任意の点について、焦点までの距離の合計は に等しく、その差はに等しくなります。したがって、 までの距離は であり、 までの距離はです。(およびはそれぞれおよびにあることを思い出してください。) ${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$${\displaystyle F_{1}}$${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle d_{1}+d_{2}}$${\displaystyle 2a\sigma }$ ${\displaystyle d_{1}-d_{2}}$${\displaystyle 2a\tau }$${\displaystyle F_{1}}$${\displaystyle a(\sigma +\tau )}$${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle a(\sigma -\tau )}$${\displaystyle F_{1}}$${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle x=-a}$${\displaystyle x=+a}$

これらの座標の欠点は、直交座標(x,y) と (x,-y)の点が同じ座標を持つため、直交座標への変換は関数ではなく多関数になることです。 ${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$

${\displaystyle x=a\left.\sigma \right.\tau }$

${\displaystyle y^{2}=a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right).}$

代替楕円座標のスケール係数は ${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$

${\displaystyle h_{\sigma }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sigma ^{2}-1}}}}$

${\displaystyle h_{\tau }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}.}$

したがって、微小面積要素は

${\displaystyle dA=a^{2}{\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}}d\sigma d\tau }$

そしてラプラシアンは

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-\tau ^{2}\right)}}\left[{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)\right].}$

や などの他の微分演算子は 、スケール係数を直交座標の一般式に代入することによって座標で表すことができます。 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$

楕円座標は、いくつかの3次元直交座標セットの基礎となります。

1. 楕円円筒座標は-方向に投影することによって生成されます。${\displaystyle z}$
2. 長楕円体座標は、楕円座標を- 軸、つまり焦点を結ぶ軸を中心に回転させることによって生成されますが、扁平楕円体座標は、楕円座標を- 軸、つまり焦点を分ける軸を中心に回転させることによって生成されます。${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$
3. 楕円体座標は、共焦点楕円体、1 枚および 2 枚の双曲面に基づいて、楕円座標を 3 次元に正式に拡張したものです。

(楕円体の)地理座標系は上記とは異なる概念であることに注意してください。

楕円座標の典型的な応用は、ラプラス方程式やヘルムホルツ方程式などの偏微分方程式を解くことです。これらの方程式では、楕円座標はシステムの自然な記述であるため、偏微分方程式で変数を分離できます。いくつかの伝統的な例としては、分子の周りを回る電子や楕円形の惑星の軌道などのシステムを解くことが挙げられます。

楕円座標の幾何学的特性も役に立つことがあります。典型的な例としては、 固定ベクトル に加算されるすべてのベクトルとのペアの積分が挙げられます。ここで、被積分関数はベクトルの長さとの関数です。(このような場合、2 つの焦点の間に と を- 軸に揃えて配置します。つまり、 です。)具体的には、、 およびはそれぞれ粒子の運動量とその分解生成物を表し、被積分関数には生成物の運動エネルギー (運動量の 2 乗の長さに比例する) が含まれる可能性があります。 ${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle \mathbf {q} }$${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {p} +\mathbf {q} }$${\displaystyle \left|\mathbf {p} \right|}$${\displaystyle \left|\mathbf {q} \right|}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbf {r} =2a\mathbf {\hat {x}} }$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle \mathbf {q} }$

• 曲線座標
• 楕円体座標
• 一般化座標
• 双極座標

• 「楕円座標」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Korn GA およびKorn TM . (1961)科学者およびエンジニアのための数学ハンドブック、McGraw-Hill。
• Weisstein、Eric W.「楕円円筒座標」。MathWorld より - Wolfram Web リソース。http://mathworld.wolfram.com/EllipticCylindricalCoordinates.html