引数表記 不完全楕円積分は 2つの引数の関数であり、完全楕円積分は 1つの引数の関数です。これらの引数は、同じ楕円積分を与えるため、さまざまな異なる方法で表現されますが、すべて同等です。ほとんどの教科書は、以下の命名規則に従って、標準的な命名法を採用しています。
一つの議論を表明するために：
α モジュラー角 k = sin α 楕円率 または離心率 m = k 2 = sin 2 α パラメータ 上記の3つの量はそれぞれ、他のいずれかによって完全に決定される（ただし、それらが非負の値である場合に限る）。したがって、これらは互換的に使用することができる。
もう一方の引数も同様に、振幅 φ x u x = sin φ = sn u sn は ヤコビ楕円関数 の 1 つです。
これらの量のいずれかの値を指定すると、他の量も決定されます。uは m 。 コス φ = 中国語 u 、 そして 1 − m 罪 2 φ = dn u 。 {\displaystyle \cos \varphi =\operatorname {cn} u,\quad {\textrm {and}}\quad {\sqrt {1-m\sin ^{2}\varphi }}=\operatorname {dn} u.}
後者はデルタ振幅と呼ばれることもあり、 Δ( φ ) = dn u と表記されます。文献によっては、相補パラメータ 、相補モジュラス、 または相補モジュラー角と呼ばれることもあります。これらは、 四半周期 に関する記事でさらに詳しく説明されています。
この表記法では、縦棒 を区切り文字として使用すると、その後に続く引数が（上記で定義した）「パラメータ」であることを示し、バックスラッシュはそれが絶対角度であることを示します。セミコロンを使用すると、その前の引数が振幅の正弦であることを意味します。 F （ φ 、 罪 α ） = F （ φ ∣ 罪 2 α ） = F （ φ ∖ α ） = F （ 罪 φ ; 罪 α ） 。 {\displaystyle F(\varphi ,\sin \alpha )=F\left(\varphi \mid \sin ^{2}\alpha \right)=F(\varphi \setminus \alpha )=F(\sin \varphi ;\sin \alpha ).} Abramowitz と Stegunの参考書で使用されているものや Gradshteyn と Ryzhik の積分表で使用されているものと。
文献では、楕円積分の表記法には他にも慣例があります。引数を入れ替えた表記法F ( k , φ )E ( k , φ )が用いられます。Abramowitzと Stegun は 、第 2 種および第 3 種の積分の定義において、引数φの代わりに第 1 種の積分 F ( φ , k )E ( F ( φ , k ) | k 2 )を E ( φ | k 2 ) の代わりに用います。さらに、彼らの完全積分では、引数として法k パラメータ k 2 K ( k ) ではなくK ( k 2 ) です。また、GradshteynとRyzhik によって定義された第3種の積分Π( φ , n , k ) は、 「特性」n ではなく振幅φ を最初に置きます。
したがって、これらの関数を使用する際には表記法に注意する必要があります。なぜなら、信頼できる様々な参考文献やソフトウェアパッケージでは、楕円関数の定義において異なる慣例が用いられているからです。例えば、Wolfram 社のMathematica ソフトウェアとWolfram Alpha では、第1種完全楕円積分を楕円モジュラスk m
第一種不完全楕円積分 第一種不完全楕円積分 Fは 次のように定義される。
F （ φ 、 k ） = F （ φ ∣ k 2 ） = F （ 罪 φ ; k ） = ∫ 0 φ d θ 1 − k 2 罪 2 θ 。 {\displaystyle F(\varphi ,k)=F\left(\varphi \mid k^{2}\right)=F(\sin \varphi ;k)=\int _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}。}
これはルジャンドルの楕円積分の三角関数形式です。t = sin θ x = sin φ を
F （ x ; k ） = ∫ 0 x d t （ 1 − t 2 ） （ 1 − k 2 t 2 ） 。 {\displaystyle F(x;k)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {\left(1-t^{2}\right)\left(1-k^{2}t^{2}\right)}}}.}
同様に、振幅とモジュラー角の観点からは、次のようになる。 F （ φ ∖ α ） = F （ φ 、 罪 α ） = ∫ 0 φ d θ 1 − （ 罪 θ 罪 α ） 2 。 {\displaystyle F(\varphi \setminus \alpha )=F(\varphi ,\sin \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-\left(\sin \theta \sin \alpha \right)^{2}}}}.}
x = sn( u , k )F （ x ; k ） = u ; {\displaystyle F(x;k)=u;} ヤコビ楕円関数が、 第一種不完全楕円積分の単純な逆関数であることを示す。
第一種不完全楕円積分には、次の加法定理が成り立つ。 F [ アークタン （ x ） 、 k ] + F [ アークタン （ y ） 、 k ] = F [ アークタン （ x k ′ 2 y 2 + 1 y 2 + 1 ） + アークタン （ y k ′ 2 x 2 + 1 x 2 + 1 ） 、 k ] {\displaystyle F\left[\arctan(x),k\right]+F\left[\arctan(y),k\right]=F\left[\arctan \left({\frac {x{\sqrt {k'^{2}y^{2}+1}}}{\sqrt {y^{2}+1}}}\right)+\arctan \left({\frac {y{\sqrt {k'^{2}x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right),k\right]}
楕円モジュラスは次のように変換できます。 F [ arcsin （ x ） 、 k ] = 2 1 + 1 − k 2 F [ arcsin （ （ 1 + 1 − k 2 ） x 1 + 1 − k 2 x 2 ） 、 1 − 1 − k 2 1 + 1 − k 2 ] {\displaystyle F\left[\arcsin(x),k\right]={\frac {2}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}F{\left[\arcsin \left({\frac {\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)x}{1+{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}\right),{\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right]}}
第二種不完全楕円積分 ルジャンドルの三角関数形式における第2種不完全楕円積分 Eは次のようになる。
E （ φ 、 k ） = E （ φ | k 2 ） = E （ 罪 φ ; k ） = ∫ 0 φ 1 − k 2 罪 2 θ d θ 。 {\displaystyle E(\varphi ,k)=E\left(\varphi \,|\,k^{2}\right)=E(\sin \varphi ;k)=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,d\theta .}
t = sin θ x = sin φ
E （ x ; k ） = ∫ 0 x 1 − k 2 t 2 1 − t 2 d t 。 {\displaystyle E(x;k)=\int _{0}^{x}{\frac {\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,dt.}
同様に、振幅とモジュラー角の観点から言えば次のようになる。 E （ φ ∖ α ） = E （ φ 、 罪 α ） = ∫ 0 φ 1 − （ 罪 θ 罪 α ） 2 d θ 。 {\displaystyle E(\varphi \setminus \alpha )=E(\varphi ,\sin \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-\left(\sin \theta \sin \alpha \right)^{2}}}\,d\theta .}
ヤコビ楕円関数 との関係には以下が含まれる E （ sn （ u ; k ） ; k ） = ∫ 0 u dn 2 （ w ; k ） d w = u − k 2 ∫ 0 u sn 2 （ w ; k ） d w = （ 1 − k 2 ） u + k 2 ∫ 0 u 中国語 2 （ w ; k ） d w 。 {\displaystyle {\begin{aligned}E{\left(\operatorname {sn} (u;k);k\right)}=\int _{0}^{u}\operatorname {dn} ^{2}(w;k)\,dw&=u-k^{2}\int _{0}^{u}\operatorname {sn} ^{2}(w;k)\,dw\\[1ex]&=\left(1-k^{2}\right)u+k^{2}\int _{0}^{u}\operatorname {cn} ^{2}(w;k)\,dw.\end{aligned}}}
赤道から 緯度 φ 弧の 長さは、 E m （ φ ） = 1 （ E （ φ 、 e ） + d 2 d φ 2 E （ φ 、 e ） ） 、 {\displaystyle m(\varphi )=a\left(E(\varphi ,e)+{\frac {d^{2}}{d\varphi ^{2}}}E(\varphi ,e)\right),} a 軌道長半径 、e は離心率 である。
第二種不完全楕円積分には、次の加法定理が成り立つ。E [ アークタン （ x ） 、 k ] + E [ アークタン （ y ） 、 k ] = E [ アークタン （ x k ′ 2 y 2 + 1 y 2 + 1 ） + アークタン （ y k ′ 2 x 2 + 1 x 2 + 1 ） 、 k ] + k 2 x y k ′ 2 x 2 y 2 + x 2 + y 2 + 1 （ x k ′ 2 y 2 + 1 y 2 + 1 + y k ′ 2 x 2 + 1 x 2 + 1 ） {\displaystyle {\begin{aligned}&E{\left[\arctan(x),k\right]}+E{\left[\arctan(y),k\right]}\\[1ex]&\quad =E{\left[\arctan \left({\frac {x{\sqrt {k'^{2}y^{2}+1}}}{\sqrt {y^{2}+1}}}\right)+\arctan \left({\frac {y{\sqrt {k'^{2}x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right),k\right]}\\[1ex]&\qquad +{\frac {k^{2}xy}{k'^{2}x^{2}y^{2}+x^{2}+y^{2}+1}}\left({\frac {x{\sqrt {k'^{2}y^{2}+1}}}{\sqrt {y^{2}+1}}}+{\frac {y{\sqrt {k'^{2}x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right)\end{aligned}}}
