偏心異常

偏心率eは次のように定義される。

${\displaystyle e={\sqrt {1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}}}\ .}$

r（距離）を持つ三角形にピタゴラスの定理を適用すると${\displaystyle FP}$斜辺として：

${\displaystyle {\begin{aligned}r^{2}&=b^{2}\sin ^{2}E+(ae-a\cos E)^{2}\\&=a^{2}\left(1-e^{2}\right)\left(1-\cos ^{2}E\right)+a^{2}\left(e^{2}-2e\cos E+\cos ^{2}E\right)\\&=a^{2}-2a^{2}e\cos E+a^{2}e^{2}\cos ^{2}E\\&=a^{2}\left(1-e\cos E\right)^{2}\\\end{aligned}}}$

したがって、半径（焦点から点Pまでの距離）は、次の式によって偏心近点角と関連付けられます。

${\displaystyle r=a\left(1-e\cos {E}\right)\ .}$

この結果から、次に示すように、真近点角から偏心近点角を求めることができる。

真の異常は、ラベル付けされた角度です${\displaystyle \theta }$図では、楕円の焦点に位置する。fまたはνで表されることもある。真近点角と離心近点角の関係は次のとおりである。^{[ 2 ]}

上記のrの公式を用いて、 Eの正弦と余弦をfを用いて表すと次のようになる 。

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos E&={\frac {\,x\,}{a}}={\frac {\,ae+r\cos f\,}{a}}=e+(1-e\cos E)\cos f\\\Rightarrow \cos E&={\frac {\,e+\cos f\,}{1+e\cos f}}\\\sin E&={\sqrt {\,1-\cos ^{2}E\;}}={\frac {\,{\sqrt {\,1-e^{2}\;}}\,\sin f\,}{1+e\cos f}}~.\end{aligned}}}$

したがって、

${\displaystyle \tan E={\frac {\,\sin E\,}{\cos E}}={\frac {\,{\sqrt {\,1-e^{2}\;}}\,\sin f\,}{e+\cos f}}~.}$

ここで、 Eの正しい象限は分子と分母の符号によって与えられるため、E はatan2関数を使用して最も簡単に求めることができます。

したがって、角Eは斜辺を持つ直角三角形の隣接角である。${\displaystyle \;1+e\cos f\;,}$隣接する側${\displaystyle \;e+\cos f\;,}$そして反対側${\displaystyle \;{\sqrt {\,1-e^{2}\;}}\,\sin f\;.}$

また、

${\displaystyle \tan {\frac {\,f\,}{2}}={\sqrt {{\frac {\,1+e\,}{1-e}}\,}}\,\tan {\frac {\,E\,}{2}}}$

代入${\displaystyle \cos E}$上記のように、焦点から点Pまでの半径方向距離rの式に代入すると、真近点角を用いて次のように表すこともできます。^{[ 2 ]}

${\displaystyle r={\frac {a\left(\,1-e^{2}\,\right)}{\,1+e\cos f\,}}={\frac {p}{\,1+e\cos f\,}}\,}$

どこ

${\displaystyle \,p\equiv a\left(\,1-e^{2}\,\right)}$

古典幾何学では、半直角格子と呼ばれる。

偏心近点角Eは、ケプラーの方程式により平均近点角Mと関連付けられます。^{[ 3 ]}

${\displaystyle M=Ee\sin E}$

この方程式は、 Mが与えられた場合のEの閉形式解を持ちません。通常は、ニュートン・ラフソン法などの数値解法によって解かれます。フーリエ級数で表すと次のようになります。

${\displaystyle E=M+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {J_{n}(ne)}{n}}\sin(nM)}$

どこ${\displaystyle J_{n}(x)}$これは第一種ベッセル関数である。