モメンタム

弾性衝突とは、運動エネルギーが熱や他の形態のエネルギーに変換されない衝突のことです。完全弾性衝突は、原子や核の散乱のように、物体同士が接触しない場合に発生します。この場合、電気的反発力によって物体は離れています。惑星の周りを回る衛星のスイングバイ運動も、完全弾性衝突と見なすことができます。2つのビリヤードボールの衝突は、その高い剛性のため、ほぼ完全に弾性衝突の良い例ですが、物体が接触すると必ず何らかのエネルギー散逸が生じます。^{[ 9 ]}

2つの物体間の正面衝突は、物体を通る直線に沿った1次元の速度で表すことができます。衝突前の速度をv _A1とv _{B1 、衝突後の速度を}v _A2とv _B2とすると、運動量保存則と運動エネルギー保存則を表す方程式は次のようになります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}m_{A}v_{A1}+m_{B}v_{B1}&=m_{A}v_{A2}+m_{B}v_{B2}\\{\tfrac {1}{2}}m_{A}v_{A1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{B}v_{B1}^{2}&={\tfrac {1}{2}}m_{A}v_{A2}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{B}v_{B2}^{2}\,.\end{aligned}}}$$

基準系を変更することで、衝突の解析を簡略化できます。たとえば、質量mが等しい 2 つの物体があり、一方は静止していて、もう一方が速度vで他方に接近しているとします(図のように)。重心は速度⁠ v / 2 ⁠で移動しており、両方の物体は速度⁠ v / 2 ⁠で重心に向かって移動しています。対称性により、衝突後、両方の物体は同じ速度で重心から遠ざかることになります。両方の物体に重心の速度を加えると、動いていた物体は停止し、もう一方の物体は速度vで遠ざかっていることがわかります。物体は速度を交換しました。物体の速度に関係なく、重心系に切り替えると、同じ結論が得られます。したがって、最終速度は^{[ 4 ]で与えられます。}

$${\displaystyle {\begin{aligned}v_{A2}&=v_{B1}\\v_{B2}&=v_{A1}\,.\end{aligned}}}$$

一般に、初期速度が既知の場合、最終速度は^{[ 10 ]で与えられる。}

$${\displaystyle {\begin{aligned}v_{A2}&=\left({\frac {m_{A}-m_{B}}{m_{A}+m_{B}}}\right)v_{A1}+\left({\frac {2m_{B}}{m_{A}+m_{B}}}\right)v_{B1}\\v_{B2}&=\left({\frac {m_{B}-m_{A}}{m_{A}+m_{B}}}\right)v_{B1}+\left({\frac {2m_{A}}{m_{A}+m_{B}}}\right)v_{A1}\,.\end{aligned}}}$$

一方の物体が他方の物体よりもはるかに大きな質量を持っている場合、衝突によってその物体の速度はほとんど変化しないが、他方の物体は大きな変化を経験する。

非弾性衝突では、衝突する物体の運動エネルギーの一部が他の形態のエネルギー（熱や音など）に変換されます。例としては、交通事故^{[ 11 ]}（運動エネルギーの損失の影響は車両の損傷に見られます）、電子が原子にエネルギーの一部を失うこと（フランク・ヘルツ実験など）^{[ 12 ]} 、運動エネルギーが新しい粒子の形で質量に変換される粒子加速器などがあります。

完全非弾性衝突（例えば、虫がフロントガラスにぶつかる場合）では、衝突後、両方の物体は同じ運動をします。2つの物体間の正面非弾性衝突は、物体を通る線に沿った1次元の速度で表すことができます。衝突前の速度がv _A1とv _B1である場合、完全非弾性衝突では、衝突後、両方の物体は速度v ₂で移動します。運動量保存の法則を表す式は次のとおりです。

$${\displaystyle {\begin{aligned}m_{A}v_{A1}+m_{B}v_{B1}&=\left(m_{A}+m_{B}\right)v_{2}\,.\end{aligned}}}$$

一方の物体が最初から静止している場合（例：${\displaystyle v_{B1}=0}$)運動量保存の法則の式は

$${\displaystyle m_{A}v_{A1}=\left(m_{A}+m_{B}\right)v_{2}\,,}$$

それで

$${\displaystyle v_{2}={\frac {m_{A}}{m_{A}+m_{B}}}v_{A1}\,.}$$

別の状況では、基準系が最終速度で移動している場合、${\displaystyle v_{2}=0}$物体は完全非弾性衝突によって静止し、運動エネルギーの100%が他の形態のエネルギーに変換される。この場合、物体の初速度はゼロではないか、あるいは物体は質量を持たない必要がある。