楕円モジュラスは次のように変換できます。 E [ arcsin （ x ） 、 k ] = （ 1 + 1 − k 2 ） E [ arcsin （ （ 1 + 1 − k 2 ） x 1 + 1 − k 2 x 2 ） 、 1 − 1 − k 2 1 + 1 − k 2 ] − 1 − k 2 F [ arcsin （ x ） 、 k ] + k 2 x 1 − x 2 1 + 1 − k 2 x 2 {\displaystyle {\begin{aligned}E{\left[\arcsin(x),k\right]}&=\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)E{\left[\arcsin \left({\frac {\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)x}{1+{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}\right),{\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right]}\\[.5ex]&\quad -{\sqrt {1-k^{2}}}F{\left[\arcsin(x),k\right]}+{\frac {k^{2}x{\sqrt {1-x^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}\end{aligned}}}
第三種不完全楕円積分 第三種不完全楕円 積分Π は Π （ n ; φ ∖ α ） = ∫ 0 φ 1 1 − n 罪 2 θ d θ 1 − （ 罪 θ 罪 α ） 2 {\displaystyle \Pi (n;\varphi \setminus \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\frac {1}{1-n\sin ^{2}\theta }}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-\left(\sin \theta \sin \alpha \right)^{2}}}}}
または
Π （ n ; φ | m ） = ∫ 0 罪 φ 1 1 − n t 2 d t （ 1 − m t 2 ） （ 1 − t 2 ） 。 {\displaystyle \Pi (n;\varphi \,|\,m)=\int _{0}^{\sin \varphi }{\frac {1}{1-nt^{2}}}{\frac {dt}{\sqrt {\left(1-mt^{2}\right)\left(1-t^{2}\right)}}}.}
数n は特性 と呼ばれ、他の引数とは無関係に任意の値をとることができます。ただし、任意のm Π(1; π / 2 m ) は無限大になることに注意してください。
ヤコビ楕円関数との関係は Π （ n ; 午前 （ u ; k ） ; k ） = ∫ 0 u d w 1 − n sn 2 （ w ; k ） 。 {\displaystyle \Pi \left(n;\,\operatorname {am} (u;k);\,k\right)=\int _{0}^{u}{\frac {dw}{1-n\,\operatorname {sn} ^{2}(w;k)}}.}
赤道から緯度φ までの子午線弧の長さは、 Π の特殊なケースにも関係している。
m （ φ ） = 1 （ 1 − e 2 ） Π （ e 2 ; φ | e 2 ） 。 {\displaystyle m(\varphi )=a\left(1-e^{2}\right)\Pi \left(e^{2};\varphi \,|\,e^{2}\right).}
第一種完全楕円積分 第一種完全楕円積分K ( k )のグラフ 楕円積分は、振幅φ = π / 2 であり x = 1、 第一種完全楕円積分 K は K （ k ） = ∫ 0 π 2 d θ 1 − k 2 罪 2 θ = ∫ 0 1 d t （ 1 − t 2 ） （ 1 − k 2 t 2 ） 、 {\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}=\int _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {\left(1-t^{2}\right)\left(1-k^{2}t^{2}\right)}}},} K （ k ） = F （ π 2 、 k ） = F （ π 2 | k 2 ） = F （ 1 ; k ） 。 {\displaystyle K(k)=F\left({\tfrac {\pi }{2}},k\right)=F\left({\tfrac {\pi }{2}}\,|\,k^{2}\right)=F(1;k).}
べき級数 として表現できるK （ k ） = π 2 ∑ n = 0 ∞ （ （ 2 n ） ! 2 2 n （ n ! ） 2 ） 2 k 2 n = π 2 ∑ n = 0 ∞ （ P 2 n （ 0 ） ） 2 k 2 n 、 {\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right)^{2}k^{2n}={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left(P_{2n}(0)\right)^{2}k^{2n},}
ここでP n はルジャンドル多項式 であり、これは以下と同等である。
K （ k ） = π 2 （ 1 + （ 1 2 ） 2 k 2 + （ 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ） 2 k 4 + ⋯ + （ （ 2 n − 1 ） ! ! （ 2 n ） ! ! ） 2 k 2 n + ⋯ ） 、 {\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\left(1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}k^{2}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}k^{4}+\cdots +\left({\frac {\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!}}\right)^{2}k^{2n}+\cdots \right),}
ここでn !!は二重階乗 を表す。ガウス超幾何関数 を用いて、第一種完全楕円積分は次のように表される。
K （ k ） = π 2 2 F 1 （ 1 2 、 1 2 ; 1 ; k 2 ） 。 {\displaystyle K(k)={\tfrac {\pi }{2}}\,{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right).}
第一種の完全楕円積分は、四分の一周期と呼ばれることもあります。これは 算術幾何平均 を用いて非常に効率的に計算できます。K （ k ） = π 2 年次総会 （ 1 、 1 − k 2 ） 。 {\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2\operatorname {agm} \left(1,{\sqrt {1-k^{2}}}\right)}}.}
したがって、モジュラスは次のように変換できます。
K （ k ） = π 2 年次総会 （ 1 、 1 − k 2 ） = π 2 年次総会 （ 1 2 + 1 − k 2 2 、 1 − k 2 4 ） = π （ 1 + 1 − k 2 ） 年次総会 （ 1 、 2 1 − k 2 4 1 + 1 − k 2 ） = 2 1 + 1 − k 2 K （ 1 − 1 − k 2 1 + 1 − k 2 ） {\displaystyle {\begin{aligned}K(k)&={\frac {\pi }{2\operatorname {agm} \left(1,{\sqrt {1-k^{2}}}\right)}}\\[4pt]&={\frac {\pi }{2\operatorname {agm} \left({\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {1-k^{2}}}{2}},{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}\right)}}\\[4pt]&={\frac {\pi }{\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)\operatorname {agm} \left(1,{\frac {2{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right)}}\\[4pt]&={\frac {2}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}K{\left({\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right)}\end{aligned}}}
この表現はすべての場合に有効ですn ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } ≤ k ≤ 1 :
K （ k ） = n [ ∑ 1 = 1 n dn （ 2 1 n K （ k ） ; k ） ] − 1 K [ k n ∏ 1 = 1 n sn （ 2 1 − 1 n K （ k ） ; k ） 2 ] {\displaystyle K(k)=n\left[\sum _{a=1}^{n}\operatorname {dn} \left({\frac {2a}{n}}K(k);k\right)\right]^{-1}K\left[k^{n}\prod _{a=1}^{n}\operatorname {sn} \left({\frac {2a-1}{n}}K(k);k\right)^{2}\right]}
ガンマ関数との関係 k 2 = λ ( i √ r r ∈ Q + {\displaystyle r\in \mathbb {Q} ^{+}} λ はモジュラーラムダ関数 )の場合、K ( k )はガンマ関数 で閉じた形で表現できます。[ 2 ] r = 2r = 3r = 7[ 3 ]
K （ 2 − 1 ） = Γ （ 1 8 ） Γ （ 3 8 ） 2 + 1 8 2 4 π 、 {\displaystyle K{\left({\sqrt {2}}-1\right)}={\frac {\Gamma {\left({\frac {1}{8}}\right)}\Gamma {\left({\frac {3}{8}}\right)}{\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}}{8{\sqrt[{4}]{2}}{\sqrt {\pi }}}},}
そして
K （ 3 − 1 2 2 ） = 1 8 π 3 4 4 3 Γ （ 1 3 ） 3 {\displaystyle K\left({\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{8\pi }}{\sqrt[{4}]{3}}\,{\sqrt[{3}]{4}}\,\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)^{3}}
そして
K （ 3 − 7 4 2 ） = Γ （ 1 7 ） Γ （ 2 7 ） Γ （ 4 7 ） 4 7 4 π 。 {\displaystyle K\left({\frac {3-{\sqrt {7}}}{4{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{7}}\right)\Gamma \left({\frac {2}{7}}\right)\Gamma \left({\frac {4}{7}}\right)}{4{\sqrt[{4}]{7}}\pi }}.}
より一般的に言えば、 私 K ′ K = 私 K （ 1 − k 2 ） K （ k ） {\displaystyle {\frac {iK'}{K}}={\frac {iK\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)}{K(k)}}} 虚数二次体 [ 注1 ] [ 4 ] [ 5 ] k = e 5 πi /6 iK ′ / K = e 2 πi /3 [ 6 ]
