角運動量

角運動量は、物体の回転慣性と特定の軸周りの回転速度（ラジアン/秒）の積を表すベクトル量（より正確には擬似ベクトル）です。ただし、粒子の軌道が単一の平面内にある場合は、角運動量のベクトル性を無視して、スカラー（より正確には擬似スカラー）として扱うだけで十分です。^{[ 5 ]}角運動量は、線運動量の回転版と考えることができます。したがって、線運動量pは質量mと線速度vに比例し、$${\displaystyle p=mv,}$$ 角運動量Lは慣性モーメントIとラジアン毎秒で測定される角速度ωに比例する。^{[ 6 ]}$${\displaystyle L=I\omega .}$$

質量は物質の量のみに依存するが、慣性モーメントは回転軸の位置と物質の分布にも依存する。線速度は原点の選択に依存しないが、軌道角速度は常に固定された原点に対して測定される。したがって、厳密に言えば、L はその中心に対する角運動量と呼ばれるべきである。^{[ 7 ]}

単一粒子の円運動の場合、${\displaystyle I=r^{2}m}$そして${\displaystyle \omega ={v}/{r}}$角運動量を拡大するには${\displaystyle L=r^{2}m\cdot {v}/{r},}$以下に縮小します: $${\displaystyle L=rmv,}$$

回転半径rと粒子の線運動量の積${\displaystyle p=mv}$、 どこ${\displaystyle v=r\omega }$は線速度（接線速度）です。

この単純な解析は、半径ベクトルに垂直な運動成分を使用すれば、円運動以外の運動にも適用できます。 $${\displaystyle L=rmv_{\perp },}$$ どこ${\displaystyle v_{\perp }=v\sin(\theta )}$は運動の垂直成分です。展開すると、${\displaystyle L=rmv\sin(\theta ),}$再配置、${\displaystyle L=r\sin(\theta )mv,}$また、角運動量を減らすと、次のように表現することもできます。 $${\displaystyle L=r_{\perp }mv,}$$ どこ${\displaystyle r_{\perp }=r\sin(\theta )}$はモーメントアームの長さであり、原点から粒子の軌道に垂直に下ろした線の長さです。モーメントという用語は、この定義(モーメントアームの長さ) × (線運動量)を指します。^{[ 8 ]}

別のアプローチとしては、角運動量を角座標の共役運動量（正準運動量とも呼ばれる）として定義する方法がある。${\displaystyle \phi }$力学系のラグランジアンで表現される。質量を持つ力学系を考える。${\displaystyle m}$半径の円内での移動に制限される${\displaystyle r}$外部力場が存在しない場合、システムの運動エネルギーは $$${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}mr^{2}\omega ^{2}={\tfrac {1}{2}}mr^{2}{\dot {\phi }}^{2}.}$$$

そして位置エネルギーは $${\displaystyle U=0.}$$

するとラグランジアンは $${\displaystyle {\mathcal {L}}{\left(\phi ,{\dot {\phi }}\right)}=TU={\tfrac {1}{2}}mr^{2}{\dot {\phi }}^{2}.}$$

座標に「正準共役」な一般化運動量${\displaystyle \phi }$定義される $${\displaystyle p_{\phi }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\phi }}}}=mr^{2}{\dot {\phi }}=I\omega =L.}$$

3次元における軌道角運動量を完全に定義するには、位置ベクトルが角度を掃引する速度、瞬間的な角変位平面に垂直な方向、および関連する質量、さらにこの質量が空間内でどのように分布しているかを知る必要があります。^{[ 9 ]}角運動量のこのベクトル性を維持することで、方程式の一般的な性質も維持され、回転中心を中心としたあらゆる種類の3次元運動（円運動、直線運動、その他）を記述できます。ベクトル表記では、原点の周りを運動する点粒子の軌道角運動量は次のように表すことができます。 $${\displaystyle \mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }},}$$ どこ

• ${\displaystyle I=r^{2}m}$は点質量の慣性モーメントです。
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}}}$は原点を中心とした粒子の軌道角速度であり、
• ${\displaystyle \mathbf {r} }$は原点に対する粒子の位置ベクトルであり、${\displaystyle r=\left\vert \mathbf {r} \right\vert }$、
• ${\displaystyle \mathbf {v} }$は原点に対する粒子の線速度であり、
• ${\displaystyle m}$は粒子の質量です。

