逆幾何学

幾何学において、反転幾何学は反転の研究であり、ユークリッド平面の変換で円や直線を他の円や直線に写像し、交差する曲線間の角度を保存する。幾何学における多くの難しい問題は、反転を適用するとはるかに扱いやすくなる。反転は、シュタイナー（1824年）、ケトレー（1825年）、ベラヴィティス（1836年）、スタッブスとイングラム（1842年 - 1843年）、ケルビン（1845年）など、同時期に多くの人々によって発見されたと思われる。^[1]

反転の概念は、高次元空間に一般化できます。

算術において数を反転するということは、通常、その逆数を取ることを意味します。幾何学において、点を「反転する」という概念と密接に関連しています。平面において、 中心がO で半径がrである基準円 (Ø)に対する点Pの反転は、 OからP を通る直線上にある点P 'であり、

${\displaystyle OP\cdot OP^{\prime }=r^{2}.}$

これは円反転または平面反転と呼ばれる。任意の点P ( O以外) をその像P 'にする反転は、 P ' をP に戻すこともするため、同じ反転を 2 回適用した結果は恒等変換であり、自己反転(つまり反転) になります。^{[2] [3]} 反転をOに対しても定義される全関数にするには、すべての直線上に配置される単一の点である無限遠点を導入し、定義により、反転を拡張して中心Oとこの無限遠点を交換する必要があります。

定義から、基準円内の任意の点の反転は基準円の外側に存在しなければならず、その逆も同様で、中心と無限遠点の位置は変化しますが、円上の任意の点は影響を受けません (反転に対して不変です)。要約すると、円内の点の場合、点が中心に近いほど、その変換は遠ざかります。一方、任意の点 (円の内側または外側) の場合、点が円に近いほど、その変換は近づきます。

円Ø の外側の点Pの逆P ' を構築するには:

• O (円Øの中心)からPまで線分を描きます。
• M をOPの中点とします。(図示せず)
• 中心MがP を通る円c を描きます。(ラベルはありません。青い円です)
• NとN ' をØとc が交差する点とします。
• 線分NN 'を描きます。
• P ' はOPとNN 'が交差する場所です。

円Ø内の点P 'の逆P を構築するには:

• O (円Øの中心)からP 'を通る光線r を描きます。(ラベルはありません。水平線です)
• P ' を通りrに垂直な線sを描きます。(ラベルはありません。垂直線です)
• Øとs が交差する点の 1 つをNとします。
• 線分ONを描きます。
• ONに垂直にN を通る線t を描きます。
• P は、光線rと線tが交差する場所です。

円Pに関して、AがPの内側にあるか外側にあるかに関係なく、Aの逆点を構成する方法がある。^[4]

中心O を持つ円Pと、円P の内側または外側にある点A を考えます。

• 光線OAと円Pとの交点C をとります。
• 点Cを円P上の任意の点B（Cと異なる点、およびCの反対のP上の点とは異なる点）と結びます。
• h を光線BAの直線BCでの反射とします。するとh は光線OC を点A 'で切断します。A ' は円Pに対するAの逆点です。^{[4] : § 3.2}

• 
  赤い円に関して、O (青) を通る円の逆はO (緑)を通らない線であり、その逆も同様です。
• 
  赤い円に関して、O を通らない円 (青) の逆はO を通らない円(緑) であり、その逆も同様です。
• 
  円に関する反転は円の中心をその像の中心にマッピングするものではない。

平面上の点の集合を円に関して反転すると、それらの点の逆集合になります。次の特性により、円の反転が有用になります。

• 基準円の中心Oを通る円は、 Oを通らないが、 Oにおける元の円の接線に平行な直線に反転し、逆もまた同様である。一方、Oを通る直線はそれ自身に反転する（ただし点ごとには不変ではない）。^[5]
• Oを通らない円は、Oを通らない円に反転します。円が基準円と交わる場合、これらの不変の交点も逆円上にあります。円（または線）が反転しても変化しないのは、交点で基準円と直交する場合のみです。 ^[5]

追加のプロパティは次のとおりです。

• 円q が円kに関して逆である 2 つの異なる点 A と A' を通過する場合、円kとq は直交します。
• 円kとqが直交する場合、 kの中心 O を通りqと交差する直線は、 kに関して逆の点で交差します。
• 三角形OABがあり、Oは円kの中心であり、点A'とB'はkに関してAとBの逆であるとき、