K （ e 5 π 私 / 6 ） = e − π 私 / 12 Γ 3 （ 1 3 ） 3 4 4 2 3 π 。 {\displaystyle K{\left(e^{5\pi i/6}\right)}={\frac {e^{-\pi i/12}\Gamma ^{3}{\left({\frac {1}{3}}\right)}{\sqrt[{4}]{3}}}{4{\sqrt[{3}]{2}}\pi }}.}
上記の2番目の式は次のように書かれています。Γ （ 1 3 ） 3 π = 2 7 / 3 3 − 1 / 4 K （ 3 − 1 2 2 ） {\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)^{3}}{\pi }}=2^{7/3}\,3^{-1/4}\,K{\left({\tfrac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\right)}} Γ （ 1 k ） k / 2 π {\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\frac {1}{k}}\right)^{k/2}}{\sqrt {\pi }}}} 周期 ですk {\displaystyle k} 24 {\displaystyle 24}
Γ （ 1 4 ） 2 π = 4 K （ 1 2 ） Γ （ 1 6 ） 3 π = 2 11 / 3 ⋅ 3 ⋅ K （ 3 − 1 2 2 ） 2 Γ （ 1 8 ） 4 π = 2 17 / 2 K （ 1 2 ） K （ 2 − 1 ） 2 Γ （ 1 12 ） 6 π = 2 55 / 6 3 7 / 4 （ 3 + 1 ） 3 K （ 3 − 1 2 2 ） 2 K （ 1 2 ） 3 Γ （ 1 24 ） 12 π = 2 89 / 3 3 25 / 4 （ 2 + 1 ） 6 （ 3 − 1 ） 3 K （ 1 2 ） 3 K （ 3 − 1 2 2 ） 4 K （ （ 2 − 3 ） （ 3 − 2 ） ） 6 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{2}}{\sqrt {\pi }}}&=4\,K\left({\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)\\[1ex]{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{6}}\right)^{3}}{\sqrt {\pi }}}&=2^{11/3}\cdot 3\cdot K\left({\tfrac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\right)^{2}\\[1ex]{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{8}}\right)^{4}}{\sqrt {\pi }}}&=2^{17/2}\,K\left({\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)\,K\left({\sqrt {2}}-1\right)^{2}\\[1ex]{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{12}}\right)^{6}}{\sqrt {\pi }}}&=2^{55/6}\,3^{7/4}\,({\sqrt {3}}+1)^{3}\,K\left({\tfrac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\right)^{2}\,K\left({\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)^{3}\\[1ex]{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{24}}\right)^{12}}{\sqrt {\pi }}}&=2^{89/3}3^{25/4}({\sqrt {2}}+1)^{6}({\sqrt {3}}-1)^{3}K\!\left({\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)^{3}K\!\left({\tfrac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\right)^{4}K\!\left((2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})\right)^{6}\end{aligned}}}
漸近式 K （ k ） ≈ π 2 + π 8 k 2 1 − k 2 − π 16 k 4 1 − k 2 {\displaystyle K\left(k\right)\approx {\frac {\pi }{2}}+{\frac {\pi }{8}}{\frac {k^{2}}{1-k^{2}}}-{\frac {\pi }{16}}{\frac {k^{4}}{1-k^{2}}}} k < 1/2 3 × 10 −4 です 。 最初 k < 1/2 の場合 、 0.01 の
微分方程式 第一種楕円積分の 微分方程式は次のとおりである。 d d k （ k （ 1 − k 2 ） d K （ k ） d k ） = k K （ k ） {\displaystyle {\frac {d}{dk}}\left(k\left(1-k^{2}\right){\frac {dK(k)}{dk}}\right)=k\,K(k)}
この方程式の2番目の解はK （ 1 − k 2 ） {\displaystyle K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)} d d k K （ k ） = E （ k ） k （ 1 − k 2 ） − K （ k ） k 。 {\displaystyle {\frac {d}{dk}}K(k)={\frac {E(k)}{k\left(1-k^{2}\right)}}-{\frac {K(k)}{k}}.}
連分数 連分数展開は次のようになります。 [ 7 ] K （ k ） 2 π = − 1 4 + ∑ n = 0 ∞ q n 1 + q 2 n = − 1 4 + 1 1 − q + （ 1 − q ） 2 1 − q 3 + q （ 1 − q 2 ） 2 1 − q 5 + q 2 （ 1 − q 3 ） 2 1 − q 7 + q 3 （ 1 − q 4 ） 2 1 − q 9 + ⋯ 、 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {K(k)}{2\pi }}&=-{\frac {1}{4}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1+q^{2n}}}\\&=-{\frac {1}{4}}+{\cfrac {1}{1-q+{\cfrac {\left(1-q\right)^{2}}{1-q^{3}+{\cfrac {q\left(1-q^{2}\right)^{2}}{1-q^{5}+{\cfrac {q^{2}\left(1-q^{3}\right)^{2}}{1-q^{7}+{\cfrac {q^{3}\left(1-q^{4}\right)^{2}}{1-q^{9}+\cdots }}}}}}}}}},\end{aligned}}} ノーム は どこにあるのかq = q （ k ） = exp [ − π K ′ （ k ） / K （ k ） ] {\displaystyle q=q(k)=\exp[-\pi K'(k)/K(k)]}
周期比を反転させる ここでは、パラメータ を持つ第1種完全楕円積分を使用する。m {\displaystyle m} K [ m ] = ∫ 0 π / 2 d θ 1 − m 罪 2 θ {\displaystyle K[m]=\int _{0}^{\pi /2}{\dfrac {d\theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}} θ 2 （ τ ） = 2 e π 私 τ / 4 ∑ n = 0 ∞ q n （ n + 1 ） 、 q = e π 私 τ 、 私は τ > 0 、 {\displaystyle \theta _{2}(\tau )=2e^{\pi i\tau /4}\sum _{n=0}^{\infty }q^{n(n+1)},\quad q=e^{\pi i\tau },\,\operatorname {Im} \tau >0,} θ 3 （ τ ） = 1 + 2 ∑ n = 1 ∞ q n 2 、 q = e π 私 τ 、 私は τ > 0 {\displaystyle \theta _{3}(\tau )=1+2\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}},\quad q=e^{\pi i\tau },\,\operatorname {Im} \tau >0} シータ関数 とする。
方程式 τ = 私 K [ 1 − m ] K [ m ] {\displaystyle \tau =i{\frac {K[1-m]}{K[m]}}} m {\displaystyle m} m = θ 2 （ τ ） 4 θ 3 （ τ ） 4 {\displaystyle m={\frac {\theta _{2}(\tau )^{4}}{\theta _{3}(\tau )^{4}}}} モジュラーラムダ関数 です。
計算の目的で、誤差解析は[ 8 ]で与えられる。 | e − π 私 τ / 4 θ 2 （ τ ） − 2 ∑ n = 0 N − 1 q n （ n + 1 ） | ≤ { 2 | q | N （ N + 1 ） 1 − | q | 2 N + 1 、 | q | 2 N + 1 < 1 ∞ 、 さもないと {\displaystyle \left|{e}^{-\pi i\tau /4}\theta _{2}\!\left(\tau \right)-2\sum _{n=0}^{N-1}{q}^{n\left(n+1\right)}\right|\leq {\begin{cases}{\frac {2{\left|q\right|}^{N\left(N+1\right)}}{1-\left|q\right|^{2N+1}}},&\left|q\right|^{2N+1}<1\\\infty ,&{\text{otherwise}}\\\end{cases}}\;} | θ 3 （ τ ） − （ 1 + 2 ∑ n = 1 N − 1 q n 2 ） | ≤ { 2 | q | N 2 1 − | q | 2 N + 1 、 | q | 2 N + 1 < 1 ∞ 、 さもないと {\displaystyle \left|\theta _{3}\!\left(\tau \right)-\left(1+2\sum _{n=1}^{N-1}{q}^{n^{2}}\right)\right|\leq {\begin{cases}{\frac {2{\left|q\right|}^{N^{2}}}{1-\left|q\right|^{2N+1}}},&\left|q\right|^{2N+1}<1\\\infty ,&{\text{otherwise}}\\\end{cases}}\;} N ∈ Z ≥ 1 {\displaystyle N\in \mathbb {Z} _{\geq 1}} 私は τ > 0 {\displaystyle \operatorname {Im} \tau >0}
また K [ m ] = π 2 θ 3 （ τ ） 2 、 τ = 私 K [ 1 − m ] K [ m ] {\displaystyle K[m]={\frac {\pi }{2}}\theta _{3}(\tau )^{2},\quad \tau =i{\frac {K[1-m]}{K[m]}}} m ∈ C ∖ { 0 、 1 } {\displaystyle m\in \mathbb {C} \setminus \{0,1\}}