これは、ベクトル代数の規則に従って、展開、縮小、および並べ替えが可能です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=\left(r^{2}m\right)\left({\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}}\right)\\&=m\left(\mathbf {r} \times \mathbf {v} \right)\\&=\mathbf {r} \times m\mathbf {v} \\&=\mathbf {r} \times \mathbf {p} ,\end{aligned}}}$$ これは位置ベクトルの外積です${\displaystyle \mathbf {r} }$そして線形運動量${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$粒子の。クロス積の定義により、${\displaystyle \mathbf {L} }$ベクトルは両方に垂直です${\displaystyle \mathbf {r} }$そして${\displaystyle \mathbf {p} }$。右手の法則で示されるように、角変位の平面に垂直に方向付けられます。つまり、角速度はベクトルの先端から反時計回りに見えるということです。逆に、${\displaystyle \mathbf {L} }$ベクトルは、${\displaystyle \mathbf {r} }$そして${\displaystyle \mathbf {p} }$嘘。

単位ベクトルを定義することによって${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} }$角変位の平面に垂直なスカラー角速度${\displaystyle \omega }$結果、 $${\displaystyle \omega \mathbf {\hat {u}} ={\boldsymbol {\omega }},}$$そして $${\displaystyle \omega ={\frac {v_{\perp }}{r}},}$$どこ${\displaystyle v_{\perp }}$これは、上記のように、運動の垂直成分です。

前節の2次元スカラー方程式は、次のように方向付けすることができる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=I{\boldsymbol {\omega }}\\&=I\omega \mathbf {\hat {u}} \\&=\left(r^{2}m\right)\omega \mathbf {\hat {u}} \\&=rmv_{\perp }\mathbf {\hat {u}} \\&=r_{\perp }mv\mathbf {\hat {u}} ,\end{aligned}}}$$ そして${\displaystyle \mathbf {L} =rmv\mathbf {\hat {u}} }$円運動の場合、運動のすべてが半径に垂直である。${\displaystyle r}$。

球面座標系では、 角運動量ベクトルは次のように表される。

${\displaystyle \mathbf {L} =m\mathbf {r} \times \mathbf {v} =mr^{2}\left({\dot {\theta }}\,{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}-{\dot {\varphi }}\sin \theta \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\theta }}} \right).}$

ニュートンの運動第二法則は数学的に表現することができ、 $${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} ,}$$ または力＝質量×加速度。点粒子の回転運動における等価式は、次のように導出できます。 $${\displaystyle \mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }}}$$ つまり、トルク（すなわち角運動量の 時間微分）は$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {dI}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}+I{\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}.}$$

慣性モーメントは${\displaystyle mr^{2}}$したがって、${\displaystyle {\frac {dI}{dt}}=2mr{\frac {dr}{dt}}=2rp_{||}}$、 そして${\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=I{\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}+2rp_{||}{\boldsymbol {\omega }},}$これは、 $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=I{\boldsymbol {\alpha }}+2rp_{||}{\boldsymbol {\omega }}.}$$ これはニュートンの第二法則の回転運動における類似法則です。トルクは必ずしも角加速度に比例したり平行になったりするわけではないことに注意してください（一般的に予想されるように）。その理由は、粒子の慣性モーメントは時間とともに変化する可能性があり、これは通常の質量では起こり得ないことだからです。

ニュートンの運動第三法則の回転版は、「孤立系では、ある物質にトルクをかけると、必ず同じ軸を中心とした等しく反対向きのトルクが他の物質に作用する」と書けるだろう。 ^{[ 20 ]}したがって、孤立系では物体間で角運動量を交換できるが、交換前後の全角運動量は一定のまま（保存される）。^{[ 21 ]}

別の言い方をすれば、ニュートンの第一運動法則の回転版は、「剛体は外部からの影響がない限り、等速回転を続ける」と書けるだろう。^{[ 20 ]}したがって、外部からの影響がない限り、システムの元の角運動量は一定のままである。^{[ 22 ]}

角運動量保存則は、中心力運動の解析に用いられます。ある物体に作用する正味の力が常に中心点に向かっている場合、すべての力が半径ベクトルに沿って作用し、半径に垂直な力は存在しないため、中心点に関して物体にトルクは生じません。数学的に言えば、トルクは${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {0} ,}$なぜならこの場合${\displaystyle \mathbf {r} }$そして${\displaystyle \mathbf {F} }$これらは平行なベクトルです。したがって、物体の中心周りの角運動量は一定です。これは、惑星や衛星の軌道における重力の場合に当てはまります。重力は常に主天体の方向を向いており、周回する物体は主天体の周りを移動する際に距離と速度を交換することで角運動量を保存します。中心力運動は、ボーアの原子模型の解析にも用いられています。

