面速度

面速度
面積速度は、曲線 da/dt=const (青で表示) に沿って移動する粒子の位置ベクトル (基準点 A に対して) によって単位時間あたりに掃引される面積です。
その他の名前	面速度
SI単位	メートル2 /秒
寸法	長さ2 T −1

古典力学では、面速度（セクター速度またはセクター速度とも呼ばれる）は、曲線に沿って移動する粒子によって掃引される面積の変化率に等しい長さの擬似ベクトルです。SI単位系は平方メートル毎秒（m ² /s）で、次元は時間あたりの平方長さ L 2 ^T −1^です。

隣の図では、粒子が青い曲線に沿って動いていると仮定します。ある時間tに、粒子は点Bにあり、少し後の時間t + Δ tに、粒子は点Cに移動しています。粒子によって掃引された領域は、図では線分ABと線分ACおよび粒子が移動する曲線によって区切られ、緑色で示されています。面速度の大きさ (つまり、面速さ) は、この領域の面積を、 Δ t が無視できるほど小さくなる極限で時間間隔 Δ tで割ったものです。ベクトルの方向は、右手の法則として知られる慣例に従い、粒子の位置と速度ベクトルを含む平面に対して垂直であると仮定されます。

面速度の保存は中心力運動の一般的な性質であり[ ^1]、古典力学の文脈では角運動量の保存と同等である。

面速度は角運動量と密接な関係があります。どの物体も原点の周りの軌道角運動量を持ち、これは乗法スカラー定数を除けば、同じ原点の周りの物体の面速度に等しくなります。角運動量の重要な特性は、中心力（つまり、原点に向かってまたは原点から遠ざかる方向に放射状に作用する力）の作用下で保存されることです。歴史的に、角運動量保存の法則は、面速度の観点からのみ述べられていました。

この特別なケースはケプラーの第二法則で、太陽を原点とする惑星の面速度は時間に対して一定であると述べている。惑星に作用する重力はほぼ中心力であるため（惑星の質量は太陽の質量に比べて小さいため）、惑星の角運動量（したがって面速度）は（ほぼ）一定のままでなければならない。アイザック・ニュートンはケプラーの第二法則の力学的重要性を認識した最初の科学者である。彼は運動の法則を利用して、1684年に、固定された中心に引き寄せられる惑星はすべて、等しい時間間隔で等しい面積を掃引することを証明した。このため、角運動量保存の法則は歴史的に「等面積の原理」と呼ばれていた。角運動量保存の法則は後に拡張され、面速度の概念では簡単に説明できないより複雑な状況に一般化された。角運動量保存の法則の現代版にはケプラーの第二法則以上のものが含まれているため、現代の著作では「等面積の原理」という呼称は使われなくなっています。

最初の図の状況では、時間間隔 Δ tの間に粒子によって掃引される面積は、三角形ABCの面積にほぼ等しくなります。 Δ t がゼロに近づくにつれて、このほぼ等しい状態は、極限として正確になります。

点D が図に示す平行四辺形ABDCの 4 番目の角であるとします。この場合、ベクトルABとAC は平行四辺形の法則によりベクトルADに加算されます。三角形ABCの面積は平行四辺形ABDCの面積の半分になり、 ABDCの面積はベクトルABとACの外積の大きさに等しくなります。この面積は、この大きさを持ち、平行四辺形に垂直な方向を指す (右手の法則に従う) (疑似) ベクトルと見なすこともできます。このベクトルは外積そのものです。 $${\displaystyle {\text{平行四辺形のベクトル面積}}ABCD=\mathbf {r} (t)\times \mathbf {r} (t+\Delta t).}$$

したがって $${\displaystyle {\text{三角形のベクトル面積}}ABC={\frac {\mathbf {r} (t)\times \mathbf {r} (t+\Delta t)}{2}}.}$$

面積速度は、 Δ t が無視できるほど小さくなる極限で、このベクトル面積を Δ tで割った値です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{面速度}}&=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\mathbf {r} (t)\times \mathbf {r} ( t+\Delta t)}{2\Delta t}}\\&=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\mathbf {r} (t)\times {\bigl (}\mathbf {r} (t)+\mathbf {r} \,'(t)\Delta t{\bigr )}}{2\Delta t}}\\&= \lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\mathbf {r} (t)\times \mathbf {r} \,'(t)}{2}}\left({\Delta t \over \Delta t}\right)\\&={\frac {\mathbf {r} (t)\times \mathbf {r} \,'(t)}{2}}.\end{aligned}}}$$

しかし、運動する粒子の 速度ベクトルは、${\displaystyle \mathbf {r} \,'(t)}$${\displaystyle \mathbf {v} (t)}$$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {A} }{dt}}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{2}}.}$$

一方、粒子の角運動量は

$${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times m\mathbf {v} ,}$$

したがって、角運動量は面積速度の 2 m倍に等しくなります。

面速度は、古典電気力学における磁気双極子の概念とも密接に関係しています。すべての電流は、特定の原点の周りで磁気双極子モーメントと呼ばれる (擬似) ベクトル量を持っています。電流が単一の移動点電荷から成る特殊なケースでは、任意の特定の原点の周りの磁気双極子モーメントは、スカラー係数を除けば、同じ原点の周りの電荷の面速度に等しくなります。電流が多数だが有限の数の移動点電荷から成るより一般的なケースでは、磁気双極子モーメントは各電荷の双極子モーメントの合計であり、したがってすべての電荷の面速度の合計に比例します。電流内の電荷の数が無限になる連続性限界では、合計は積分になります。つまり、特定の原点の周りの連続電流の磁気双極子モーメントは、スカラー係数を除けば、電流経路に沿った面速度の積分に等しくなります。電流経路が閉ループであり、ループ内のすべてのポイントで電流が同じである場合、この積分は選択された原点に依存しないことが判明し、磁気双極子モーメントは電流ループに関連付けられた基本定数になります。

• 角運動量
• 比角運動量
• 楕円座標系

• モールトン、FR（1970）[1914]。天体力学入門。ドーバー。ISBN 978-0-486-64687-9。
• ゴールドスタイン、H. (1980)。古典力学（第2版）。アディソン・ウェスレー。ISBN 978-0-486-68063-7。
• Casey, J. (2007). 「粒子力学に​​おける非平面問題に対する面積速度と角運動量」. American Journal of Physics . 75 (8): 677– 685. Bibcode :2007AmJPh..75..677C. doi : 10.1119/1.2735630 .
• ブラッケンリッジ、JB (1995)。『ニュートン力学の鍵：ケプラー問題とプリンキピア』バークレー：カリフォルニア大学出版局。ISBN 978-0-520-20217-7. JSTOR  10.1525/j.ctt1ppn2m.