半径の4倍または(4/3)倍の円を別の円の中に転がすことによって生成される曲線
アステロイド 小惑星のハイポサイクロイド構造。 小惑星 x 2 ⁄ 3 + y 2 ⁄ 3 = r 2 ⁄ 3 は、方程式 ( x ⁄ a ) 2 + ( y ⁄ b ) 2 = r 2 の楕円 族の 共通 エンベロープ です。ただし、 a + b = 1 です。 垂直の壁を滑り降りるはしごのエンベロープ (右上の象限にある色付きの線) とその反射 (他の象限) は小惑星です。中点は円を描き、他の点は前の図と同様に楕円を描きます。SVG ファイルでは、はしごの上にマウスを移動するとハイライト表示されます。 楕円の縮閉線としての小惑星 数学 において 、 アステロイドとは ルーレット曲線 の一種で 、 4つの 尖端を持つ内 サイクロイド の ことである。具体的には、 半径 の4倍の固定円内を円上 を転がる点の 軌跡 である。 [1] 二重生成により、半径の4/3倍の固定円内を円上を転がる点の軌跡でもある。また、 各軸上に端点を保ちながら移動する固定長の線分の 包絡線として定義することもできる。したがって、これは アルキメデスのトランメル における移動棒の 包絡線 である。
その現代名はギリシャ語の「 星 」に由来する。 1838年に ヨゼフ・ヨハン・フォン・リトロウによって「アストロイス」という形で最初に提案された。 [2] [3]この曲線には、 テトラカスピド （現在も使用されている）、 キューボサイクロイド 、 パラサイクル など、さまざまな名前がある 。楕円の閉縮線とほぼ同じ形をしている。
方程式 固定円の半径が a の場合、方程式は [4] で与えられます。
これは、小惑星も 超楕円 であることを意味します。
x
2
/
3
+
ええ
2
/
3
=
1つの
2
/
3
。
{\displaystyle x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}.}
パラメトリック方程式 は
x = 1つの
コス
3
t
=
1つの 4
（
3 コス
（ t ）
+ コス
（
3 t
）
）
、
ええ = 1つの
罪
3
t
=
1つの 4
（
3 罪
（ t ）
− 罪
（
3 t
）
）
。
{\displaystyle {\begin{aligned}x=a\cos ^{3}t&={\frac {a}{4}}\left(3\cos \left(t\right)+\cos \left(3t\right)\right),\\[2ex]y=a\sin ^{3}t&={\frac {a}{4}}\left(3\sin \left(t\right)-\sin \left(3t\right)\right).\end{aligned}}}
原点に関する
ペダル方程式 は
r
2
=
1つの
2
− 3
p
2
、
{\displaystyle r^{2}=a^{2}-3p^{2},}
ヒュー ウェル方程式 は
、 チェザロ方程式 は
s =
3 1つの
4
コス 2 φ 、
{\displaystyle s={3a \over 4}\cos 2\varphi ,}
R
2
+ 4
s
2
=
9
1つの
2
4
。
{\displaystyle R^{2}+4s^{2}={\frac {9a^{2}}{4}}.}
極方程式 は [ 5]
r =
1つの
（
コス
2
/
3
θ +
罪
2
/
3
θ
）
3
/
2
。
{\displaystyle r={\frac {a}{\left(\cos ^{2/3}\theta +\sin ^{2/3}\theta \right)^{3/2}}}.}
アステロイドは 種数 0の 平面代数曲線 の実軌跡であり、次の式で表される [6] 。
（
x
2
+
ええ
2
−
1つの
2
）
3
+ 27
1つの
2
x
2
ええ
2
= 0.
{\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}-a^{2}\right)^{3}+27a^{2}x^{2}y^{2}=0.}
したがって、小惑星は 6 次実代数曲線です。
多項式方程式の導出 多項式方程式は、初等代数学によってライプニッツ方程式から導くことができます。
x
2
/
3
+
ええ
2
/
3
=
1つの
2
/
3
。
{\displaystyle x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}.}
両側を立方体にします。
x
6
/
3
+ 3
x
4
/
3
ええ
2
/
3
+ 3
x
2
/
3
ええ
4
/
3
+
ええ
6
/
3
=
1つの
6
/
3
x
2
+ 3
x
2
/
3
ええ
2
/
3
（
x
2
/
3
+
ええ
2
/
3
）
+
ええ
2
=
1つの
2
x
2
+
ええ
2
−
1つの
2
= − 3
x
2
/
3
ええ
2
/
3
（
x
2
/
3
+
ええ
2
/
3
）
{\displaystyle {\begin{aligned}x^{6/3}+3x^{4/3}y^{2/3}+3x^{2/3}y^{4/3}+y^{6/3}&=a^{6/3}\\[1.5ex]x^{2}+3x^{2/3}y^{2/3}\left(x^{2/3}+y^{2/3}\right)+y^{2}&=a^{2}\\[1ex]x^{2}+y^{2}-a^{2}&=-3x^{2/3}y^{2/3}\left(x^{2/3}+y^{2/3}\right)\end{aligned}}}
両辺をもう一度立方体にします。
（
x
2
+
ええ
2
−
1つの
2
）
3
= − 27
x
2
ええ
2
（
x
2
/
3
+
ええ
2
/
3
）
3
{\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}-a^{2}\right)^{3}=-27x^{2}y^{2}\left(x^{2/3}+y^{2/3}\right)^{3}}
しかし、
x
2
/
3
+
ええ
2
/
3
=
1つの
2
/
3
{\displaystyle x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}\,}
すると、
（
x
2
/
3
+
ええ
2
/
3
）
3
=
1つの
2
。
{\displaystyle \left(x^{2/3}+y^{2/3}\right)^{3}=a^{2}.}
したがって:
または
（
x
2
+
ええ
2
−
1つの
2
）
3
= − 27
x
2
ええ
2
1つの
2
{\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}-a^{2}\right)^{3}=-27x^{2}y^{2}a^{2}}
（
x
2
+
ええ
2
−
1つの
2
）
3
+ 27
x
2
ええ
2
1つの
2
= 0.
