大楕円

大楕円は、回転楕円体上の2点を通り、回転楕円体の中心と同じ中心を持つ楕円である。同様に、回転楕円体の表面上の楕円であり、原点、または回転楕円体の中心を通る平面が回転楕円体と交差することによって形成される曲線 を中心とする。^[1]地球の円周 の約4分の1未満、約 だけ離れている点については、点を結ぶ大楕円の長さは測地線距離に近くなります（500,000分の1以内） 。^{[2] [3] [4]そのため、大楕円は海洋航行に適したルートとして提案されることがあります。大楕円は、}地球断面経路 の特殊なケースです。 ${\displaystyle 10\,000\,\mathrm {km} }$

回転楕円体である球体が、赤道半径と極半軸 を持つと仮定します。扁平率、離心率、第 2 離心率を定義します。 (地理的な)緯度と経度および緯度と経度の2 つの点を考えます。接続する大楕円 ( から)の長さは で、2 つの端点に方位角と があります。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle f=(ab)/a}$${\displaystyle e={\sqrt {f(2-f)}}}$${\displaystyle e'=e/(1-f)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \phi _{1}}$${\displaystyle \lambda_{1}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \phi _{2}}$${\displaystyle \lambda_{2}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle s_{12}}$ ${\displaystyle \alpha _{1}}$${\displaystyle \alpha _{2}}$

大楕円を大円にマッピングして大円航法の方法を使用できる ように、楕円体を半径の球体にマッピングする方法はいくつかあります。${\displaystyle a}$

• 楕円体は回転軸に平行な方向に引き伸ばすことができます。これにより、楕円体上の緯度の点が、緯度（パラメトリック緯度 ）を持つ球面上の点にマッピングされます。${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \beta}$
• 楕円体上の点は、楕円体の中心と結ぶ線に沿って球面上に放射状にマッピングできます。これにより、楕円体上の緯度の点が、緯度（地心緯度 ）を持つ球面上の点にマッピングされます。${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \theta}$
• 楕円体は、極半軸を持つ長楕円体に引き伸ばされ、球面上に放射状にマッピングされます。これにより緯度が保存されます。球面上の緯度は、地理緯度はです。${\displaystyle a^{2}/b}$${\displaystyle \phi}$

最後の方法は、2 つの既知の点とを結ぶ大楕円上に一連のウェイポイントを簡単に生成する方法を提供します。との間の大円を解き、大円上のウェイポイントを見つけます。 これらは、対応する大楕円上のウェイポイントにマップされます。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle (\phi _{1},\lambda _{1})}$${\displaystyle (\phi _{2},\lambda _{2})}$

距離と方位が必要な場合は、最初のマッピングを使用するのが最も簡単です。^[5]マッピングの詳細は次のようになります（この説明は^[6]から引用されています）。

• 楕円体上の地理的緯度は球面上のパラメトリック緯度にマッピングされ、${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \beta}$

  ${\displaystyle a\tan \beta =b\tan \phi .}$

• 経度は変更されません。${\displaystyle \lambda}$
• 楕円体上の方位角は球面上の方位角にマッピングされ、${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \gamma}$

  ${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \alpha &={\frac {\tan \gamma }{\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}\beta }}},\\\ Tan \gamma &={\frac {\tan \alpha }{\sqrt {1+e'^{2}\cos ^{2}\phi }}},\end{aligned}}}$

  との象限は同じです。${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \gamma}$
• 半径の大円上の位置は、赤道を北に横断する地点から測った円弧の長さによってパラメータ化されます。大楕円には半軸とがあり、 は赤道を北に横断する地点の大円方位角、 は楕円上のパラメータ角度です。${\displaystyle a}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a{\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}\gamma _{0}}}}$${\displaystyle \gamma_{0}}$${\displaystyle \sigma}$

(楕円体 上の測地線の解法では、補助球への同様のマッピングが実行されます。違いは、方位角がマッピングで保存されるのに対し、経度は「球状の」経度 にマッピングされることです。距離計算に使用される同等の楕円には、半軸と があります。) ${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle b{\sqrt {1+e'^{2}\cos^{2}\alpha _{0}}}}$${\displaystyle b}$

「逆問題」とは、およびの位置が与えられた場合に、、およびを決定することです。これは、およびを計算し、と間の大円を解くことで解決されます。 ${\displaystyle s_{12}}$${\displaystyle \alpha _{1}}$${\displaystyle \alpha _{2}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \beta _{1}}$${\displaystyle \beta _{2}}$${\displaystyle (\beta _{1},\lambda _{1})}$${\displaystyle (\beta _{2},\lambda _{2})}$

球面方位角は( から) と再ラベル付けされます。したがって、、および は赤道、およびにおける球面方位角です。大楕円の端点の方位角、および は、およびから計算されます。 ${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \gamma_{0}}$${\displaystyle \gamma_{1}}$${\displaystyle \gamma_{2}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \alpha _{1}}$${\displaystyle \alpha _{2}}$${\displaystyle \gamma_{1}}$${\displaystyle \gamma_{2}}$

大楕円の半軸は の値を使用して見つけることができます。 ${\displaystyle \gamma_{0}}$

大円問題の解決の一部として、赤道から および までの弧の長さおよびも決定されます。距離は、パラメトリック緯度 に関して子午線弧を与える公式を使用して、楕円の周囲の長さの一部を計算すると求められます。この公式を適用するには、大楕円の半軸 (子午線の代わりに) を使用し、 をおよびに置き換えます。 ${\displaystyle \sigma_{01}}$${\displaystyle \sigma _{02}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle s_{12}}$${\displaystyle \sigma_{01}}$${\displaystyle \sigma _{02}}$${\displaystyle \beta}$

、、およびの位置を決定する「直接問題」の解も同様に見つけることができます（これには、逆子午線距離の公式も必要です）。これにより、逆問題の解でウェイポイント（たとえば、等間隔の一連の中間点）を見つけることもできます。 ${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \alpha _{1}}$${\displaystyle s_{12}}$

• 地球断面パス
• 大圏航法
• 楕円体上の測地線
• 子午線弧
• 等角線

• 大楕円の直接問題と逆問題の解の Matlab 実装。