惑星の場合、角運動量は惑星の自転と公転に分配され、これらはさまざまなメカニズムによって交換されることが多い。地球-月系における角運動量保存則により、月が地球に及ぼす潮汐トルクによって、地球から月へ角運動量が伝達される。その結果、地球の自転速度は約 65.7 ナノ秒/日^{[ 23 ]} 減速し、月の軌道半径は約 3.82センチメートル/年^{[ 24 ]}徐々に増加する。

角運動量保存の法則は、アイススケーターが腕と脚を回転軸に近づける際に生じる角加速度を説明する。体の質量の一部を回転軸に近づけることで、体の慣性モーメントが減少する。角運動量は慣性モーメントと角速度の積であるため、角運動量が一定（保存される）であれば、スケーターの角速度（回転速度）は増加するはずである。

同様の現象は、より大きく回転速度の遅い恒星から形成されたコンパクトな恒星（白色矮星、中性子星、ブラックホールなど）が極めて高速で回転するという結果をもたらす。

保存則は必ずしもシステムのダイナミクスを完全に説明するものではありませんが、重要な制約条件の一つです。例えば、回転するコマは重力トルクの影響を受け、傾き、章動軸周りの角運動量が変化しますが、回転接触点における摩擦を無視すれば、回転軸周りの角運動量と歳差運動軸周りの角運動量は保存されます。また、惑星系においては、惑星、恒星、彗星、小惑星は様々な複雑な動きをしますが、それはシステムの角運動量が保存されるような動きに限られます。

ネーターの定理は、すべての保存則は基礎となる物理の対称性（不変量）と関連していると述べています。角運動量の保存に関連する対称性は回転不変性です。システムが軸を中心に任意の角度だけ回転しても物理が変化しないという事実は、角運動量が保存されることを意味します。^{[ 25 ]}

角運動量の全保存は、回転に関して対称な系におけるネーターの定理から生じるものとしてニュートンの運動法則とは別に理解することもできますが、ニュートンの第二法則と自​​然界の力の法則（ニュートンの第三法則、マクスウェル方程式、ローレンツ力など）から直接得られる結果を効率的に計算する方法として理解することもできます。実際、すべての点の位置と速度の初期条件、およびその条件での力が与えられれば、ニュートンの第二法則を使用して位置の 2 階微分を計算することができ、これを解くことで物理系の時間経過に伴う発展に関する完全な情報が得られます。^{[ 26 ]}ただし、量子力学では粒子スピンの存在により、これはもはや当てはまりません。粒子スピンは、空間内の点運動の累積効果では記述できない角運動量です。

例として、慣性モーメントの減少を考えてみましょう。例えば、フィギュアスケーターが手を引いて円運動を加速させる場合などです。角運動量保存則の観点から、角運動量L、慣性モーメントI、角速度ωに対して、次の関係が成り立ちます。 $${\displaystyle 0=dL=d(I\cdot \omega )=dI\cdot \omega +I\cdot d\omega }$$

これを用いると、変化には以下のエネルギーが必要であることがわかる。 $${\displaystyle dE=d\left({\tfrac {1}{2}}I\cdot \omega ^{2}\right)={\tfrac {1}{2}}dI\cdot \omega ^{2}+I\cdot \omega \cdot d\omega =-{\tfrac {1}{2}}dI\cdot \omega ^{2}}$$ つまり、慣性モーメントを減少させるにはエネルギーを投入する必要があるということだ。

これは、ニュートンの法則を用いて計算された仕事と比較することができる。回転体の各点は、各時点において、以下の半径方向加速度で加速している。 $${\displaystyle -r\cdot \omega ^{2}}$$

質量mの点を考えてみましょう。その点の位置ベクトルは、運動の中心に対して、ある時点において z 軸に垂直であり、距離はzです。円運動を維持する、この点に 働く向心力は次のようになります。$${\displaystyle -m\cdot z\cdot \omega ^{2}}$$

したがって、この点を運動の中心から 距離dzだけ遠ざけるのに必要な仕事は次のようになります。$${\displaystyle dW=-m\cdot z\cdot \omega ^{2}\cdot dz=-m\cdot \omega ^{2}\cdot d\left({\tfrac {1}{2}}z^{2}\right)}$$

点状でない物体の場合、mを単位zあたりの質量密度に置き換えて、この範囲で積分する必要がある。これにより、次の式が得られる。 $${\displaystyle dW=-{\tfrac {1}{2}}dI\cdot \omega ^{2}}$$ これはまさに角運動量保存則を維持するために必要なエネルギーである。