${\displaystyle \angle OAB=\angle OB'A'\ {\text{ および }}\ \angle OBA=\angle OA'B'.}$

• 円kに直交する 2 つの円pとqの交点は、 kに関して逆になります。
• M と M' が 2 つの曲線 m と m' 上の円kに関する逆点であり、またkに関して逆である場合、点 M と M' における m と m' の接線は直線 MM' に垂直であるか、この直線とともに底辺 MM' を持つ二等辺三角形を形成します。
• 反転では角度の尺度は変化しないが、角度の向きは反転する。^[6]

• 直線の反転とは、反転の中心を含む円である。または、反転の中心を含む直線自体である。
• 円を反転すると別の円になる。または、元の円に中心が含まれている場合は直線になる。
• 放物線の反転は心臓形である
• 双曲線の反転はベルヌーイのレムニスケートである

反転の中心を通らない円の場合、反転される円の中心と反転中のその像の中心は、基準円の中心と同一線上にあります。この事実は、三角形の接三角形のオイラー線がその OI 線と一致することを証明するために使用できます。証明はおおよそ次のようになります。

三角形ABCの内接円を基準に反転します。内接三角形の中心三角形は三角形ABCに反転されます。つまり、中心三角形の外心、つまり内接三角形の 9 点の中心、三角形ABCの内心と外心は同一線上にあります。

交差しない 2 つの円は、反転して同心円にすることができます。反転距離(通常は δ と表記) は、 2 つの同心円の半径の比の 自然対数として定義されます。

さらに、交差しない任意の 2 つの円は、反対称円上の点を中心とする反転円を使用して、合同な円に反転することができます。

ポーセリエ・リプキンリンク機構は、円の反転を機械的に実現するものです。直線運動と円運動の変換という重要な問題に正確な解決策を提供します。

点R が点Pの逆である場合、いずれかの点を通る 直線PRに垂直な線は、他の点 (極) の極になります。

極と極性には、いくつかの便利なプロパティがあります。

• 点P が直線l上にある場合、直線lの極L は点Pの極p上に存在します。
• 点P が線lに沿って動く場合、その極p は線lの極L を中心に回転します。
• 極から円に 2 本の接線を引くことができる場合、その極は両方の接点を通ります。
• 点が円上にある場合、その点を通る接線が極座標となります。
• 点P が自身の極線上にある場合、P は円上にあります。
• 各線には必ず 1 つの極があります。

円の反転は、3 次元の球の反転に一般化できます。半径Rの点Oを中心とする基準球に対する 3D の点Pの反転は、方向OPの光線上の点P ' で、となる点です。2D バージョンと同様に、球は球に反転しますが、球が基準球の中心Oを通過する場合は平面に反転します。Oを通過する平面はすべて、 Oに接する球に反転します。円、つまり球と割線平面の交差は円に反転しますが、円がO を通過する場合は直線に反転します。これは、割線平面がO を通過する 2D の場合に帰着しますが、割線平面がOを通過しない場合は真の 3D 現象です。 ${\displaystyle OP\cdot OP^{\prime }=||OP||\cdot ||OP^{\prime }||=R^{2}}$

最も単純な表面 (平面以外) は球です。最初の図は、球の非自明な反転 (球の中心は反転の中心ではありません) と、直交して交差する 2 つの円束を示しています。

円筒、円錐、またはトーラスを反転すると、デュパンサイクライドが生成されます。

回転楕円体は回転面であり、円の束を含み、円の束は円の束にマッピングされます (図を参照)。回転楕円体の逆像は次数 4 の面です。

回転面である 1 枚の双曲面には、円束にマッピングされた円束が含まれます。1 枚の双曲面には、円束にマッピングされた追加の 2 本の線束が含まれます。図には、そのような線 (青) とその反転が示されています。

ステレオ投影では通常、球を球の点 (北極) から反対側の点(南極) の接平面に投影します。このマッピングは、球をその接平面に反転することで実行できます。投影される球に方程式( とも表記、図では中心、半径、緑) がある場合、単位球 (赤) での反転によって点 の接平面にマッピングされます。反転の中心 (点) を通る線は、その線自体にマッピングされます。これらはステレオ投影の投影線です。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=-z}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}+(z+{\tfrac {1}{2}})^{2}={\tfrac {1}{4}}}$${\displaystyle (0,0,-0.5)}$${\displaystyle 0.5}$${\displaystyle S=(0,0,-1)}$${\displaystyle N}$

