力の平行四辺形

力の平行四辺形は、物体に2 つの力を加えた結果を解く (または視覚化する) 方法です。 3 つ以上の力が関係する場合、幾何学は平行四辺形ではなくなりますが、同じ原理が力の多角形に適用されます。複数の力を加えた結果生じる力は、各力の矢印を描くことで幾何学的に求めることができます。 力の平行四辺形は、ベクトルの加算をグラフィカルに表現したものです。

粒子が一定時間（たとえば 1 秒 ）内に線 A から線 B （図 2）に沿って一定の速度で移動するとします。一方、同じ時間内に線 AB は AB の位置から DC の位置まで、最初から最後まで元の方向と平行を保ちながら均一に移動します。両方の動きを考慮すると、粒子は線 AC をトレースします。一定時間内の変位は速度の尺度であるため、AB の長さは粒子の AB に沿った速度の尺度、AD の長さは線の AD に沿った速度の尺度、AC の長さは粒子の AC に沿った速度の尺度です。粒子の動きは、粒子が単一の速度で AC に沿って移動した場合と同じです。^[1]

図 1 の原点 (ベクトルの「末端」) で2 つの力が粒子に作用するとします。ベクトルF ₁とF _{2の長さは、2 つの力が一定時間作用することで粒子に生み出すことができる}速度を表し、それぞれの方向はそれらが作用する方向を表します。各力は独立して作用し、もう一方の力が作用するかどうかに関係なく、特定の速度を生み出します。一定時間の終了時に、粒子は両方の速度を持ちます。上記の証明により、それらは単一の速度F _netに相当します。ニュートンの第 2 法則により、このベクトルはその速度を生み出す力の尺度でもあるため、2 つの力は単一の力に相当します。^[2]

力をユークリッドベクトルまたは の要素としてモデル化します。最初の仮定は、2 つの力の合力は実際には別の力であり、したがって任意の 2 つの力に対して別の力 が存在するということです。最後の仮定は、2 つの力の合力は回転しても変化しないということです。が任意の回転（ の通常のベクトル空間構造に対する任意の直交マップ）である場合、すべての力に対して${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbf {F} ,\mathbf {G} \in \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbf {F} \oplus \mathbf {G} \in \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle R:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \det R=1}$${\displaystyle \mathbf {F} ,\mathbf {G} \in \mathbb {R} ^{2}}$

$${\displaystyle R\left(\mathbf {F} \oplus \mathbf {G} \right)=R\left(\mathbf {F} \right)\oplus R\left(\mathbf {G} \right)}$$

長さ と の2つの垂直な力を考えます。ここでは の長さです。 ととし、 はとの間の回転なので、 となります。回転の不変性のもとで、次式を得ます。 ${\displaystyle \mathbf {F} _{1}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \mathbf {F} _{2}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {G} _{1}:={\tfrac {a^{2}}{x^{2}}}\left(\mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}\right)}$${\displaystyle \mathbf {G} _{2}:={\tfrac {a}{x}}R(\mathbf {F} _{2})}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \mathbf {F} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {G_{1}} ={\tfrac {a}{x}}R\left(\mathbf {F} _{1}\right)}$

$${\displaystyle \mathbf {F} _{1}={\frac {x}{a}}R^{-1}\left(\mathbf {G} _{1}\right)={\frac {a}{x}}R^{-1}\left(\mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}\right)={\frac {a}{x}}R^{-1}\left(\mathbf {F} _{1}\right)\oplus {\frac {a}{x}}R^{-1}\left(\mathbf {F} _{2}\right)=\mathbf {G} _{1}\oplus \mathbf {G} _{2}}$$

同様に、さらに 2 つの力とを考えます。をから への回転とします。これにより、 が成立します。 ${\displaystyle \mathbf {H} _{1}:=-\mathbf {G} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {H} _{2}:={\tfrac {b^{2}}{x^{2}}}\left(\mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}\right)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \mathbf {F} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {H} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {H} _{1}={\tfrac {b}{x}}T\left(\mathbf {F} _{1}\right)}$${\displaystyle \mathbf {H} _{2}={\tfrac {b}{x}}T\left(\mathbf {F} _{2}\right)}$

$${\displaystyle \mathbf {F} _{2}={\frac {x}{b}}T^{-1}\left(\mathbf {H} _{2}\right)={\frac {b}{x}}T^{-1}\left(\mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}\right)={\frac {b}{x}}T^{-1}\left(\mathbf {F} _{1}\right)\oplus {\frac {b}{x}}T^{-1}\left(\mathbf {F} _{2}\right)=\mathbf {H} _{1}\oplus \mathbf {H_{2}} }$$

これら2つの方程式を適用すると

$${\displaystyle \mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}=\left(\mathbf {G} _{1}\oplus \mathbf {G} _{2}\right)\oplus \left(\mathbf {H} _{1}\oplus \mathbf {H_{2}} \right)=\left(\mathbf {G} _{1}\oplus \mathbf {G} _{2}\right)\oplus \left(-\mathbf {G} _{2}\oplus \mathbf {H} _{2}\right)=\mathbf {G} _{1}\oplus \mathbf {H} _{2}}$$

と は両方とも に沿っているので、それらの長さは等しい${\displaystyle \mathbf {G} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {H} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}}$${\displaystyle x=\left|\mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}\right|=\left|\mathbf {G} _{1}\oplus \mathbf {H} _{2}\right|={\tfrac {a^{2}}{x}}+{\tfrac {b^{2}}{x}}}$

$${\displaystyle x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$$

これは の長さが であり、これは の長さであることを意味します。したがって、と が垂直な場合、となります。ただし、2組の補助力を結合する際には、 の結合性を使用しました。この追加の仮定を使用して、以下で追加の証明を作成します。^{[3] [4]}${\displaystyle \mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}=a\mathbf {e} _{1}\oplus b\mathbf {e} _{2}}$${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$${\displaystyle a\mathbf {e} _{1}+b\mathbf {e} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {F} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {F} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}=\mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2}}$${\displaystyle \oplus }$

力をユークリッドベクトルまたは の要素としてモデル化します。最初の仮定は、2 つの力の合力は実際には別の力であり、したがって任意の 2 つの力に対して別の力が存在するということです。これらは同時に適用される力であるため、順序は重要ではないため、交換性を仮定します。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbf {F} ,\mathbf {G} \in \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbf {F} \oplus \mathbf {G} \in \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbf {F} \oplus \mathbf {G} =\mathbf {G} \oplus \mathbf {F} }$

地図を見てみよう $${\displaystyle (a,b)=a\mathbf {e} _{1}+b\mathbf {e} _{2}\mapsto a\mathbf {e} _{1}\oplus b\mathbf {e} _{2}}$$

が結合的であれば、この写像は線形となる。また、を に、を に送るので、恒等写像でもある。したがって、 は通常のベクトル加算演算子と等価でなければならない。^{[3] [5]}${\displaystyle \oplus }$${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{2}}$${\displaystyle \oplus }$

力の平行四辺形に関する数学的証明は、一般に数学的に有効であるとは認められていない。さまざまな証明（主にデュシャイラとポアソンの証明）が開発され、これらも異論を引き起こした。力の平行四辺形が正しいことは疑問視されず、なぜ正しいのかが問われた。今日、力の平行四辺形は経験的事実として認められており、ニュートンの第一原理には還元できない。 ^{[3] [6]}

• ニュートンの自然哲学の数学的原理、運動の公理または法則、系 I、Wikisource より
• ベクトル（幾何学）
• ネットフォース