{\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}-a^{2}\right)^{3}+27x^{2}y^{2}a^{2}=0.}
メトリックプロパティ 囲まれた領域 [7]
3 8
π
1つの
2
{\displaystyle {\frac {3}{8}}\pi a^{2}}
曲線の長さ
6 1つの
{\displaystyle 6a}
x 軸を中心とした囲まれた領域の回転面の体積 。
32 105
π
1つの
3
{\displaystyle {\frac {32}{105}}\pi a^{3}}
x 軸 周りの回転面の面積
12 5
π
1つの
2
{\displaystyle {\frac {12}{5}}\pi a^{2}}
プロパティ 小惑星には、実平面、つまり恒星上の点に 4 つのカスプ特異点があります。さらに、無限遠に 2 つの複雑なカスプ特異点と 4 つの複雑な二重点があり、合計 10 個の特異点があります。
小惑星の双対曲線は、次の式を持つ十字曲線です 。 小惑星 の 縮 閉線は、2 倍の大きさの小惑星
です
。
x
2
ええ
2
=
x
2
+
ええ
2
。
{\textstyle x^{2}y^{2}=x^{2}+y^{2}.}
小惑星は各方向に1本の接線しか持たないため、 ハリネズミ の例となります。 [8]
参照
参考文献
^ イェーツ ^ JJ 対リトロウ (1838)。 「§99. アストロワに死す」。 数学を学ぶ 。ウィーン。 p. 299. ^ ロリア、ジーノ (1902)。特別な代数と超越的なエベネ・クルヴェン。理論とゲシヒテ。ライプツィヒ。 224ページ。 {{cite book}}: CS1 メンテナンス: 場所が見つかりません 発行者 ( リンク ) ^ イェーツ、セクション ^ ワイスタイン、エリック・W. 「アストロイド」. マスワールド 。 ^ この式の導出は http://xahlee.info/SpecialPlaneCurves_dir/Astroid_dir/astroid.pdf の 3 ページに記載されています。 ^ イェーツ、セクション ^ 西村隆志;酒見優（2011）。 「内側からの眺め」。 北海道数学雑誌 。 40 (3): 361–373。 土井 ： 10.14492/hokmj/1319595861 。 MR 2883496。
J. デニス ローレンス (1972)。 特殊平面曲線のカタログ 。ドーバー出版。pp. 4–5, 34–35, 173–174。ISBN 0-486-60288-5 。 ウェルズ D (1991)。 ペンギン辞典『不思議で興味深い幾何学』 。ニューヨーク: ペンギンブックス。pp. 10–11。ISBN 0-14-011813-6 。 RC Yates (1952)。「Astroid」。 曲線とその特性に関するハンドブック 。ミシガン州アナーバー: JW Edwards。pp. 1 ff.
外部リンク
ウィキメディア・コモンズには、 Astroid に関連するメディアがあります 。
![{\displaystyle {\begin{aligned}x=a\cos ^{3}t&={\frac {a}{4}}\left(3\cos \left(t\right)+\cos \left(3t\right)\right),\\[2ex]y=a\sin ^{3}t&={\frac {a}{4}}\left(3\sin \left(t\right)-\sin \left(3t\right)\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1de9e465b10ce90fd11a5a9f0280d38b7e42855)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x^{6/3}+3x^{4/3}y^{2/3}+3x^{2/3}y^{4/3}+y^{6/3}&=a^{6/3}\\[1.5ex]x^{2}+3x^{2/3}y^{2/3}\left(x^{2/3}+y^{2/3}\right)+y^{2}&=a^{2}\\[1ex]x^{2}+y^{2}-a^{2}&=-3x^{2/3}y^{2/3}\left(x^{2/3}+y^{2/3}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3e4eba6f43f8232684b00797f45f50324982a38)
