トゥシ夫妻

トゥーシーカップル（トゥーシーのメカニズム^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}とも呼ばれる）は、小さな円が、その直径の2倍の大きな円の内側で回転する数学的な装置である。円の回転により、小さな円の円周上の点が、大きな円の直径に沿って直線運動で往復振動する。トゥーシーカップルは、2つの尖点を持つハイポサイクロイドである。

このペアは、13世紀のペルシャの天文学者で数学者のナスィール・アルディン・アルトゥースィーが1247年に著した『タハリール・アル・マジスティ』 （アルマゲストの注釈）の中で、内惑星の緯度方向の動きに対する解決策として初めて提案され^{[ 4 ]} 、その後、 1000年以上前にプトレマイオスの『アルマゲスト』で導入された等位の代替として広く使用されるようになった^{[ 5 ] [ 6 ]}。

トゥーシによる幾何学的モデルの原文の翻訳には、図に見られるモデルの反転が少なくとも1つ示唆されている。

同一平面上にある2つの円があり、一方の直径が他方の直径の半分に等しい場合、それらが一点で内接しているとします。そして、小さい方の円上に点を取り、それを接点とします。さらに、2つの円が反対方向に単純な運動をし、小さい方の円の運動が大きい方の円の運動の2倍になるように、小さい方の円が大きな円の1回転につき2回転するとします。すると、その点は、最初に接点を通る大きな円の直径上を移動し、両端の間を振動することがわかります。^{[ 8 ]}

代数的に、このモデルは複素数を用いて次のように表現できます。

${\displaystyle \left(1-{\frac {1}{2}}\right)e^{i\theta }-{\frac {1}{2}}e^{-i\theta }=i\,\sin \theta .}$

他の評論家は、トゥーシーの偶力は、内側の円の回転が滑りなし条件を満たし、その接点が固定された外側の円に沿って移動する、転がる曲線として解釈できると指摘している。

「トゥースィーカップル」という用語は、1966年にエドワード・スチュワート・ケネディによって造語された現代の用語である。 ^{[ 9 ]}これは、ニコラウス・コペルニクスの『天球回転論』のモデル、特に水星モデルや震動理論と驚くほど類似した、イスラム後期の天文学装置のいくつかのうちの1つである。歴史家は、コペルニクスまたは他のヨーロッパの著者がアラビア語の天文学文献にアクセスできたと推測しているが、正確な伝承経路はまだ特定されていない。^{[ 10 ]} 16世紀の科学者で旅行家のギヨーム・ポステルが、その伝達者の1人として示唆されている。^{[ 11 ] [ 12 ]}

コペルニクスが数学的天文学の再定式化においてトゥーシーのカップルを使用したことから、彼が何らかの形でこの考えを認識していたという見解が広まりつつある。トゥーシーのカップルの考えは、アラビア語のテキストをラテン語に翻訳することなくヨーロッパに伝わった可能性があるため、写本の痕跡はほとんど残っていないと示唆されている^{[ 13 ] [ 14 ]。}伝承経路の一つとして、ビザンツ科学を経由した可能性が考えられる。グレゴリー・キオニアデスは、アル・トゥーシーの著作の一部をアラビア語からビザンツ・ギリシア語に翻訳した。トゥーシーのカップルを含むビザンツ・ギリシア語の写本がイタリアにいくつか現存している^{[ 15 ]} 。 もう一つの可能​​性は、彼がイタリアで学んでいたときに「曲線の直線化」（セフェル・メヤシェル・アコブ）の写本に出会ったというものである^{[ 16 ] 。}

アル・トゥースィーのモデルは、2 つの円運動から直線運動を得る方法を示しているが、プロクロスの『ユークリッド原論第一巻』の注釈は、逆に、2 つの直線運動から周期運動を得る方法を示している。^{[ 17 ]}ニコル・オレームは、1362 年以前に書かれた『球面に関する質問』の中で、円運動を組み合わせて惑星の周転円の半径に沿った往復直線運動を生み出す方法を説明した。オレームの説明は不明瞭であり、これが独立した発明なのか、それとも理解の不十分なアラビア語のテキストを理解しようとする試みなのかは定かではない。^{[ 18 ]}

