下転筋

赤い曲線は、小さい黒い円が大きな青い円の内側を回転するときに描かれる下トロコイドです (パラメータは $R = 5、 r = 3、 d = 5$ )。

幾何学において、下トロコイドとは、半径 $r$ の円に付いた点が、半径 $R$ の固定円の内側を回転することによって描かれるルーレットであり、その点は内側の円の中心から距離 $d のところにあります。$

下トロコイドのパラメトリック方程式は次の通りである: ^[1]

{\begin{aligned}&x(\theta )=(Rr)\cos \theta +d\cos \left({Rr \over r}\theta \right)\\&y(\theta )=(Rr )\sin \theta -d\sin \left({Rr \over r}\theta \right)\end{aligned}}

ここで、 $θ は$ 水平線と回転円の中心によって形成される角度です ( $θ は$ 極角ではないため、これらは極方程式ではありません)。ラジアンで測定すると、 $θ は$ 0 から( $LCM$ は最小公倍数)までの値を取ります。 $2\pi \times {\tfrac {\operatorname {LCM} (r,R)}{R}}$

特殊なケースとしては、 $d$ $=$ $r$ のハイポサイクロイドや、 $R$ $= 2$ $r$ で $d$ $\neq$ $r$ の楕円などがある。^[2] 楕円の離心率は

e={\frac {2{\sqrt {d/r}}}{1+(d/r)}}

1になると（トゥシ族のカップルを参照）。 $d=r$

楕円（赤で描かれている）は、 $R = 2 r$ （トゥシカップル）の特殊なケースであるハイポトロコイドとして表現できます。ここでは、 $R = 10、 r = 5、 d = 1です$ 。

古典的なスピログラフのおもちゃは、下トロコイド曲線と上トロコイド曲線を描きます。

ヒポトロコイドは、周期的な相関を持ついくつかのランダム行列の固有値のサポートを記述します。^[3]

参照

参考文献

^ J. Dennis Lawrence (1972).特殊平面曲線のカタログ. Dover Publications. pp. 165–168. ISBN 0-486-60288-5。
^ グレイ、アルフレッド（1997年12月29日）。Mathematicaによる曲線と曲面の現代微分幾何学（第2版）。CRC Press。p.906。ISBN 9780849371646。
^ Aceituno, Pau Vilimelis; Rogers, Tim; Schomerus, Henning (2019-07-16). 「周期相関を持つランダム行列の普遍的な下トロコイド法則」. Physical Review E . 100 (1): 010302. arXiv : 1812.07055 . Bibcode :2019PhRvE.100a0302A. doi :10.1103/PhysRevE.100.010302. PMID 31499759. S2CID 119325369.

外部リンク

ワイスタイン、エリック・W.「ハイポトロコイド」。マスワールド。
ハイポサイクロイドのフラッシュアニメーション
特殊平面曲線のビジュアル辞書、Xah Lee の Hypotrochoid
インタラクティブな下垂体アニメーション
オコナー、ジョン・J.ロバートソン、エドマンド F.、「ハイポトロコイド」、MacTutor History of Mathematics Archive、セントアンドリュース大学

[1] J. Dennis Lawrence (1972).特殊平面曲線のカタログ. Dover Publications. pp. 165–168. ISBN 0-486-60288-5。

[2] グレイ、アルフレッド（1997年12月29日）。Mathematicaによる曲線と曲面の現代微分幾何学（第2版）。CRC Press。p.906。ISBN 9780849371646。

[3] Aceituno, Pau Vilimelis; Rogers, Tim; Schomerus, Henning (2019-07-16). 「周期相関を持つランダム行列の普遍的な下トロコイド法則」. Physical Review E . 100 (1): 010302. arXiv : 1812.07055 . Bibcode :2019PhRvE.100a0302A. doi :10.1103/PhysRevE.100.010302. PMID 31499759. S2CID 119325369.