比角運動量

天体力学では、物体の特定の相対角運動量（または と表記されることが多い）は、その物体の角運動量をその質量で割ったものである。 ^{[1] 2つの}軌道を回る物体の場合、相対位置と相対線運動量のベクトル積を、その物体の質量で割ったものである 。${\displaystyle {\vec {h}}}$${\displaystyle \mathbf {h} }$

特定の相対角運動量は、理想的な条件下では特定の軌道に対して一定であるため、二体問題の解析において極めて重要な役割を果たします。この文脈における「特定の」は、単位質量あたりの角運動量を示します。特定の相対角運動量のSI 単位は平方メートル毎秒です。

特定の相対角運動量は、相対位置ベクトルと相対速度ベクトルの外積として定義されます。 ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$$${\displaystyle \mathbf {h} =\mathbf {r} \times \mathbf {v} ={\frac {\mathbf {L} }{m}}}$$

ここで は角運動量ベクトルであり、 と定義されます。 ${\displaystyle \mathbf {L} }$${\displaystyle \mathbf {r} \times m\mathbf {v} }$

ベクトルは、瞬間的な接触軌道面に対して常に垂直であり、瞬間的な摂動軌道と一致します。時間の経過に伴う平均軌道面に対して必ずしも垂直であるとは限りません。 ${\displaystyle \mathbf {h} }$

特定の条件下では、特定の角運動量が一定であることが証明できます。この証明の条件は次のとおりです。

• 一方の物体の質量はもう一方の物体の質量よりもはるかに大きい。（）${\displaystyle m_{1}\gg m_{2}}$
• 座標系は慣性座標系です。
• 各物体は球対称な質点として扱うことができます。
• 2 つの物体を結び付ける重力以外の力は、システムには作用しません。

証明は、ニュートンの万有引力の法則から導かれる二体運動方程式から始まります。

$${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}+{\frac {Gm_{1}}{r^{2}}}{\frac {\mathbf {r} }{r}}=0}$$

どこ：

• ${\displaystyle \mathbf {r} }$は、スカラーの大きさを持つからまでの位置ベクトルです。${\displaystyle m_{1}}$${\displaystyle m_{2}}$${\displaystyle r}$
• ${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}}$は の2次時間微分です。（加速度）${\displaystyle \mathbf {r} }$
• ${\displaystyle G}$は重力定数です。

位置ベクトルと運動方程式の外積は次のようになります。

$${\displaystyle \mathbf {r} \times {\ddot {\mathbf {r} }}+\mathbf {r} \times {\frac {Gm_{1}}{r^{2}}}{\frac {\mathbf {r} }{r}}=0}$$

2番目の項が消える ため:${\displaystyle \mathbf {r} \times \mathbf {r} =0}$

$${\displaystyle \mathbf {r} \times {\ddot {\mathbf {r} }}=0}$$

また、次のことも導き出せます。 $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}\right)={\dot {\mathbf {r} }}\times {\dot {\mathbf {r} }}+\mathbf {r} \times {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {r} \times {\ddot {\mathbf {r} }}}$$

これら 2 つの方程式を組み合わせると次のようになります。 $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}\right)=0}$$

時間微分はゼロに等しいので、量は一定です。位置の変化率の代わりに速度ベクトルを使用し、特定の角運動量については、 一定です。 ${\displaystyle \mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {h} }$$${\displaystyle \mathbf {h} =\mathbf {r} \times \mathbf {v} }$$

これは、問題の物体の質量が含まれていないため、 運動量の通常の構築とは異なります。${\displaystyle \mathbf {r} \times \mathbf {p} }$

ケプラーの惑星運動の法則は、上記の関係によってほぼ直接的に証明できます。

証明は再び二体問題の方程式から始まります。今回は外積に特定の相対角運動量を掛けます。 $${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {h} =-{\frac {\mu }{r^{2}}}{\frac {\mathbf {r} }{r}}\times \mathbf {h} }$$

角運動量は一定なので、 左辺は導関数に等しくなります。${\textstyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {h} \right)}$

いくつかの手順（ベクトルの三重積の使用や、スカラーをベクトルのノルムではなく視線速度として定義することなど）を実行すると、右辺は次のようになります。 ${\displaystyle {\dot {r}}}$${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}}$$${\displaystyle -{\frac {\mu }{r^{3}}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {h} \right)=-{\frac {\mu }{r^{3}}}\left(\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \right)\mathbf {r} -r^{2}\mathbf {v} \right)=-\left({\frac {\mu }{r^{2}}}{\dot {r}}\mathbf {r} -{\frac {\mu }{r}}\mathbf {v} \right)=\mu {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\mathbf {r} }{r}}\right)}$$

これら2つの式を等しくし、時間について積分すると、次の式が得られます（積分定数を使用）。 ${\displaystyle \mathbf {C} }$$${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {h} =\mu {\frac {\mathbf {r} }{r}}+\mathbf {C} }$$

この式を（ドット積で）掛けて整理する と、${\displaystyle \mathbf {r} }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} \cdot \left({\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {h} \right)&=\mathbf {r} \cdot \left(\mu {\frac {\mathbf {r} }{r}}+\mathbf {C} \right)\\\Rightarrow \left(\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}\right)\cdot \mathbf {h} &=\mu r+rC\cos \theta \\\Rightarrow h^{2}&=\mu r+rC\cos \theta \end{aligned}}}$$

最終的に軌道方程式が得られる^[1] $${\displaystyle r={\frac {\frac {h^{2}}{\mu }}{1+{\frac {C}{\mu }}\cos \theta }}}$$

これは、半緯度直角と偏心を持つ極座標における円錐曲線の方程式です。 ${\textstyle p={\frac {h^{2}}{\mu }}}$${\textstyle e={\frac {C}{\mu }}}$

第二法則は、特定の相対角運動量の絶対値を計算するための3つの方程式のうちの2番目の方程式から直ちに導かれます。^[1]

この式を、非常に小さな角度を持つ扇形（非常に小さな一辺を持つ三角形） の面積の関係と結び付けると、次の式が得られる。${\textstyle \mathrm {d} t={\frac {r^{2}}{h}}\,\mathrm {d} \theta }$${\textstyle \mathrm {d} A={\frac {r^{2}}{2}}\,\mathrm {d} \theta }$${\displaystyle \mathrm {d} \theta }$$${\displaystyle \mathrm {d} t={\frac {2}{h}}\,\mathrm {d} A}$$

ケプラーの第三法則は第二法則の直接的な帰結である。一回転にわたって積分すると軌道周期が得られる^[1] $${\displaystyle T={\frac {2\pi ab}{h}}}$$

楕円の面積を求める。半短軸を に、特定の相対角運動量を に置き換えると、次の式が得られる。 ${\displaystyle \pi ab}$${\displaystyle b={\sqrt {ap}}}$${\displaystyle h={\sqrt {\mu p}}}$$${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}}$$

したがって、衛星の軌道長半径と軌道周期の間には、中心天体の定数に還元できる関係があります。

• 比軌道エネルギー、二体問題におけるもう一つの保存量。
• 古典的な中心力問題 § 比角運動量