第二種完全楕円積分 第2種完全楕円積分E ( k )のグラフ 第2種完全楕円積分 Eは
E （ k ） = ∫ 0 π 2 1 − k 2 罪 2 θ d θ = ∫ 0 1 1 − k 2 t 2 1 − t 2 d t 、 {\displaystyle E(k)=\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,d\theta =\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,dt,}
または、より簡潔に第二種不完全積分E ( φ , k )
E （ k ） = E （ π 2 、 k ） = E （ 1 ; k ） 。 {\displaystyle E(k)=E\left({\tfrac {\pi }{2}},k\right)=E(1;k).}
長半径a b e = √ 1 − b 2 / a 2 E ( e )a を単位とした楕円の円周 C
C = 4 1 E （ e ） 。 {\displaystyle C=4aE(e).}
第2種の完全楕円積分はべき級数として表すことができる [ 9 ]
E （ k ） = π 2 ∑ n = 0 ∞ （ （ 2 n ） ! 2 2 n （ n ! ） 2 ） 2 k 2 n 1 − 2 n 、 {\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}\left(n!\right)^{2}}}\right)^{2}{\frac {k^{2n}}{1-2n}},}
これは以下と同等です
E （ k ） = π 2 （ 1 − （ 1 2 ） 2 k 2 1 − （ 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ） 2 k 4 3 − ⋯ − （ （ 2 n − 1 ） ! ! （ 2 n ） ! ! ） 2 k 2 n 2 n − 1 − ⋯ ） 。 {\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\left(1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}{\frac {k^{2}}{1}}-\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}{\frac {k^{4}}{3}}-\cdots -\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}{\frac {k^{2n}}{2n-1}}-\cdots \right).}
ガウス超幾何関数 に関して言えば、第2種完全楕円積分は次のように表される。
E （ k ） = π 2 2 F 1 （ 1 2 、 − 1 2 ; 1 ; k 2 ） 。 {\displaystyle E(k)={\tfrac {\pi }{2}}\,{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right).}
絶対値は次のように変換できます。 E （ k ） = （ 1 + 1 − k 2 ） E （ 1 − 1 − k 2 1 + 1 − k 2 ） − 1 − k 2 K （ k ） {\displaystyle E(k)=\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)\,E\left({\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right)-{\sqrt {1-k^{2}}}\,K(k)}
計算 第１種の積分と同様に、第２種の完全楕円積分も算術幾何平均 を用いて非常に効率的に計算できる。
数列a n とg n を定義する。ただし、a 0 = 1g 0 = √ 1 − k 2 k ′ a n + 1 a n + g n / 2 g n + 1√ a n g n c n = | 1 n 2 − g n 2 | 。 {\displaystyle c_{n}={\sqrt {\left|a_{n}^{2}-g_{n}^{2}\right|}}.}
定義により、
1 ∞ = リム n → ∞ 1 n = リム n → ∞ g n = 年次総会 （ 1 、 1 − k 2 ） 。 {\displaystyle a_{\infty }=\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }g_{n}=\operatorname {agm} \left(1,{\sqrt {1-k^{2}}}\right).}
また
リム n → ∞ c n = 0. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }c_{n}=0.}
それから
E （ k ） = π 2 1 ∞ （ 1 − ∑ n = 0 ∞ 2 n − 1 c n 2 ） 。 {\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2a_{\infty }}}\left(1-\sum _{n=0}^{\infty }2^{n-1}c_{n}^{2}\right).}
実際には、算術平均と幾何平均は、ある極限まで単純に計算されます。この式は、| k | ≤ 1のすべての場合において二次的に収束します。計算をさらに高速化するために、 c n + 1 c n 2 / 4 a n + 1
さらに、k 2 = λ ( i √ r r ∈ Q + {\displaystyle r\in \mathbb {Q} ^{+}} λ はモジュラーラムダ関数 である）ならば、E ( k )K （ k ） = π 2 年次総会 （ 1 、 1 − k 2 ） {\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2\operatorname {agm} \left(1,{\sqrt {1-k^{2}}}\right)}}} r = 1r = 3r = 7[ 10 ]
E （ 1 2 ） = 1 2 K （ 1 2 ） + π 4 K （ 1 2 ） 、 {\displaystyle E{\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}={\frac {1}{2}}K{\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}+{\frac {\pi }{4K{\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}}},}
そして
E （ 3 − 1 2 2 ） = 3 + 3 6 K （ 3 − 1 2 2 ） + π 3 12 K （ 3 − 1 2 2 ） 、 {\displaystyle E{\left({\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\right)}={\frac {3+{\sqrt {3}}}{6}}K{\left({\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\right)}+{\frac {\pi {\sqrt {3}}}{12K{\left({\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\right)}}},}
そして
E （ 3 − 7 4 2 ） = 7 + 2 7 14 K （ 3 − 7 4 2 ） + π 7 28 K （ 3 − 7 4 2 ） 。 {\displaystyle E\left({\frac {3-{\sqrt {7}}}{4{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {7+2{\sqrt {7}}}{14}}K\left({\frac {3-{\sqrt {7}}}{4{\sqrt {2}}}}\right)+{\frac {\pi {\sqrt {7}}}{28K\left({\frac {3-{\sqrt {7}}}{4{\sqrt {2}}}}\right)}}.}
導関数と微分方程式 d E （ k ） d k = E （ k ） − K （ k ） k {\displaystyle {\frac {dE(k)}{dk}}={\frac {E(k)-K(k)}{k}}} （ k 2 − 1 ） d d k （ k d E （ k ） d k ） = k E （ k ） {\displaystyle \left(k^{2}-1\right){\frac {d}{dk}}\left(k\;{\frac {dE(k)}{dk}}\right)=kE(k)}
この方程式の 2 番目の解はE ( √ 1 − k 2 K ( √ 1 − k 2
第三種完全楕円積分 n のいくつかの固定値に対する、第 3 種完全楕円積分Π( n , k )のグラフ 第三種完全楕円積分 Πは 次のように定義できる。
Π （ n 、 k ） = ∫ 0 π 2 d θ （ 1 − n 罪 2 θ ） 1 − k 2 罪 2 θ 。 {\displaystyle \Pi (n,k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\left(1-n\sin ^{2}\theta \right){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}.}
第三種楕円積分は、特性 n Π ′ （ n 、 k ） = ∫ 0 π 2 d θ （ 1 + n 罪 2 θ ） 1 − k 2 罪 2 θ 。 {\displaystyle \Pi '(n,k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\left(1+n\sin ^{2}\theta \right){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}.}
第1種および第2種の完全楕円積分と同様に、第3種の完全楕円積分も算術幾何平均を用いて非常に効率的に計算できる。
偏微分 ∂ Π （ n 、 k ） ∂ n = 1 2 （ k 2 − n ） （ n − 1 ） （ E （ k ） + 1 n （ k 2 − n ） K （ k ） + 1 n （ n 2 − k 2 ） Π （ n 、 k ） ） ∂ Π （ n 、 k ） ∂ k = k n − k 2 （ E （ k ） k 2 − 1 + Π （ n 、 k ） ） {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \Pi (n,k)}{\partial n}}&={\frac {1}{2\left(k^{2}-n\right)(n-1)}}\left(E(k)+{\frac {1}{n}}\left(k^{2}-n\right)K(k)+{\frac {1}{n}}\left(n^{2}-k^{2}\right)\Pi (n,k)\right)\\[8pt]{\frac {\partial \Pi (n,k)}{\partial k}}&={\frac {k}{n-k^{2}}}\left({\frac {E(k)}{k^{2}-1}}+\Pi (n,k)\right)\end{aligned}}}
ルジャンドル関係 またはルジャンドル恒等式は 、楕円モジュラスの積分 K と E およびその反関連対応物[ 11 ] [ 12 ] の関係を2次積分方程式 で示します。
互いにピタゴラス的に対応する2つのモジュールについては、次の関係が成り立ちます。