6 次元球面座標は、直交座標を反転して得られる 3 次元空間の座標系です。

反転幾何学の基礎を最初に考察した人物の一人は、1911年と1912年にマリオ・ピエリであった。 ^[7] エドワード・カスナーは「反転群の不変理論」に関する論文を書いた。^[8]

最近では、反転幾何学の数学的構造は、一般化された円が「ブロック」と呼ばれる入射構造として解釈されています。入射幾何学では、任意のアフィン平面と単一の無限遠点がメビウス平面（反転平面とも呼ばれます）を形成します。無限遠点はすべての直線に追加されます。これらのメビウス平面は公理的に記述でき、有限バージョンと無限バージョンの両方が存在します。

ユークリッド平面から派生したメビウス平面のモデルはリーマン球面です。

4 点間のクロス比は反転しても不変です。特に、O が反転の中心で、およびが線 L の端までの距離である場合、半径 1 の反転では線の長さは になります。不変量は次のとおりです。 ${\displaystyle x,y,z,w}$${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle r_{2}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d/(r_{1}r_{2})}$

${\displaystyle I={\frac {|xy||wz|}{|xw||yz|}}}$

コクセターによれば、^[9]円反転による変換は1831 年にLI マグナスによって発明されました。それ以来、この写像は高等数学への道となっています。円反転写像の応用のいくつかのステップを通じて、変換幾何学の学生はすぐにフェリックス・クラインのエルランゲン・プログラムの重要性を理解します。これは双曲幾何学の特定のモデルから派生したものです。

同心円の 2 つの反転を組み合わせると、円の半径の比によって特徴付けられる 相似、相似変換、または拡大が生じます。

${\displaystyle x\mapsto R^{2}{\frac {x}{|x|^{2}}}=y\mapsto T^{2}{\frac {y}{|y|^{2}}}=\left({\frac {T}{R}}\right)^{2}x.}$

平面上の点が複素共役複素数として 解釈される場合、zの逆数は ${\displaystyle z=x+iy,}$ ${\displaystyle {\bar {z}}=x-iy,}$

${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}}.}$

したがって、単位円における反転の代数形式は次のように与えられます。 ${\displaystyle z\mapsto w}$

${\displaystyle w={\frac {1}{\bar {z}}}={\overline {\left({\frac {1}{z}}\right)}}}$。

相互性は、メビウス群の生成子として変換理論において鍵となる。他の生成子は並進と回転であり、どちらも周囲の 3 次元空間での物理的操作を通じてよく知られている。相互性の導入 (円の反転に依存) は、メビウス幾何学の特異な性質を生み出すものであり、これは (ユークリッド平面の) 反転幾何学と同一視されることもある。しかし、反転幾何学は、円内の生の反転 (共役によって相互性にはまだなっていない) を含むため、より広範な研究対象である。逆幾何学には共役写像も含まれる。共役も円内の反転も非共形であるため (以下を参照)、メビウス群には含まれない。メビウス群の要素は平面全体の解析関数であるため、必然的に共形である。

複素平面において、点の周りの半径の円を考える。${\displaystyle r}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle (z-a)(z-a)^{*}=r^{2}}$

ここで、一般性を失うことなく、反転の定義を用いると ${\displaystyle a\in \mathbb {R} .}$

${\displaystyle w={\frac {1}{z^{*}}}}$

が次の式に従う ことは簡単に証明できる。${\displaystyle w}$

${\displaystyle ww^{*}-{\frac {a}{(a^{2}-r^{2})}}(w+w^{*})+{\frac {a^{2}}{(a^{2}-r^{2})^{2}}}={\frac {r^{2}}{(a^{2}-r^{2})^{2}}}}$

そしてそれは中心と半径の円を記述する${\displaystyle w}$${\textstyle {\frac {a}{a^{2}-r^{2}}}}$${\textstyle {\frac {r}{|a^{2}-r^{2}|}}.}$

円が虚軸に平行な線に変形するとき${\displaystyle a\to r,}$${\displaystyle w+w^{*}={\tfrac {1}{a}}.}$

