距離

距離は、物体、点、人、またはアイデアがどれだけ離れているかを数値的、または時には定性的に測定するものです。物理学や日常的な用法では、距離は物理的な長さ、または他の基準に基づいた推定値（「2 つの郡先」など）を指すことがあります。この用語は、²つの類似した物体間の差の量の測定値（確率分布間の統計的距離やテキスト文字列間の編集距離など）や分離の度合い（ソーシャル ネットワーク内の人々の距離に例示されるように）を意味する比喩的にもよく使用されます [1]。物理的なものも比喩的なものも含め、距離の概念のほとんどは、距離空間の概念を使用して数学で形式化されます。

社会科学では、距離は社会的距離や心理的距離など、分離の質的な測定を指す場合があります。

物理的な場所間の距離は、さまざまな状況でさまざまな方法で定義できます。

物理空間における 2 点間の距離は、それらの点を結ぶ直線の長さ、つまり最短経路です。これは、ニュートン力学を含む古典物理学における距離の通常の意味です。

直線距離は、 2次元および3次元空間におけるユークリッド距離として数学的に形式化されます。ユークリッド幾何学では、2点AとBの間の距離は、しばしば と表記されます。座標幾何学では、ユークリッド距離はピタゴラスの定理を使用して計算されます。平面上の点( x ₁ , y ₁ )と点( x ₂ , y ₂ )の間の距離は、次のように表されます: ^{[2] [3]} 同様に、3次元空間内の点( x ₁ , y ₁ , z ₁ )と点( x ₂ , y ₂ , z ₂ )が与えられた場合、それらの間の距離は次のように表されます: ^[2] この考え方は、高次元ユークリッド空間に一般化されます。 ${\displaystyle |AB|}$ $${\displaystyle d={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2} +(y_{2}-y_{1})^{2}}}.}$$ $${\displaystyle d={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}}}={\sqrt {(x_{2} -x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}.}$$

直線距離を測定する方法はたくさんあります。たとえば、定規を使って直接測定したり、レーダー（長距離の場合）や干渉計（非常に短い距離の場合）を使って間接的に測定したりできます。宇宙距離ラダーは、非常に長い距離を測定する一連の方法です。

地球の表面上の 2 点間の直線距離は、地球のマントルをまっすぐにトンネルで貫くことはできないため、ほとんどの目的にはあまり役立ちません。その代わりに、通常は地球の表面に沿った直線距離 (直線距離) を測ります。これは、数学的には球面上の 大圏距離で近似されます。

より一般的には、曲面に沿った 2 点間の最短経路は測地線として知られています。測地線の弧の長さは、その表面に住むアリやその他の飛べない生物の視点から距離を測定する方法を提供します。

相対性理論では、長さの収縮や同時性の相対性などの現象により、物体間の距離は慣性参照系の選択に依存します。銀河やそれより大きなスケールでは、距離の測定は宇宙の膨張によっても影響を受けます。実際には、宇宙論ではそのような距離を定量化するためにいくつかの距離測定法が使用されています。

距離の珍しい定義は、特定の物理的状況をモデル化するのに役立ちますが、理論数学でも使用されます。

• 実際には、直線距離ではなく、道路沿いの 2 点間の移動距離が重要になることがよくあります。グリッド プランでは、街角間の移動距離はマンハッタン距離で表されます。マンハッタン距離とは、2 点間を移動するために通過しなければならない東西および南北のブロックの数です。
• チェス盤の距離は、チェビシェフ距離として形式化され、チェス盤上でキングが2 つのマス目の間を移動するために実行する必要がある最小の移動回数です。

数学、科学、工学で使用される距離に関する多くの抽象的な概念は、類似した物体間の差異または分離の程度を表します。このページでは、いくつかの例を示します。

統計学と情報幾何学において、統計距離は2 つの確率分布の相違の度合いを測定します。統計距離には多くの種類があり、通常はダイバージェンスとして形式化されます。これにより、一連の確率分布を統計多様体と呼ばれる幾何学的オブジェクトとして理解できます。最も基本的なのは2 乗ユークリッド距離で、最小 2乗法で最小化されます。これが最も基本的なブレグマン ダイバージェンスです。情報理論で最も重要なのは相対エントロピー(カルバック–ライブラー ダイバージェンス)で、これにより同様に最大尤度推定を幾何学的に研究できます。これはfダイバージェンスとブレグマン ダイバージェンスの両方の例です(実際、両方である唯一の例です)。ブレグマン ダイバージェンスに対応する統計多様体は、対応する幾何学における平坦な多様体であり、ピタゴラスの定理(ユークリッド距離の 2 乗に当てはまる) の類似物を最適化理論による推論における線形逆問題に使用することができます。

その他の重要な統計距離には、マハラノビス距離とエネルギー距離があります。

コンピュータサイエンスでは、2 つの文字列間の編集距離または文字列メトリックは、それらの違いを測定します。たとえば、1 文字だけ異なる単語「dog」と「dot」は、共通の文字がない「dog」と「cat」よりも近いです。この考え方はスペルチェッカーやコーディング理論で使用されており、レーベンシュタイン距離、ハミング距離、リー距離、ヤロ・ウィンクラー距離など、さまざまな方法で数学的に形式化されています。