なお、上記の計算は運動学のみを使用して質量あたりでも実行できます。したがって、フィギュアスケーターが手を内側に引き寄せながら接線速度を加速させる現象は、素人にも分かりやすく次のように理解できます。スケーターの手のひらは直線的に動いていないため、常に内側に加速していますが、加速は常に内側への動きがゼロのときに行われるため、追加の速度は得られません。しかし、手のひらを体に近づける場合は状況が異なります。回転による加速によって速度が増加しますが、回転のため、速度の増加は内側への大きな速度には結びつかず、回転速度の増加につながります。

古典力学では、作用汎関数の回転不変性が角運動量の保存を意味することが示せる。作用は古典物理学では位置の汎関数として定義され、${\displaystyle x_{i}(t)}$多くの場合、角括弧と最終時刻および初期時刻を用いて表されます。直交座標系では、次の形式をとります。$${\displaystyle S\left([x_{i}];t_{1},t_{2}\right)\equiv \int _{t_{1}}^{t_{2}}dt\left({\frac {1}{2}}m{\frac {dx_{i}}{dt}}\ {\frac {dx_{i}}{dt}}-V(x_{i})\right)}$$ここで、繰り返し添え字は添え字に関する総和を表します。作用が微小変換に対して不変である場合、数学的には次のように表すことができます。${\textstyle \delta S=S\left([x_{i}+\delta x_{i}];t_{1},t_{2}\right)-S\left([x_{i}];t_{1},t_{2}\right)=0}$。

変革の下で、${\displaystyle x_{i}\rightarrow x_{i}+\delta x_{i}}$すると、アクションは次のようになります。 $${\displaystyle S\left([x_{i}+\delta x_{i}];t_{1},t_{2}\right)=\!\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt\left({\frac {1}{2}}m{\frac {d(x_{i}+\delta x_{i})}{dt}}{\frac {d(x_{i}+\delta x_{i})}{dt}}-V(x_{i}+\delta x_{i})\right)}$$ ここで、項を一次まで展開すると、${\textstyle \delta x_{i}}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d(x_{i}+\delta x_{i})}{dt}}{\frac {d(x_{i}+\delta x_{i})}{dt}}&\simeq {\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {dx_{i}}{dt}}-2{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}\delta x_{i}+2{\frac {d}{dt}}\left(\delta x_{i}{\frac {dx_{i}}{dt}}\right)\\V(x_{i}+\delta x_{i})&\simeq V(x_{i})+\delta x_{i}{\frac {\partial V}{\partial x_{i}}}\\\end{aligned}}}$$動作に以下の変更が生じる。 $${\displaystyle S[x_{i}+\delta x_{i}]\simeq S[x_{i}]+\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt\,\delta x_{i}\left(-{\frac {\partial V}{\partial x_{i}}}-m{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}\right)+m\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt{\frac {d}{dt}}\left(\delta x_{i}{\frac {dx_{i}}{dt}}\right).}$$

すべての回転は、歪対称行列の行列指数関数として表現できるため、${\displaystyle R({\hat {n}},\theta )=e^{M\theta }}$どこ${\displaystyle M}$は歪対称行列であり、${\displaystyle \theta }$は回転角であり、回転による座標の変化を表すことができる。${\displaystyle R({\hat {n}},\delta \theta )}$、微小回転角の一次まで、${\displaystyle \delta \theta }$として： $${\displaystyle \delta x_{i}=M_{ij}x_{j}\delta \theta .}$$

運動方程式と作用の回転不変性を組み合わせると、上記の式から次の式が得られます。$${\displaystyle 0=\delta S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt{\frac {d}{dt}}\left(m{\frac {dx_{i}}{dt}}\delta x_{i}\right)=M_{ij}\,\delta \theta \,m\,x_{j}{\frac {dx_{i}}{dt}}{\Bigg \vert }_{t_{1}}^{t_{2}}}$$これはどの行列にも当てはまるので${\displaystyle M_{ij}}$満たす${\displaystyle M_{ij}=-M_{ji},}$その結果、以下の量が保存されることになる。 $${\displaystyle \ell _{ij}(t):=m\left(x_{i}{\frac {dx_{j}}{dt}}-x_{j}{\frac {dx_{i}}{dt}}\right),}$$ として${\displaystyle \ell _{ij}(t_{1})=\ell _{ij}(t_{2})}$これは、運動全体を通して角運動量が保存されることに対応します。^{[ 27 ]}

ラグランジュ力学では、特定の軸を中心とした回転の角運動量は、同じ軸を中心とした角度の一般化座標の共役運動量です。例えば、${\displaystyle L_{z}}$z軸周りの角運動量は次のようになります。 $${\displaystyle L_{z}={\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {\dot {\theta }}_{z}}}}$$ どこ${\displaystyle {\cal {L}}}$ラグランジアンであり、${\displaystyle \theta _{z}}$これはz軸を中心とした角度で​​す。