衝突の非弾性の尺度の一つは反発係数C _Rであり、これは分離の相対速度と接近​​の相対速度の比として定義されます。固体表面から跳ね返るボールにこの尺度を適用すると、次の式を使用して簡単に測定できます。^{[ 13 ]}

$${\displaystyle C_{\text{R}}={\sqrt {\frac {\text{跳ね返り高さ}}{\text{落下高さ}}}}\,.}$$

運動量とエネルギーの方程式は、一緒に動き始めてから離れていく物体の運動にも適用されます。たとえば、爆発は、化学的、機械的、または核的な形で蓄えられた位置エネルギーを運動エネルギー、音響エネルギー、および電磁放射に変換する連鎖反応の結果です。ロケットも運動量保存の法則を利用します。推進剤が外側に押し出されて運動量を獲得し、ロケットに等しく反対方向の運動量が与えられます。^{[ 14 ]}

In fields such as fluid dynamics and solid mechanics, it is not feasible to follow the motion of individual atoms or molecules. Instead, the materials must be approximated by a continuum in which, at each point, there is a particle or fluid parcel that is assigned the average of the properties of atoms in a small region nearby. In particular, it has a density ρ and velocity v that depend on time t and position r. The momentum per unit volume is ρv.^[31]

Consider a column of water in hydrostatic equilibrium. All the forces on the water are in balance and the water is motionless. On any given drop of water, two forces are balanced. The first is gravity, which acts directly on each atom and molecule inside. The gravitational force per unit volume is ρg, where g is the gravitational acceleration. The second force is the sum of all the forces exerted on its surface by the surrounding water. The force from below is greater than the force from above by just the amount needed to balance gravity. The normal force per unit area is the pressurep. The average force per unit volume inside the droplet is the gradient of the pressure, so the force balance equation is^[32]

$${\displaystyle -\nabla p+\rho \mathbf {g} =0\,.}$$

If the forces are not balanced, the droplet accelerates. This acceleration is not simply the partial derivative ⁠∂v/∂t⁠ because the fluid in a given volume changes with time. Instead, the material derivative is needed:^[33]

$${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}\equiv {\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\,.}$$

Applied to any physical quantity, the material derivative includes the rate of change at a point and the changes due to advection as fluid is carried past the point. Per unit volume, the rate of change in momentum is equal to ρ⁠Dv/Dt⁠. This is equal to the net force on the droplet.

液滴の運動量を変化させる力には、前述の圧力勾配と重力が含まれます。さらに、表面力によって液滴が変形することもあります。最も単純な場合、液滴の表面に平行な力によって生じるせん断応力τは、変形速度またはひずみ速度に比例します。このようなせん断応力は、流体が片側で他方よりも速く動いているため、流体に速度勾配がある場合に発生します。x方向の速度がzによって変化する場合、z方向に垂直な単位面積あたりのx方向の接線力は次のようになります。

$${\displaystyle \sigma _{zx}=-\mu {\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}\,,}$$

ここでμは粘度である。これはまた、表面を通過するx運動量の単位面積あたりの流量、つまり流れでもある。 ^{[ 34 ]}

粘性の影響を含めたニュートン流体の非圧縮性流れの運動量保存方程式は次のようになる。

$${\displaystyle \rho {\frac {D\mathbf {v} }{Dt}}=-{\boldsymbol {\nabla }}p+\mu \nabla ^{2}\mathbf {v} +\rho \mathbf {g} .\,}$$

これらはナビエ・ストークス方程式として知られています。^{[ 35 ]}

運動量保存方程式は、固体を含むより一般的な材料にも拡張できます。方向iに法線、方向jに力が作用する各表面には、応力成分σ _{i j}が存在します。これら 9 つの成分は、圧力とせん断の両方を含むコーシー応力テンソルσを構成します。局所的な運動量保存は、コーシー運動量方程式で表されます。

$${\displaystyle \rho {\frac {D\mathbf {v} }{Dt}}={\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {f} \,,}$$