の場合、結果は ${\displaystyle a\not \in \mathbb {R} }$${\displaystyle aa^{*}\neq r^{2}}$${\displaystyle w}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&ww^{*}-{\frac {aw+a^{*}w^{*}}{(a^{*}a-r^{2})}}+{\frac {aa^{*}}{(aa^{*}-r^{2})^{2}}}={\frac {r^{2}}{(aa^{*}-r^{2})^{2}}}\\[4pt]\Longleftrightarrow {}&\left(w-{\frac {a^{*}}{aa^{*}-r^{2}}}\right)\left(w^{*}-{\frac {a}{a^{*}a-r^{2}}}\right)=\left({\frac {r}{\left|aa^{*}-r^{2}\right|}}\right)^{2}\end{aligned}}}$

は中心、半径の円を描いていることを示しています。 ${\displaystyle w}$${\textstyle {\frac {a}{(aa^{*}-r^{2})}}}$${\textstyle {\frac {r}{\left|a^{*}a-r^{2}\right|}}}$

の 式が${\displaystyle a^{*}a\to r^{2},}$${\displaystyle w}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&aw+a^{*}w^{*}=1\Longleftrightarrow 2\operatorname {Re} \{aw\}=1\Longleftrightarrow \operatorname {Re} \{a\}\operatorname {Re} \{w\}-\operatorname {Im} \{a\}\operatorname {Im} \{w\}={\frac {1}{2}}\\[4pt]\Longleftrightarrow {}&\operatorname {Im} \{w\}={\frac {\operatorname {Re} \{a\}}{\operatorname {Im} \{a\}}}\cdot \operatorname {Re} \{w\}-{\frac {1}{2\cdot \operatorname {Im} \{a\}}}.\end{aligned}}}$

上で述べたように、原点であるゼロは、円反転写像において特別な考慮を必要とする。このアプローチは、無限遠点 ∞ または 1/0 を隣接させるものである。複素数アプローチでは、見かけ上の演算は逆数であり、この手順により、しばしばリーマン球面と呼ばれる複素射影直線が得られる。ベルトラミ、ケイリー、クラインによる双曲幾何学の初期モデルの生成に応用されたのは、この空間の部分空間と部分群、および写像群であった。したがって、反転幾何学には、平面幾何学におけるロバチェフスキーおよびボヤイの着想が含まれている。さらに、フェリックス・クラインはこの写像によって幾何学的現象を識別する機能に非常に感銘を受け、1872年に宣言書であるエアランゲン・プログラムを発表した。それ以来、多くの数学者が、空間とその空間の写像群の両方を指すために「幾何学」という用語を使用するようになった。幾何学における図形の重要な特性は、この群の下で不変である特性である。

例えば、スモゴルジェフスキー^[10]はロバチェフスキー幾何学を始める前に、いくつかの逆幾何学の定理を展開した。

実数n次元ユークリッド空間において、点を中心とする半径rの球面上の反転は、変位ベクトルの長さを反転し、を乗じて得られる任意の点の写像です。${\displaystyle O=(o_{1},...,o_{n})}$${\displaystyle P=(p_{1},...,p_{n})}$ ${\displaystyle P-O}$${\displaystyle r^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P&\mapsto P'=O+{\frac {r^{2}(P-O)}{\|P-O\|^{2}}},\\[5mu]p_{j}&\mapsto p_{j}'=o_{j}+{\frac {r^{2}(p_{j}-o_{j})}{\sum _{k}(p_{k}-o_{k})^{2}}}.\end{aligned}}}$

E ⁿの超平面または超球面における反転による変換は、拡大、平行移動、または回転を生成するために使用できます。実際、連続した反転を生成するために使用される 2 つの同心超球面は、超球面の中心の 拡大または相似性をもたらします。

2 つの平行な超平面を使用して連続した反射を生成すると、結果は変換になります。2 つの超平面が ( n –2)平面で交差する場合、連続した反射によって回転が生成され、 ( n –2) 平面の​​すべての点が各反射の固定点となり、したがって合成の固定点となります。

反射、平行移動、回転の任意の組み合わせは等長変換と呼ばれます。反射、拡大、平行移動、回転の任意の組み合わせは相似変換と呼ばれます。

これらはすべて共形写像であり、実際、空間が 3 次元以上である場合、反転によって生成される写像だけが共形写像となります。リウヴィルの定理は、共形幾何学の古典的な定理です。

空間に無限遠点を加えると、超平面と超球面の区別が不要になります。そのため、高次元の逆幾何学は、 n球面を基本空間として想定した文脈で頻繁に研究されます。逆幾何学の変換は、しばしばメビウス変換と呼ばれます。逆幾何学は、 n球面の色付けや分割の研究に応用されています。^[11]