ご了承ください${\displaystyle {\dot {\theta }}_{z}}$角度の時間微分は角速度である。${\displaystyle \omega _{z}}$通常、ラグランジアンは運動エネルギーを介して角速度に依存します。後者は、速度を半径方向と接線方向に分離することで記述でき、z軸周りのxy平面における接線方向の速度は次のように表されます。 $${\displaystyle \sum _{i}{\tfrac {1}{2}}m_{i}{v_{T}}_{i}^{2}=\sum _{i}{\tfrac {1}{2}}m_{i}\left(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}\right){{\omega _{z}}_{i}}^{2}}$$ ここで添え字 i は i 番目の物体を表し、${\displaystyle m}$、${\displaystyle v_{T}}$そして${\displaystyle \omega _{z}}$はそれぞれ質量、z軸周りの接線速度、z軸周りの角速度を表します。

密度ρを持つ点状ではない物体の場合、代わりに次のようになります。 $${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int \rho (x,y,z)\left(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}\right){{\omega _{z}}_{i}}^{2}\,dx\,dy={\frac {1}{2}}{I_{z}}_{i}{{\omega _{z}}_{i}}^{2}}$$ ここで、積分は物体の面積にわたって行われ、^{[ 28 ]} I _zはz 軸周りの慣性モーメントです。

したがって、位置エネルギーが ωzに依存しないと仮定すると（この仮定は電磁システムでは成り立たない可能性がある）、 i番目の物体の角運動量は次のように_なる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{L_{z}}_{i}&={\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {{\omega _{z}}_{i}}}}={\frac {\partial E_{k}}{\partial {{\omega _{z}}_{i}}}}\\&={I_{z}}_{i}\cdot {\omega _{z}}_{i}\end{aligned}}}$$

これまで各オブジェクトを別々の角度で回転させてきましたが、システム全体を回転させる全体角度θz_を定義することもできます。これにより、各オブジェクトもz軸を中心に回転し、全体の角運動量が得られます。 $${\displaystyle L_{z}=\sum _{i}{I_{z}}_{i}\cdot {\omega _{z}}_{i}}$$

オイラー・ラグランジュ方程式から、次のことが導かれる。 $${\displaystyle 0={\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {{\theta _{z}}_{i}}}}-{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {{{\dot {\theta }}_{z}}_{i}}}}\right)={\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {{\theta _{z}}_{i}}}}-{\frac {d{L_{z}}_{i}}{dt}}}$$

ラグランジアンはポテンシャルを介してのみ物体の角度に依存するため、次の式が成り立つ。 $${\displaystyle {\frac {d{L_{z}}_{i}}{dt}}={\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {{\theta _{z}}_{i}}}}=-{\frac {\partial V}{\partial {{\theta _{z}}_{i}}}}}$$これはi番目の物体 にかかるトルクです。

システムが回転に対して不変であると仮定すると、ポテンシャルは角度θ _zによる全体的な回転に依存しない（したがって、ポテンシャルは、物体の角度の差を介してのみ依存する可能性がある。${\displaystyle V({\theta _{z}}_{i},{\theta _{z}}_{j})=V({\theta _{z}}_{i}-{\theta _{z}}_{j})}$したがって、全角運動量については次の式が得られます。 $${\displaystyle {\frac {dL_{z}}{dt}}=-{\frac {\partial V}{\partial {\theta _{z}}}}=0}$$ したがって、z軸周りの角運動量は保存される。

この解析は各軸ごとに別々に繰り返すことができ、角運動量ベクトルの保存が得られます。ただし、3 つの軸の周りの角度は独立ではないため、一般化座標として同時に扱うことはできません。特に、点の位置を決定するには、点ごとに 2 つの角度で十分です。剛体の場合、それを完全に記述するには、3 つの並進自由度に加えて、3 つの回転自由度を指定する必要がありますが、これらはデカルト軸の周りの回転として定義することはできません(オイラー角を参照)。この注意は、量子力学では、角運動量演算子のさまざまな成分の非自明な交換関係に反映されています。

同様に、ハミルトン力学では、ハミルトニアンは角運動量の関数として記述できます。これまでと同様に、 i番目の物体 の z 軸周りの回転に関連する運動エネルギーの部分は次のとおりです。$${\displaystyle {\frac {1}{2}}{I_{z}}_{i}{{\omega _{z}}_{i}}^{2}={\frac {{{L_{z}}_{i}}^{2}}{2{I_{z}}_{i}}}}$$ これは、z軸に沿った運動量に対するエネルギー依存性に類似しており、${\displaystyle {\frac {{{p_{z}}_{i}}^{2}}{{2m}_{i}}}}$。