トゥーシのカップルは天文学的な文脈で開発されましたが、後の数学者やエンジニアは、後にハイポサイクロイド直線機構と呼ばれるようになった同様のバージョンを開発しました。数学者のジェロラモ・カルダーノは、カルダンの運動（カルダンギアとも呼ばれる）として知られるシステムを設計しました。^{[ 19 ]} 19世紀のエンジニアであるジェームズ・ホワイト^{[ 20 ]} 、マシュー・マレー^{[ 21 ]}、および後の設計者は、ハイポサイクロイド直線機構の実用的な応用を開発しました。

外部リムギアの使用を避ける、実用的で機械的にシンプルな Tusi カップルのバージョンが、直線運動を提供するために 2021 年に John Goodman によって開発されました。^{[ 22 ]} これは 3 つの標準平歯車を使用します。回転する (青色の) アームが中央のシャフトに取り付けられ、そのシャフトに固定 (黄色) のギアが取り付けられています。アーム上の (赤色の) アイドラーギアが固定ギアと噛み合います。3 番目の (緑色の) ギアがアイドラーと噛み合います。3 番目のギアの歯数は固定ギアの半分です。 (橙色の) アームが 3 番目のギアに固定されています。アームの長さが固定ギアと外側ギア間の距離 = d に等しい場合、アームはスロー = 2d の直線を描きます。この設計の利点は、必要なスローを提供しない標準モジュラスギアの場合、アイドラーギアが他の 2 つのギアと共線である必要がないことです。

トゥーシー対の性質の一つは、円周上にない内円上の点が楕円を描くことである。これらの楕円と、古典的なトゥーシー対によって描かれる直線は、ハイポトロコイドの特殊な場合である。^{[ 23 ]}

• 三角筋のカーブ
• 遊星歯車機構
• 幾何旋盤
• ギョーシェ
• マレーのハイポサイクロイドエンジンは、クロスヘッドガイドや平行運動の代わりにトゥシカップルを利用している。
• スピログラフ
• 直線機構

• ディ・ボノ、マリオ（1995）。「コペルニクス、アミコ、フラカストロ、トゥーシの装置：モデルの使用と伝達に関する考察」。天文学史ジャーナル。26 （ 2）：133–154。Bibcode：1995JHA.... 26..133D。doi ： 10.1177 / 002182869502600203。S2CID 118330488。 
• Kennedy, ES (1966). 「中世後期の惑星理論」. Isis . 57 (3): 365–378 . doi : 10.1086/350144 . S2CID 143569912 . 
• クレン、クラウディア (1971)。 「ニコール・オレズメの『デ・スペラ』に登場するナシール・アル・ディーン・アル・リシーの回転装置」。イシス。62 (4): 490–498 .土井: 10.1086/350791。S2CID 144526697。 
• Ragep, FJ「トゥースィー夫婦像の二つのバージョン」、『服従から均衡へ：ESケネディを記念する古代および中世近東の科学史研究集』、デイヴィッド・キングおよびジョージ・サリバ編、ニューヨーク科学アカデミー紀要、500。ニューヨーク科学アカデミー、1987年 。ISBN 0-89766-396-9（ペーパーバック）
• Ragep, FJナスィール・アルディン・アルトゥースィーの「天文学に関する覚書」、数学および物理科学史資料集、12. 2巻。ベルリン／ニューヨーク：シュプリンガー、1993年 。ISBN 3-540-94051-0/ ISBN 0-387-94051-0。

• デニス・W・デューク著『古代惑星モデルアニメーション』には、興味深いリンクが2つ含まれています。
  • トゥシ族のカップルのインタラクティブなシミュレーション
  • 等位を置き換えるアラビアモデル
• ジョージ・サリバ著「ルネサンス期のヨーロッパにおけるアラビア科学は誰の科学か？」では、ナスィール・アルディン・アルトゥースィーのモデルと、アラビア、ギリシャ、ラテンの天文学者たちの交流について論じている。