円反転写像は反等角です。つまり、すべての点で角度を保存し、向きを反転します (向きのついた角度を保存する写像は等角であると呼ばれます)。代数的には、すべての点でヤコビアンが負の行列式を持つスカラー倍の直交行列である場合、写像は反等角です。2 次元では、ヤコビアンはすべての点でスカラー倍の反射でなければなりません。つまり、Jがヤコビアンであれば、次が成り立ちます。 z _i = x _i /‖ x ‖ ²の場合 ( ‖ x ‖ ² = x ₁ ² + ... + x _n ²⁾のヤコビアンを計算すると、 JJ ^T = kIとなり、k = 1/‖ x ‖ ⁴ⁿとなり、さらに det( J ) は負です。したがって、反転写像は反等角です。 ${\displaystyle J\cdot J^{T}=kI}$${\displaystyle \det(J)=-{\sqrt {k}}.}$

複素平面では、最も明白な円反転写像（つまり、原点を中心とする単位円を使用）は、zを 1/ zとする複素逆写像の複素共役です。複素解析逆写像は等角であり、その共役である円反転は反等角です。この場合、ホモグラフィは等角であり、反ホモグラフィは反等角です。

（n  − 1）球面の 式

${\displaystyle x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}+2a_{1}x_{1}+\cdots +2a_{n}x_{n}+c=0}$

a ₁ ² + ... + a _n ^2がcより大きい場合、正の半径を持ち、反転すると球面になります。

${\displaystyle x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}+2{\frac {a_{1}}{c}}x_{1}+\cdots +2{\frac {a_{n}}{c}}x_{n}+{\frac {1}{c}}=0.}$

したがって、 c = 1のときのみ反転不変となる。しかし、これは単位球面に対して直交するための条件である。したがって、次の式を持つ ( n  − 1) 球面 を考えることになる。

${\displaystyle x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}+2a_{1}x_{1}+\cdots +2a_{n}x_{n}+1=0,}$

これらは反転に対して不変であり、単位球に直交し、球の外側に中心を持ちます。これらは半球を分離する部分空間超平面とともに、双曲幾何学の ポアンカレ円板モデルの超曲面です。

単位球面における反転では、それに直交する球面は不変のままなので、反転によって単位球面内の点が外部に写像され、その逆も成り立ちます。したがって、これは直交球面全般に当てはまり、特に単位球面と直交する球面の 1 つにおける反転によって、単位球面がそれ自体に写像されます。また、単位球面の内部がそれ自体に写像され、直交球面の外部の点が内部に写像され、その逆も成り立ちます。これにより、単位球面の半球を分離する直径を通る反射も含めると、ポアンカレ円板モデルの反射が定義されます。これらの反射によって、モデルの等長変換群が生成され、等長変換が共形であることがわかります。したがって、モデル内の 2 つの曲線間の角度は、双曲空間内の 2 つの曲線間の角度と同じです。

• 反相似円
• 双対性（射影幾何学）
• 逆曲線
• 限界点（幾何学）
• メビウス変換
• 射影幾何学
• ソディのヘクスレット
• モール・マスケローニの定理
• 曲線と曲面の反転（ドイツ語）

• アルトシラー・コート、ネイサン（1952）、カレッジ幾何学：三角形と円の現代幾何学入門（第2版）、ニューヨーク：バーンズ＆ノーブル、LCCN  52-13504
• ブレア、デイビッド E. (2000)、「反転理論と等角写像」、アメリカ数学会、ISBN 0-8218-2636-0
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• コクセター、HSM (1969) [1961]、幾何学入門（第2版）、ジョン・ワイリー＆サンズ、ISBN 0-471-18283-4
• ハーツホーン、ロビン(2000)、「第 7 章: 非ユークリッド幾何学、第 37 節: 円反転」、幾何学: ユークリッドとその先、シュプリンガー、ISBN 0-387-98650-2
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• パターソン、ボイド(1941)「反転平面」、アメリカ数学月刊誌48: 589–99、doi :10.2307/2303867 MR 0006034

• 反転：結び目を切るときの円の反射
• ウィルソン・ストザーの逆幾何学のページ
• IMO 総合トレーニング教材 数学オリンピック問題に反転を使用する方法に関する練習問題
• ワイスタイン、エリック・W.「反転」。マスワールド。
• 特殊平面曲線のビジュアル辞書 Xah Lee