K （ ε ） E （ 1 − ε 2 ） + E （ ε ） K （ 1 − ε 2 ） − K （ ε ） K （ 1 − ε 2 ） = π 2 {\displaystyle K(\varepsilon )E{\left({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\right)}+E(\varepsilon )K{\left({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\right)}-K(\varepsilon )K{\left({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\right)}={\frac {\pi }{2}}}
例えば： K （ 3 5 ） E （ 4 5 ） + E （ 3 5 ） K （ 4 5 ） − K （ 3 5 ） K （ 4 5 ） = 1 2 π {\displaystyle K({\color {blueviolet}{\tfrac {3}{5}}})E({\color {blue}{\tfrac {4}{5}}})+E({\color {blueviolet}{\tfrac {3}{5}}})K({\color {blue}{\tfrac {4}{5}}})-K({\color {blueviolet}{\tfrac {3}{5}}})K({\color {blue}{\tfrac {4}{5}}})={\tfrac {1}{2}}\pi }
また、互いに接線的な対応関係にある2つのモジュールについては、以下の関係が成り立ちます。
（ 1 + ε ） K （ ε ） E （ 1 − ε 1 + ε ） + 2 1 + ε E （ ε ） K （ 1 − ε 1 + ε ） − 2 K （ ε ） K （ 1 − ε 1 + ε ） = 1 2 π {\displaystyle (1+\varepsilon )K(\varepsilon )E({\tfrac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }})+{\tfrac {2}{1+\varepsilon }}E(\varepsilon )K({\tfrac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }})-2K(\varepsilon )K({\tfrac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }})={\tfrac {1}{2}}\pi }
例えば： 4 3 K （ 1 3 ） E （ 1 2 ） + 3 2 E （ 1 3 ） K （ 1 2 ） − 2 K （ 1 3 ） K （ 1 2 ） = 1 2 π {\displaystyle {\tfrac {4}{3}}K({\color {blue}{\tfrac {1}{3}}})E({\color {green}{\tfrac {1}{2}}})+{\tfrac {3}{2}}E({\color {blue}{\tfrac {1}{3}}})K({\color {green}{\tfrac {1}{2}}})-2K({\color {blue}{\tfrac {1}{3}}})K({\color {green}{\tfrac {1}{2}}})={\tfrac {1}{2}}\pi }
接線モジュラー対応に関するルジャンドル関係は、ピタゴラスの対応モジュラスに対するランデンモジュラー変換 を用いることにより、ピタゴラスモジュラー対応に関するルジャンドル恒等式から直接導かれる。
レムニスカトの場合の特別な識別情報 レムニスカティックの場合、楕円係数または特定の離心率εは、 2の平方根 の半分に等しくなります。レムニスカティックの場合のルジャンドルの恒等式は、次のように証明できます。
連鎖律 によれば、以下の導関数が成り立つ。
d d y K （ 1 2 ） − F [ アルコス （ x y ） ; 1 2 ] = 2 x 1 − x 4 y 4 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\,K{\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}-F\left[\arccos(xy);{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right]={\frac {{\sqrt {2}}\,x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}} d d y 2 E （ 1 2 ） − K （ 1 2 ） − 2 E [ アルコス （ x y ） ; 1 2 ] + F [ アルコス （ x y ） ; 1 2 ] = 2 x 3 y 2 1 − x 4 y 4 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\,2E{\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}-K{\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}-2E\left[\arccos(xy);{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right]+F\left[\arccos(xy);{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right]={\frac {{\sqrt {2}}\,x^{3}y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}}
微積分学の基本定理 を用いることで、以下の公式を導き出すことができる。
K （ 1 2 ） − F （ アルコス （ x ） ; 1 2 ） = ∫ 0 1 2 x 1 − x 4 y 4 d y {\displaystyle K{\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}-F{\left(\arccos(x);{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}=\int _{0}^{1}{\frac {{\sqrt {2}}\,x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\,\mathrm {d} y} 2 E （ 1 2 ） − K （ 1 2 ） − 2 E （ アルコス （ x ） ; 1 2 ） + F （ アルコス （ x ） ; 1 2 ） = ∫ 0 1 2 x 3 y 2 1 − x 4 y 4 d y {\displaystyle 2E{\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}-K{\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}-2E{\left(\arccos(x);{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}+F{\left(\arccos(x);{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}=\int _{0}^{1}{\frac {{\sqrt {2}}\,x^{3}y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\,\mathrm {d} y}
先に述べた2つの積分の線形結合により、次の式が得られます。
2 1 − x 4 { 2 E （ 1 2 ） − K （ 1 2 ） − 2 E [ アルコス （ x ） ; 1 2 ] + F [ アルコス （ x ） ; 1 2 ] } + {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\left\{2E\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)-K\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)-2E\left[\arccos(x);{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right]+F\left[\arccos(x);{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right]\right\}\,+} + 2 x 2 1 − x 4 { K （ 1 2 ） − F [ アルコス （ x ） ; 1 2 ] } = ∫ 0 1 2 x 3 （ y 2 + 1 ） （ 1 − x 4 ） （ 1 − x 4 y 4 ） d y {\displaystyle +\,{\frac {{\sqrt {2}}\,x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\left\{K\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)-F\left[\arccos(x);{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right]\right\}=\int _{0}^{1}{\frac {2\,x^{3}(y^{2}+1)}{\sqrt {(1-x^{4})(1-x^{4}\,y^{4})}}}\,\mathrm {d} y}
積の法則 を用いて、今示した関数からxに関する元の原始関数を求めると、次の式が得られます。
[ K （ 1 2 ） − F （ アルコス （ x ） ; 1 2 ） ] [ 2 E （ 1 2 ） − K （ 1 2 ） − 2 E （ アルコス （ x ） ; 1 2 ） + F （ アルコス （ x ） ; 1 2 ） ] = ∫ 0 1 1 y 2 （ y 2 + 1 ） [ アルタン （ y 2 ） − アルタン （ 1 − x 4 y 2 1 − x 4 y 4 ） ] d y {\displaystyle {\begin{aligned}&\left[K{\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}-F{\left(\arccos(x);{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}\right]\left[2E{\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}-K{\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}-2E{\left(\arccos(x);{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}+F{\left(\arccos(x);{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}\right]\\[1ex]&=\int _{0}^{1}{\frac {1}{y^{2}}}(y^{2}+1)\left[{\text{artanh}}(y^{2})-{\text{artanh}}\left({\frac {{\sqrt {1-x^{4}}}\,y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\right)\right]\mathrm {d} y\end{aligned}}}
値がx = 1 {\displaystyle x=1}