ハミルトンの方程式は、z軸周りの角度と、その共役運動量、つまり同じ軸周りの角運動量を関連付けている。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d{\theta _{z}}_{i}}{dt}}&={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {L_{z}}_{i}}}={\frac {{L_{z}}_{i}}{{I_{z}}_{i}}}\\{\frac {d{L_{z}}_{i}}{dt}}&=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\theta _{z}}_{i}}}=-{\frac {\partial V}{\partial {\theta _{z}}_{i}}}\end{aligned}}}$$

最初の式は $${\displaystyle {L_{z}}_{i}={I_{z}}_{i}\cdot {{{\dot {\theta }}_{z}}_{i}}={I_{z}}_{i}\cdot {\omega _{z}}_{i}}$$

こうして、ラグランジュ形式の場合と同じ結果が得られる。

なお、全ての軸を組み合わせる場合、運動エネルギーは次のように表されます。 $${\displaystyle E_{k}={\frac {1}{2}}\sum _{i}{\frac {|\mathbf {p} _{i}|^{2}}{2m_{i}}}=\sum _{i}\left({\frac {{p_{r}}_{i}^{2}}{2m_{i}}}+{\frac {1}{2}}{\mathbf {L} _{i}}^{\textsf {T}}{I_{i}}^{-1}\mathbf {L} _{i}\right)}$$ ここで、pr_は半径方向の運動量であり、慣性モーメントは 3 次元行列です。太字は 3 次元ベクトルを表します。

点状の物体については、次のようになります。 $${\displaystyle E_{k}=\sum _{i}\left({\frac {{p_{r}}_{i}^{2}}{2m_{i}}}+{\frac {|{\mathbf {L} _{i}}|^{2}}{2m_{i}{r_{i}}^{2}}}\right)}$$

ハミルトニアンの運動エネルギー部分のこの形式は、中心ポテンシャル問題の解析に役立ち、量子力学的な枠組みに容易に変換できる（例えば、水素原子の問題など）。

任意の原点の周りを運動する粒子の集合については、粒子の運動を自身の重心と原点の周りの成分に分解して角運動量の式を導出することが有益である。

• ${\displaystyle m_{i}}$粒子の質量${\displaystyle i}$、
• ${\displaystyle \mathbf {R} _{i}}$は粒子の位置ベクトルです${\displaystyle i}$起源に関して、
• ${\displaystyle \mathbf {V} _{i}}$粒子の速度${\displaystyle i}$起源に関して、
• ${\displaystyle \mathbf {R} }$は原点に対する質量中心の位置ベクトルです。
• ${\displaystyle \mathbf {V} }$は原点に対する質量中心の速度です。
• ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$は粒子の位置ベクトルです${\displaystyle i}$質量中心に関して、
• ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$粒子の速度${\displaystyle i}$質量中心に関して、

粒子の総質量は単純にそれらの合計です。 $${\displaystyle M=\sum _{i}m_{i}.}$$

重心の位置ベクトルは次のように定義される。^{[ 30 ]}$${\displaystyle M\mathbf {R} =\sum _{i}m_{i}\mathbf {R} _{i}.}$$

検査により、

${\displaystyle \mathbf {R} _{i}=\mathbf {R} +\mathbf {r} _{i}}$そして${\displaystyle \mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +\mathbf {v} _{i}.}$

粒子群の全角運動量は、各粒子の角運動量の合計であり、

拡大${\displaystyle \mathbf {R} _{i}}$、

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=\sum _{i}\left[\left(\mathbf {R} +\mathbf {r} _{i}\right)\times m_{i}\mathbf {V} _{i}\right]\\&=\sum _{i}\left[\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {V} _{i}+\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {V} _{i}\right]\end{aligned}}}$

拡大${\displaystyle \mathbf {V} _{i}}$、

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=\sum _{i}\left[\mathbf {R} \times m_{i}\left(\mathbf {V} +\mathbf {v} _{i}\right)+\mathbf {r} _{i}\times m_{i}(\mathbf {V} +\mathbf {v} _{i})\right]\\&=\sum _{i}\left[\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {V} +\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {v} _{i}+\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {V} +\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}\right]\\&=\sum _{i}\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {V} +\sum _{i}\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {v} _{i}+\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {V} +\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}\end{aligned}}}$