ここで、fは体積力である。^{[ 36 ]}

コーシーの運動量方程式は、固体や液体の変形に広く適用できます。応力とひずみ速度の関係は、材料の特性によって異なります（「粘性の種類」を参照）。

媒質中の擾乱は、発生源から伝播する振動、すなわち波動を生じさせる。流体中の圧力pの微小変化は、多くの場合、音響波動方程式で記述できる。

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}p\,,}$$

ここでcは音速である。固体では、圧力波 ( P 波) とせん断波 ( S 波)の伝播について同様の方程式が得られる。^{[ 37 ]}

速度v _iによる運動量成分ρ v _jの単位面積あたりのフラックス、つまり輸送量はρ v _j v _jに等しい。上記の音響方程式につながる線形近似では、このフラックスの時間平均はゼロである。しかし、非線形効果により、ゼロでない平均値が生じる可能性がある。^{[ 38 ]}波自体が平均運動量を持たない場合でも、運動量フラックスが発生する可能性がある。^{[ 39 ]}

マクスウェル方程式では、粒子間の力は電場と磁場によって媒介されます。電荷qを持つ粒子に電場Eと磁場Bの組み合わせによって働く電磁力（ローレンツ力）は次のようになります。

$${\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} ).}$$

（SI単位系）。^{[ 40 ]： 2}電気ポテンシャルφ（r、t）と磁気ベクトルポテンシャルA（r、t） を持つ。^{[ 22 ]} 非相対論的領域では、その一般化運動量は

$${\displaystyle \mathbf {P} =m\mathbf {\mathbf {v} } +q\mathbf {A} ,}$$

相対論的力学では、これは

$${\displaystyle \mathbf {P} =\gamma m\mathbf {\mathbf {v} } +q\mathbf {A} .}$$

量V = q A は、ポテンシャル運動量と呼ばれることがあります。^{[ 41 ] [ 42 ] [ 43 ]}これは、粒子と電磁場との相互作用による運動量です。この名称は、粒子と電磁場との相互作用によるエネルギーであるポテンシャルエネルギーU = q φとの類推によるものです。これらの量は 4 次元ベクトルを形成するため、類推は妥当です。さらに、ポテンシャル運動量の概念は、電磁場のいわゆる隠れた運動量を説明する上で重要です。 ^{[ 44 ]}

ニュートン力学では、運動量保存の法則は作用反作用の法則から導き出され、すべての力には等しく反対向きの反作用の力が働くことを述べています。状況によっては、運動する荷電粒子が互いに反対方向ではない方向に力を及ぼし合うことがあります。^{[ 45 ]}それにもかかわらず、粒子と電磁場の運動量の合計は保存されます。

ニュートン力学では、絶対時間と絶対空間は観測者の外に存在すると仮定され、これがガリレオ不変性を生み出します。また、光速が基準系によって変化する可能性があるという予測も導きます。これは観測結果と矛盾します。特殊相対性理論では、アインシュタインは運動方程式が基準系に依存しないという仮定を維持しつつ、光速cが不変であると仮定します。その結果、2つの基準系における位置と時間は、ガリレオ変換ではなくローレンツ変換によって関連付けられます。^{[ 51 ]}

例えば、ある基準系が別の基準系に対してx方向に速度vで移動している場合を考えてみましょう。ガリレオ変換により、移動する基準系の座標は次のようになります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=t\\x'&=x-vt\end{aligned}}}$$

ローレンツ変換では^{[ 52 ]が得られる。}

$${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\\x'&=\gamma \left(x-vt\right)\,\end{aligned}}}$$

ここでγはローレンツ因子である。

$${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}.}$$

質量が一定の場合、ニュートンの第二法則はローレンツ変換に対して不変ではない。しかし、物体の慣性質量mを速度の関数とすることで、不変にすることができる。

$${\displaystyle m=\gamma m_{0}\,;}$$

m ₀は物体の不変質量である。 ^{[ 53 ]}

修正された運動量、

$${\displaystyle \mathbf {p} =\gamma m_{0}\mathbf {v} \,,}$$

ニュートンの第二法則に従う：

$${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\,.}$$

古典力学の領域内では、相対論的運動量はニュートン力学の運動量に非常に近い値をとる。低速では、γ m ₀ vは運動量のニュートン力学の式であるm ₀ vとほぼ等しい。