K （ 1 2 ） [ 2 E （ 1 2 ） − K （ 1 2 ） ] = ∫ 0 1 1 y 2 （ y 2 + 1 ） アルタン （ y 2 ） d y = [ 2 アークタン （ y ） − 1 y （ 1 − y 2 ） アルタン （ y 2 ） ] y = 0 y = 1 = 2 アークタン （ 1 ） = π 2 {\displaystyle {\begin{aligned}K{\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}\left[2\,E\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)-K\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)\right]&=\int _{0}^{1}{\frac {1}{y^{2}}}(y^{2}+1)\,{\text{artanh}}(y^{2})\,\mathrm {d} y\\&=\left[2\arctan(y)-{\frac {1}{y}}(1-y^{2})\,{\text{artanh}}(y^{2})\right]_{y=0}^{y=1}\\&=2\arctan(1)={\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}}
ルジャンドルの恒等式から抜粋したレムニスカト記号は、次のように表されます。
2 E （ 1 2 ） K （ 1 2 ） − K （ 1 2 ） 2 = π 2 {\displaystyle 2E\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)K\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)-K\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)^{2}={\frac {\pi }{2}}}
全体的なケースへの一般化 次に、モジュラー一般ケース[ 13 ] [ 14 ] ε {\displaystyle \varepsilon }
円関数 の導関数は、同一の写像関数 と円関数の逆数の負の積であるため、次のようになります。
d d ε 1 − ε 2 = − ε 1 − ε 2 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}=-\,{\frac {\varepsilon }{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}}
以下は、この記事の上記のセクションに示されているKとEの導関数です。
d d ε K （ ε ） = 1 ε （ 1 − ε 2 ） [ E （ ε ） − （ 1 − ε 2 ） K （ ε ） ] {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}\left[E(\varepsilon )-(1-\varepsilon ^{2})K(\varepsilon )\right]} d d ε E （ ε ） = − 1 ε [ K （ ε ） − E （ ε ） ] {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E(\varepsilon )=-\,{\frac {1}{\varepsilon }}\left[K(\varepsilon )-E(\varepsilon )\right]}
円関数の導関数と組み合わせると、これらの導関数は有効になります。
d d ε K （ 1 − ε 2 ） = 1 ε （ 1 − ε 2 ） [ ε 2 K （ 1 − ε 2 ） − E （ 1 − ε 2 ） ] {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}\left[\varepsilon ^{2}K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})\right]} d d ε E （ 1 − ε 2 ） = ε 1 − ε 2 [ K （ 1 − ε 2 ） − E （ 1 − ε 2 ） ] {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {\varepsilon }{1-\varepsilon ^{2}}}\left[K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})\right]}
ルジャンドルの恒等式には、任意の2つの完全楕円積分の積が含まれます。ルジャンドルの恒等式の式スケールから関数の辺を導出するために、積の法則を 以下のように適用します。
d d ε K （ ε ） E （ 1 − ε 2 ） = 1 ε （ 1 − ε 2 ） [ E （ ε ） E （ 1 − ε 2 ） − K （ ε ） E （ 1 − ε 2 ） + ε 2 K （ ε ） K （ 1 − ε 2 ） ] {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}\left[E(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+\varepsilon ^{2}K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})\right]} d d ε E （ ε ） K （ 1 − ε 2 ） = 1 ε （ 1 − ε 2 ） [ − E （ ε ） E （ 1 − ε 2 ） + E （ ε ） K （ 1 − ε 2 ） − （ 1 − ε 2 ） K （ ε ） K （ 1 − ε 2 ） ] {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}\left[-E(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-(1-\varepsilon ^{2})K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})\right]} d d ε K （ ε ） K （ 1 − ε 2 ） = 1 ε （ 1 − ε 2 ） [ E （ ε ） K （ 1 − ε 2 ） − K （ ε ） E （ 1 − ε 2 ） − （ 1 − 2 ε 2 ） K （ ε ） K （ 1 − ε 2 ） ] {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}\left[E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-(1-2\varepsilon ^{2})K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})\right]}
これら3つの式のうち、上2つの式を足し合わせ、下1つの式を引くと、次の結果が得られます。
d d ε [ K （ ε ） E （ 1 − ε 2 ） + E （ ε ） K （ 1 − ε 2 ） − K （ ε ） K （ 1 − ε 2 ） ] = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\left[K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})\right]=0}
に関連してε {\displaystyle \varepsilon }
以前に決定された結果は、ルジャンドル方程式と組み合わせて絶対値を求めるものとする。ε = 1 / 2 {\displaystyle \varepsilon =1/{\sqrt {2}}}
2 E （ 1 2 ） K （ 1 2 ） − K （ 1 2 ） 2 = π 2 {\displaystyle 2E\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)K\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)-K\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)^{2}={\frac {\pi }{2}}}
最後の2つの式を組み合わせると、次の結果が得られます。
K （ ε ） E （ 1 − ε 2 ） + E （ ε ） K （ 1 − ε 2 ） − K （ ε ） K （ 1 − ε 2 ） = 1 2 π {\displaystyle K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\tfrac {1}{2}}\pi }
連続関数 の導関数が常にゼロの値をとる場合、その関数は定数関数 である。つまり、この関数はどの横軸の値に対しても同じ関数値をとるということである。ε {\displaystyle \varepsilon }
参考文献
参考文献 ↑ ボルウェイン、ジョナサン M.、ボルウェイン、ピーター B. (1987).円周率と AGM: 解析的数論と計算複雑性に関する研究 (初版 ). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7 。 ↑ ボルウェイン、ジョナサン M.、ボルウェイン、ピーター B. (1987). 円周率と AGM: 解析的数論と計算複雑性に関する研究 (初版 ). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7 。↑ Chowla, S.; Selberg, A. (1949). "On Epstein's Zeta Function (I)" . Proceedings of the National Academy of Sciences . 35 (7): 373. Bibcode : 1949PNAS...35..371C . doi : 10.1073/PNAS.35.7.371 . PMC 1063041 . PMID 16588908 . S2CID 45071481 . ↑ チョウラ、S.セルバーグ、A. (1967)。 「エプスタインのゼータ関数について」 。 Reine und Angewandte Mathematik に関するジャーナル 。 227 : 86-110 . ↑ 「ルジャンドル楕円積分（項目175b7a）」 。 ↑ N.Bagis、L.Glasser（2015）「ラマヌジャンの連分数の評価」Rend.Sem.Mat.Univ.Padova、第133巻、1-10ページ ↑ 「ヤコビのシータ関数の近似」 。 数学関数グリモワール 。フレドリック・ヨハンソン。 2024年 8月29日 取得 。 ↑ 「第2種完全楕円積分：級数表現（式08.01.06.0002） 」 ↑ ボルウェイン、ジョナサン M.、ボルウェイン、ピーター B. (1987). 円周率と AGM: 解析的数論と計算複雑性に関する研究 (初版 ). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7 。↑ 「Legendre-Relation」 （ドイツ語） 。 2022年11月29日 取得 。 ↑ 「Legendre Relation」 。 2022年11月29日 取得 。 ↑ 「積分 - 楕円曲線に対するルジャンドル関係の証明」 。 2023年2月10日 取得 。 ↑ インターネットアーカイブ（1991年）、 『ポール・ハルモス、数学50周年記念』 、ニューヨーク ：シュプリンガー・フェルラーク、 ISBN 0-387-97509-8 2023年2月10日 取得
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外部リンク 「楕円積分」、数学百科事典 エリック・W・ワイススタイン著「楕円積分」（Mathworld） 楕円積分を楕円プロジェクトで評価するためのMATLABコード 完全楕円積分に対する有理近似（エクストロム研究所） 楕円積分加法定理の簡単な歴史
![{\displaystyle F\left[\arctan(x),k\right]+F\left[\arctan(y),k\right]=F\left[\arctan \left({\frac {x{\sqrt {k'^{2}y^{2}+1}}}{\sqrt {y^{2}+1}}}\right)+\arctan \left({\frac {y{\sqrt {k'^{2}x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right),k\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d68ce0bcdd725368fe99a9c51f3ed08578aff79)