（サイドバー参照）

${\displaystyle \sum _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}=\mathbf {0} }$そして${\displaystyle \sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}=\mathbf {0} ,}$

したがって、第２項と第３項は消滅し、

${\displaystyle \mathbf {L} =\sum _{i}\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {V} +\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}.}$

最初の項は並べ替えることができ、

${\displaystyle \sum _{i}\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {V} =\mathbf {R} \times \sum _{i}m_{i}\mathbf {V} =\mathbf {R} \times M\mathbf {V} ,}$

そして最終的に粒子群の全角運動量は、^{[ 31 ]}

第１項は、原点に対する重心の角運動量です。下記の§ 単一粒子と同様に、質量Mの粒子が速度Vで重心内を運動しているときの角運動量です。第２項は、下記の§ 固定重心と同様に、重心に対して運動する粒子の角運動量です。結果は一般的で、粒子の運動は原点または重心を中心とした回転や公転に限定されません。粒子は個々の質量である必要はなく、固体のような連続分布の要素でも構いません。

方程式（2）をベクトル恒等式で整理し、両方の項に「1」を掛け、適切にグループ化すると、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=M(\mathbf {R} \times \mathbf {V} )+\sum _{i}\left[m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}\right)\right],\\&={\frac {R^{2}}{R^{2}}}M\left(\mathbf {R} \times \mathbf {V} \right)+\sum _{i}\left[{\frac {r_{i}^{2}}{r_{i}^{2}}}m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}\right)\right],\\&=R^{2}M\left({\frac {\mathbf {R} \times \mathbf {V} }{R^{2}}}\right)+\sum _{i}\left[r_{i}^{2}m_{i}\left({\frac {\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}}{r_{i}^{2}}}\right)\right],\\\end{aligned}}}$$ 粒子系の全角運動量を慣性モーメントで表す${\displaystyle I}$角速度​${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$、

角運動量の古典的な定義は${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$r を量子位置演算子、pを量子運動量演算子と再​​解釈することで、量子力学に持ち越すことができる。Lは演算子であり、特に軌道角運動量演算子と呼ばれる。角運動量演算子の成分は、リー代数SO(3)の交換関係を満たす。^{[ 37 ]}実際、これらの演算子は、量子ヒルベルト空間に対する回転群の微小作用に正確に一致する。^{[ 38 ]}（回転の生成子としての角運動量演算子についての以下の議論も参照のこと。）

しかし、量子物理学では、スピン角運動量と呼ばれる別の種類の角運動量があり、スピン演算子Sで表されます。スピンは、粒子が軸を中心に回転している様子として描かれることが多いですが、これは誤解を招く不正確なイメージです。スピンは粒子の固有の性質であり、空間内のいかなる種類の運動とも関係がなく、軌道角運動量とは根本的に異なります。すべての素粒子は固有のスピンを持ち、^{[ 39 ]}ヒッグス粒子（スピン 0 を持ち、既知の唯一の素粒子スカラー粒子）を除くすべての素粒子でゼロではありません。^{[ 40 ]}例えば、電子は「スピン 1/2」（実際には「スピンħ /2」を意味します）、光子は「スピン 1」（実際には「スピン ħ」を意味します）、パイ中間子はスピン 0 を持ちます。^{[ 41 ]}

最後に、全角運動量Jがあり、これはすべての粒子と場のスピン角運動量と軌道角運動量の両方を組み合わせたものです。（1 つの粒子の場合、J = L + Sです。）角運動量の保存則はJには適用されますが、LやSには適用されません。たとえば、スピン軌道相互作用により、角運動量はLとSの間で行き来できますが、合計は一定のままです。電子と光子は、全角運動量に整数値を持つ必要はなく、半整数値を持つこともできます。^{[ 42 ]}

分子では、全角運動量Fは回転振動（軌道）角運動量N、電子スピン角運動量S、および核スピン角運動量Iの合計です。電子一重項状態の場合、回転振動角運動量はNではなくJで表されます。Van Vleck ^{[ 43 ]}が説明したように、分子固定軸に関する分子回転振動角運動量の成分は、空間固定軸に関する成分とは異なる交換関係を持ちます。

量子力学では、角運動量は量子化されている。つまり、連続的に変化することはできず、特定の許容値の間で「量子飛躍」的にしか変化しない。あらゆるシステムにおいて、測定結果には以下の制約が適用される。${\displaystyle \hbar }$は換算プランク定数であり、${\displaystyle {\hat {n}}}$x、y、zなどの任意のユークリッドベクトルです。