特殊相対性理論では、物理量は、3 つの空間座標に加えて、4 番目の座標として時間を含む4 つのベクトルで表されます。これらのベクトルは一般に大文字で表され、たとえば位置の場合はR です。4運動量の式は、座標の表現方法に依存します。時間は通常の単位で与えられるか、光速を掛けて 4 つのベクトルのすべての成分が長さの次元を持つようにすることができます。後者のスケーリングが使用される場合、^{[ 54 ]}で定義される固有時間τの間隔が与えられます。

$${\displaystyle c^{2}{\text{d}}\tau ^{2}=c^{2}{\text{d}}t^{2}-{\text{d}}x^{2}-{\text{d}}y^{2}-{\text{d}}z^{2}\,,}$$

ローレンツ変換に対して不変である（この式および以降の記述では、(+ − − −)の計量記号が使用されているが、著者によって異なる慣例が用いられている）。数学的には、この不変性は、4元ベクトルをユークリッドベクトルとして扱い、時間を√ −1倍するか、時間を実数として扱い、ベクトルをミンコフスキー空間に埋め込むかのいずれかの方法で保証できる。^{[ 55 ]}ミンコフスキー空間では、2つの4元ベクトルU = ( U ₀ , U ₁ , U ₂ , U ₃ )とV = ( V ₀ , V ₁ , V ₂ , V ₃ )のスカラー積は次のように定義される。

$${\displaystyle \mathbf {U} \cdot \mathbf {V} =U_{0}V_{0}-U_{1}V_{1}-U_{2}V_{2}-U_{3}V_{3}\,.}$$

すべての座標系において、（反変）相対論的4元速度は次のように定義される。

$${\displaystyle \mathbf {U} \equiv {\frac {{\text{d}}\mathbf {R} }{{\text{d}}\tau }}=\gamma {\frac {{\text{d}}\mathbf {R} }{{\text{d}}t}}\,,}$$

そして（反変）4運動量は

$${\displaystyle \mathbf {P} =m_{0}\mathbf {U} \,,}$$

where m₀ is the invariant mass. If R = (ct, x, y, z) (in Minkowski space), then

$${\displaystyle \mathbf {P} =\gamma m_{0}\left(c,\mathbf {v} \right)=(mc,\mathbf {p} )\,.}$$

Using Einstein's mass–energy equivalence, E = mc², this can be rewritten as

$${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},\mathbf {p} \right)\,.}$$

Thus, conservation of four-momentum is Lorentz-invariant and implies conservation of both mass and energy.

The magnitude of the momentum four-vector is equal to m₀c:

$${\displaystyle \|\mathbf {P} \|^{2}=\mathbf {P} \cdot \mathbf {P} =\gamma ^{2}m_{0}^{2}\left(c^{2}-v^{2}\right)=(m_{0}c)^{2}\,,}$$

and is invariant across all reference frames.

The relativistic energy–momentum relationship holds even for massless particles such as photons; by setting m₀ = 0 it follows that

$${\displaystyle E=pc\,.}$$

In a game of relativistic "billiards", if a stationary particle is hit by a moving particle in an elastic collision, the paths formed by the two afterwards will form an acute angle. This is unlike the non-relativistic case where they travel at right angles.^[56]

The four-momentum of a planar wave can be related to a wave four-vector^[57]

$${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {\mathbf {p} }}\right)=\hbar \mathbf {K} =\hbar \left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)}$$

For a particle, the relationship between temporal components, E = ħω, is the Planck–Einstein relation, and the relation between spatial components, p = ħk, describes a de Brogliematter wave.

In about 530 AD, John Philoponus developed a concept of momentum in On Physics, a commentary to Aristotle's Physics. Aristotle claimed that everything that is moving must be kept moving by something. For example, a thrown ball must be kept moving by motions of the air. Philoponus pointed out the absurdity in Aristotle's claim that motion of an object is promoted by the same air that is resisting its passage. He proposed instead that an impetus was imparted to the object in the act of throwing it.^[58]

1020年、イブン・シーナー（ラテン語名アヴィセンナとしても知られる）はフィロポノスを読み、 『治癒の書』の中で自身の運動理論を発表した。彼は、投擲者が投射物に勢いを与えることに同意したが、真空中でも衰える一時的な効力であると信じていたフィロポノスとは異なり、彼はそれを持続的なものとみなし、空気抵抗などの外力によって消散させる必要があると考えた。^{[ 59 ] [ 60 ] [ 61 ]}