![{\displaystyle F\left[\arcsin(x),k\right]={\frac {2}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}F{\left[\arcsin \left({\frac {\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)x}{1+{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}\right),{\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73e565c98c1b55380abe34c43f59da86ae2bc349)
![{\displaystyle {\begin{aligned}E{\left(\operatorname {sn} (u;k);k\right)}=\int _{0}^{u}\operatorname {dn} ^{2}(w;k)\,dw&=uk^{2}\int _{0}^{u}\operatorname {sn} ^{2}(w;k)\,dw\\[1ex]&=\left(1-k^{2}\right)u+k^{2}\int _{0}^{u}\operatorname {cn} ^{2}(w;k)\,dw.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3daa5ea5ba73b833fb145588e70b71f71415c222)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&E{\left[\arctan(x),k\right]}+E{\left[\arctan(y),k\right]}\\[1ex]&\quad =E{\left[\arctan \left({\frac {x{\sqrt {k'^{2}y^{2}+1}}}{\sqrt {y^{2}+1}}}\right)+\arctan \left({\frac {y{\sqrt {k'^{2}x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right),k\right]}\\[1ex]&\qquad +{\frac {k^{2}xy}{k'^{2}x^{2}y^{2}+x^{2}+y^{2}+1}}\left({\frac {x{\sqrt {k'^{2}y^{2}+1}}}{\sqrt {y^{2}+1}}}+{\frac {y{\sqrt {k'^{2}x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f48c48c885161bdeff68e107ba1a450263c9143b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}E{\left[\arcsin(x),k\right]}&=\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)E{\left[\arcsin \left({\frac {\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)x}{1+{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}\right),{\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right]}\\[.5ex]&\quad -{\sqrt {1-k^{2}}}F{\left[\arcsin(x),k\right]}+{\frac {k^{2}x{\sqrt {1-x^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ab1e825380f6de03abc6d12a96c936d580b1598)
![{\displaystyle {\begin{aligned}K(k)&={\frac {\pi }{2\operatorname {agm} \left(1,{\sqrt {1-k^{2}}}\right)}}\\[4pt]&={\frac {\pi }{2\operatorname {agm} \left({\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {1-k^{2}}}{2}},{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}\right)}}\\[4pt]&={\frac {\pi }{\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)\operatorname {agm} \left(1,{\frac {2{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right)}}\\[4pt]&={\frac {2}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}K{\left({\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right)}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3393251de70dcdf875c2c2bc6cc69e0585aca275)
![{\displaystyle K(k)=n\left[\sum _{a=1}^{n}\operatorname {dn} \left({\frac {2a}{n}}K(k);k\right)\right]^{-1}K\left[k^{n}\prod _{a=1}^{n}\operatorname {sn} \left({\frac {2a-1}{n}}K(k);k\right)^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69e4dd3df58277155b3c0a3a472621affaaedad5)
![{\displaystyle K{\left({\sqrt {2}}-1\right)}={\frac {\Gamma {\left({\frac {1}{8}}\right)}\Gamma {\left({\frac {3}{8}}\right)}{\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}}{8{\sqrt[{4}]{2}}{\sqrt {\pi }}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91f176e28d468f16711fec93577ce73f0faf9067)
![{\displaystyle K\left({\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{8\pi }}{\sqrt[{4}]{3}}\,{\sqrt[{3}]{4}}\,\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cdc54c871cdc407cf43b6eeeef21ab5b37f9f91)
![${\displaystyle K\left({\frac {3-{\sqrt {7}}}{4{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{7}}\right)\Gamma \left({\frac {2}{7}}\right)\Gamma \left({\frac {4}{7}}\right)}{4{\sqrt[{4}]{7}}\pi }}.}$](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71967f390fee21bad3fb4f6a4422fb095cd6c06d)
![{\displaystyle K{\left(e^{5\pi i/6}\right)}={\frac {e^{-\pi i/12}\Gamma ^{3}{\left({\frac {1}{3}}\right)}{\sqrt[{4}]{3}}}{4{\sqrt[{3}]{2}}\pi }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c5364cf13dea29caa50ea9a9ff88ae410c78c23)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{2}}{\sqrt {\pi }}}&=4\,K\left({\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)\\[1ex]{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{6}}\right)^{3}}{\sqrt {\pi }}}&=2^{11/3}\cdot 3\cdot K\left({\tfrac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\right)^{2}\\[1ex]{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{8}}\right)^{4}}{\sqrt {\pi }}}&=2^{17/2}\,K\left({\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)\,K\left({\sqrt {2}}-1\right)^{2}\\[1ex]{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{12}}\right)^{6}}{\sqrt {\pi }}}&=2^{55/6}\,3^{7/4}\,({\sqrt {3}}+1)^{3}\,K\left({\tfrac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\right)^{2}\,K\left({\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)^{3}\\[1ex]{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{24}}\right)^{12}}{\sqrt {\pi }}}&=2^{89/3}3^{25/4}({\sqrt {2}}+1)^{6}({\sqrt {3}}-1)^{3}K\!\left({\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)^{3}K\!\left({\tfrac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\right)^{4}K\!\left((2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})\right)^{6}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9ea00a24aa32fd74e0f8faa65e916d85ef9e0d0)
![{\displaystyle q=q(k)=\exp[-\pi K'(k)/K(k)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb86726110efea04f613a63fbdb98f397fa30d15)
![{\displaystyle K[m]=\int _{0}^{\pi /2}{\dfrac {d\theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3007fef4e342b267f123e7b3e8a9c93f119d8a5)