縮小プランク定数${\displaystyle \hbar }$は日常的な基準からすると非常に小さく、約 10⁻³⁴ ^J /sであるため、この量子化は巨視的な物体の角運動量に目立った影響を与えません。しかし、微視的な世界では非常に重要です。例えば、化学における電子殻や副殻の構造は、角運動量の量子化によって大きく影響を受けます。

角運動量の量子化は、ニールス・ボーアが原子模型の中で最初に提唱し、後にエルヴィン・シュレーディンガーがシュレーディンガー方程式の中で予言した。

定義において${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$6 人のオペレーターが関与しています:位置オペレーター${\displaystyle r_{x}}$、${\displaystyle r_{y}}$、${\displaystyle r_{z}}$、および運動量演算子${\displaystyle p_{x}}$、${\displaystyle p_{y}}$、${\displaystyle p_{z}}$しかし、ハイゼンベルクの不確定性原理によれば、これら6つの量をすべて同時に任意の精度で知ることは不可能です。したがって、粒子の角運動量について知ることができる、あるいは測定できる範囲には限界があります。実際には、角運動量ベクトルの大きさと、その1つの軸に沿った成分を同時に測定することが、最も確実な方法なのです。

この不確実性は、角運動量演算子の異なる成分が可換でないという事実と密接に関係している。${\displaystyle L_{x}L_{y}\neq L_{y}L_{x}}$（正確な交換関係については、角運動量演算子を参照してください。）

前述のように、軌道角運動量Lは古典力学において次のように定義される。${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$しかし、全角運動量Jは、より基本的な別の方法で定義されます。Jは「回転の生成子」として定義されます。^{[ 44 ]}より具体的には、Jは演算子が $${\displaystyle R({\hat {n}},\phi )\equiv \exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\phi \,\mathbf {J} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\right)}$$は、任意のシステムを受け取り、それを角度だけ回転させる回転演算子 です。${\displaystyle \phi }$軸について${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$（式中の「exp」は演算子指数を表します。）言い換えれば、量子ヒルベルト空間がどのようなものであっても、回転群SO(3)が作用すると予想されます。すると、SO(3)のリー代数so(3)の関連作用が生じます。so(3)がヒルベルト空間に作用する様子を表す演算子は、（全）角運動量演算子です。

角運動量演算子と回転演算子の関係は、数学におけるリー代数とリー群の関係と同じです。角運動量と回転の密接な関係は、物理法則が回転不変である限り角運動量が保存されることを証明するノーターの定理に反映されています。

レオンハルト・オイラー、ダニエル・ベルヌーイ、パトリック・ダルシーは皆、角運動量を面積速度の保存という観点から理解しており、これは彼らが惑星運動のケプラーの第二法則を分析した結果である。彼らが通常の回転する物質に対するその意味を理解していたとは考えにくい。^{[ 51 ]}

1736年、オイラーはニュートンと同様に、自身の著書『力学』の中で角運動量のいくつかの方程式に触れたが、それらをさらに発展させることはなかった。^{[ 52 ]}

ベルヌーイは1744年の手紙の中で「回転運動の瞬間」について書いており、これはおそらく現在私たちが理解している角運動量の最初の概念である。^{[ 53 ]}

1799年、ピエール＝シモン・ラプラスは、固定された平面が回転と関連していることを初めて認識した。これが彼の不変平面である。

ルイ・ポワンソは1803年に、回転を回転軸に垂直な線分として表現し始め、「モーメント保存則」について詳しく説明しました。

1852年、レオン・フーコーは地球の自転を示す実験でジャイロスコープを使用した。

ウィリアム・J・M・ランキンの1858年の著書『応用力学マニュアル』は、現代的な意味での角運動量を初めて定義した。

... その長さが角運動量の大きさに比例し、方向が物体の運動面と固定点の運動面に垂直な線であり、かつ、その線の端から物体の運動を見ると、物体の半径ベクトルが右回転しているように見えるような線。

同じ本の 1872 年版で、ランキンは「角運動量という用語はヘイワード氏によって導入された」と述べている^{[ 54 ]。}これはおそらく、1856 年に発表され、1864 年に出版された R.B. ヘイワードの論文「空間内で任意の方法で移動可能な軸に関する速度、加速度、および同様のすべての量を推定する直接法とその応用について」^{[ 55 ]}を指していると思われる。ランキンは間違っていた。18 世紀後半から 19 世紀初頭にかけて、この用語を扱った出版物が多数存在するからである^{[ 56 ]} 。しかし、ヘイワードの論文は明らかにこの用語の最初の使用例であり、英語圏の多くの人々が認識した概念であった。これ以前は、角運動量は英語では一般的に「回転運動量」と呼ばれていた^{[ 57 ] 。}