グラフでは、 2 つの頂点間の距離は、それらの間の最短のエッジ パスの長さによって測定されます。たとえば、グラフがソーシャル ネットワークを表す場合、 6 次の隔たりという概念は、任意の 2 つの頂点間の距離が最大でも 6 であると数学的に解釈できます。同様に、エルデシュ数とベーコン数(それぞれ、著名な数学者ポール エルデシュと俳優ケビン ベーコンから離れたコラボレーション関係の数) は、エッジが数学的または芸術的なコラボレーションを表すグラフの距離です。

心理学、人文地理学、社会科学では、距離は客観的な数値測定としてではなく、主観的な経験の質的な説明として理論化されることが多い。^[4] たとえば、心理的距離とは、「時間、空間、社会的距離、仮説性」などの次元に沿って「対象が自己から遠ざかるさまざまな方法」である。^[5]社会学 では、社会的距離は、社会階級、人種/民族、性別、セクシュアリティなどの次元に沿って社会における個人または社会集団間の分離を説明する。

上で説明した 2 点または 2 つのオブジェクト間の距離の概念のほとんどは、メトリックという数学的な概念の例です。メトリック関数または距離関数は、点またはオブジェクトのペアを実数に変換し、次の規則を満たす関数 dです。

1. 物体と物体自体の間の距離は常にゼロです。
2. 異なるオブジェクト間の距離は常に正です。
3. 距離は対称です。つまり、 xからyまでの距離は、yからxまでの距離と常に同じです。
4. 距離は三角不等式を満たします。つまり、x、y、zが 3 つのオブジェクトである場合、この条件は非公式には「中間停止では速度を上げることができない」と説明できます。$${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z).}$$

例外として、統計で使用される 乖離の多くは測定基準ではありません。

複数の点からなる物体間の物理的な距離を測定する方法は複数あります。

• 質量の中心などの代表的な点間の距離を測定することができます。これは、地球と月の距離などの天文学的な距離の測定に使用されます。
• 2 つの物体の最も近い点の間の距離を測定できます。この意味では、飛行機や宇宙船の高度は地球からの距離です。ユークリッド幾何学では、同じ距離感覚が、点から直線までの距離、点から平面までの距離、またはより一般的にはアフィン部分空間間の垂直距離を定義するために使用されます。

さらに一般的には、この考え方は、距離空間の2 つの部分集合間の距離を定義するために使用できます。集合Aと集合B間の距離は、それぞれの任意の 2 つの点間の距離の最小値です。これは、このような部分集合の集合上の距離を定義しません。重なり合う集合間の距離は 0 であり、この距離は、2 つ以上の点を持つ任意の距離空間の三角不等式を満たしません (2 つの異なる単集合とその和集合からなる 3 つの集合を考えてみましょう)。$${\displaystyle d(A,B)=\inf _{x\in A,y\in B}d(x,y).}$$

• 距離空間の 2 つの部分集合間のハウスドルフ距離は、それらの部分集合が完全に重なり合う距離からどれだけ離れているかを測定するものと考えることができます。もう少し正確に言うと、 A と B 間のハウスドルフ距離は、AからBの最遠点までの距離、またはB から A の最遠点までの距離のいずれか大きい方です。(ここで「最遠点」は上限として解釈する必要があります。) ハウスドルフ距離は、距離空間のコンパクトな部分集合の集合上の距離を定義します。

距離という言葉は、「点または物体間の距離を数値で測定する」という説明に含まれない関連概念にも使用されます。

物体が移動した距離とは、2点間を移動する特定の経路の長さであり、 ^[6]迷路を進むときに歩く距離などです。これは、まっすぐ上に投げられたボールや、地球が1周するときなど、同じ点で始まり同じ点で終わる閉じた曲線に沿った閉じた距離である場合もあります。これは、曲線の 弧の長さとして数学的に形式化されます。

移動距離も符号付きで表されます。つまり、「前方」距離は正、「後方」距離は負です。

円周距離は、車輪の円周上の点が移動する距離であり、車両や機械のギアを設計するときに考慮すると便利です (オドメトリも参照)。車輪の円周は2π × 半径です。半径が 1 の場合、車輪が 1 回転するたびに車両は2πラジアン移動します。

古典物理学における変位は、ある時間間隔における物体の位置の変化を測定する。距離はスカラー量、つまり大きさであるのに対し、変位は大きさと方向の両方を持つベクトル量である。一般に、2つの場所の差（相対位置）を測定するベクトルは、有向距離と呼ばれることもある。^[7] たとえば、ニューヨーク市中央図書館の旗竿から自由の女神像の旗竿までの有向距離は次のようになる。

• 出発点：図書館の旗竿
• 終着点：銅像の旗竿
• 方向: -38°
• 距離: 8.72 km

Wikiquoteに距離に関する引用があります。

• Python (プログラミング言語)
  • SciPy -距離計算 ( scipy.spatial.distance)
• Julia (プログラミング言語)
  • Julia Statistics Distance - ベクトル間の距離 (メトリック) を評価するための Julia パッケージ。

• デザE、デザM (2006)。距離の辞書。エルゼビア。ISBN 0-444-52087-2。