![{\displaystyle \tau =i{\frac {K[1-m]}{K[m]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e80a5226937cb73c0699926d4cfa3e10d4aca09d)
![{\displaystyle K[m]={\frac {\pi }{2}}\theta _{3}(\tau )^{2},\quad \tau =i{\frac {K[1-m]}{K[m]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee3b2fe5e7899ee67a5c9f8d6364a9c7cb92b9d2)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \Pi (n,k)}{\partial n}}&={\frac {1}{2\left(k^{2}-n\right)(n-1)}}\left(E(k)+{\frac {1}{n}}\left(k^{2}-n\right)K(k)+{\frac {1}{n}}\left(n^{2}-k^{2}\right)\Pi (n,k)\right)\\[8pt]{\frac {\partial \Pi (n,k)}{\partial k}}&={\frac {k}{nk^{2}}}\left({\frac {E(k)}{k^{2}-1}}+\Pi (n,k)\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ebce786ea35739a3664eb489c14c514a1c4d602)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\,K{\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}-F\left[\arccos(xy);{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right]={\frac {{\sqrt {2}}\,x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35e03fa276750e1a9ae1b8962603d7ef7e31f8c2)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\,2E{\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}-K{\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}-2E\left[\arccos(xy);{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right]+F\left[\arccos(xy);{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right]={\frac {{\sqrt {2}}\,x^{3}y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5ee2f96f16b148e29bf8d183d1db6afb7e8fd07)
![{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\left\{2E\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)-K\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)-2E\left[\arccos(x);{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right]+F\left[\arccos(x);{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right]\right\}\,+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ee51cfc681ee24fdccca199f2f84dba2b0d164a)
![{\displaystyle +\,{\frac {{\sqrt {2}}\,x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\left\{K\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)-F\left[\arccos(x);{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right]\right\}=\int _{0}^{1}{\frac {2\,x^{3}(y^{2}+1)}{\sqrt {(1-x^{4})(1-x^{4}\,y^{4})}}}\,\mathrm {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/122101fc6d42a8495b1fd0544e8f052508c132bc)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left[K{\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}-F{\left(\arccos(x);{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}\right]\left[2E{\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}-K{\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}-2E{\left(\arccos(x);{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}+F{\left(\arccos(x);{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}\right]\\[1ex]&=\int _{0}^{1}{\frac {1}{y^{2}}}(y^{2}+1)\left[{\text{artanh}}(y^{2})-{\text{artanh}}\left({\frac {{\sqrt {1-x^{4}}}\,y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\right)\right]\mathrm {d} y\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdaa113c7fee0a9a853deb80f84e6ca34fc43f26)
![{\displaystyle {\begin{aligned}K{\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}\left[2\,E\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)-K\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)\right]&=\int _{0}^{1}{\frac {1}{y^{2}}}(y^{2}+1)\,{\text{artanh}}(y^{2})\,\mathrm {d} y\\&=\left[2\arctan(y)-{\frac {1}{y}}(1-y^{2})\,{\text{artanh}}(y^{2})\right]_{y=0}^{y=1}\\&=2\arctan(1)={\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bf0d02597f6897ca78ca444b1e5459ceb6f2da2)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}\left[E(\varepsilon )-(1-\varepsilon ^{2})K(\varepsilon )\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e54721cced8e67b70ddb54c43936c1633518f94)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E(\varepsilon )=-\,{\frac {1}{\varepsilon }}\left[K(\varepsilon )-E(\varepsilon )\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49aaee439564c5611dbb1087e796ffd40d180dc5)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}\left[\varepsilon ^{2}K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/660cfe4854f92e57aa64a72909aa19952d6b7084)
![${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {\varepsilon }{1-\varepsilon ^{2}}}\left[K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})\right]}$](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4b38dc3fe999fc068c2c4cb7f2e1ced723aa5ce)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}\left[E(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+\varepsilon ^{2}K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5451c24439edea8beba37722154a498f676dc861)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}\left[-E(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-(1-\varepsilon ^{2})K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd7f2ba3e34d277e9026c2f3ee1435e49eea7564)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}\left[E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-(1-2\varepsilon ^{2})K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b59e33ec27338512cea837e6542b2d4ab57bf213)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\left[K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\バレプシロン ^{2}}})\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18be2490f7bded7882eb33b27f9e341a2b54afdd)