13 世紀と 14 世紀に、ピエール・オリヴィとジャン・ブリダンはフィロポノスの著作、そしておそらくイブン・シーナーの著作を読み、洗練させた。^{[ 61 ]} 1350 年頃にパリ大学の学長に就任したブリダンは、運動量は重量と速度の積に比例すると述べている。さらに、ブリダンの理論は、運動量が自己消散するとは考えておらず、物体は運動量に抵抗する可能性のある空気抵抗と重力によって停止すると主張した点で、前任者の理論とは異なっていた。^{[ 62 ] [ 63 ]}

1644年の『哲学原理』（Principia Philosophiae ） の中で、フランスの哲学者ルネ・デカルトは「運動量」（ラテン語：quantitas motus）を大きさと速度の積として定義し^{[ 64 ]}、宇宙における運動の総量は保存されると主張した^{[ 64 ] [ 65 ] 。}

xがyの2倍の大きさで、半分の速さで動いている場合、それぞれの動きの量は同じである。

神は物質とその運動を創造し、物事が自然に展開するに任せることで、最初に与えたのと同じ量の運動を維持している。

これは、現代の運動量保存の法則の記述として読むべきではない。なぜなら、デカルトは質量を重さや大きさとは区別して考えていなかったからである。（重さとは区別して質量という概念は、1686年にニュートンによって導入された。）^{[ 66 ]}さらに重要なことに、彼は速度ではなく速さが保存されると信じていた。したがって、デカルトにとって、動いている物体が表面から跳ね返り、方向は変わるが速度は変わらない場合、その運動量は変化しないことになる。^{[ 67 ] [ 68 ] [ 69 ]}ガリレオは、彼の著書『二つの新科学』（1638年出版）の中で、イタリア語のimpetoという言葉を使って、デカルトの運動量を同様に表現している。

1600年代、クリスティアーン・ホイヘンスは、2つの物体の弾性衝突に関するデカルトの法則は間違っているに違いないとかなり早い段階で結論づけ、正しい法則を定式化した。 ^{[ 70 ]}重要な一歩は、問題のガリレオ不変性を認識したことだった。 ^{[ 71 ]}その後、彼の見解が広まるまでには長い年月を要した。彼は1661年にロンドンでウィリアム・ブロンカーとクリストファー・レンに直接伝えた。^{[ 72 ]}スピノザが第二次英蘭戦争中の1666年にヘンリー・オルデンバーグに書いた内容は慎重だった。^{[ 73 ]}ホイヘンスは実際には1652年から1656年の間に手稿『De motu corporum ex percussione』でそれらを研究していた。戦争は1667年に終結し、ホイヘンスは1668年に王立協会に研究結果を発表した。彼は1669年にそれを『 Journal des sçavans 』に発表した。 ^{[ 74 ]}

1670年、ジョン・ウォリスは『Mechanica sive De Motu, Tractatus Geometricus 』の中で、運動量保存の法則を次のように述べている。「物体の初期状態（静止状態または運動状態）は維持される」および「力が抵抗よりも大きい場合、運動が生じる」。^{[ 75 ]}ウォリスは運動量を運動量、力をvisで表した。

1686年、ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツは『形而上学論』の中で、異なる大きさのブロックを異なる距離に落とす例を用いて、デカルトの「運動量」の保存の概念に反論した。彼は、力は保存されるが、物体の大きさと速度の積として解釈される運動量は保存されないことを指摘した。^{[ 76 ]}

1687年、アイザック・ニュートンは『自然哲学の数学的原理』の中で、ウォリスと同様に、数学的な運動量を表す言葉を探し求めていた。彼の定義IIでは、 quantitas motus、「運動の量」を「速度と物質の量が一体となって生じるもの」と定義しており、これは運動量であることを示している。^{[ 77 ]}したがって、法則IIでmutatio motus 、「運動の変化」が加えられた力に比例すると述べている場合、一般的には運動ではなく運動量を意味していると解釈される。^{[ 78 ]}

1721年、ジョン・ジェニングスは『Miscellanea』を出版し、そこで現在の数学的な意味での運動量が証明された。これはニュートンの『プリンキピア・マテマティカ』の最終版の5年前のことである。運動量M 、すなわち「運動量」は、学生向けに「長方形」、つまりQとVの積として定義されていた。ここでQは「物質量」、Vは「速度」、s / tである。^{[ 79 ]}

1728年の百科事典には次のように記されている。

物体の運動量、推進力、または運動量は、その速度（または一定時間内に移動する空間、運動を参照）に質量を掛けた値（つまり積）です。