ポインティングベクトル

物理学において、ポインティングベクトル（またはウモフ–ポインティングベクトル）は、電磁場の方向性エネルギー流（単位面積あたり、単位時間あたりのエネルギー転送）または電力フローを表します。ポインティングベクトルのSI単位系はワット毎平方メートル（W/m ²）です。基本SI単位ではkg/s ^{3 です}。これは、 1884年に最初に導き出した発見者ジョン・ヘンリー・ポインティングにちなんで名付けられました。 ^{[1] : 132}ニコライ・ウモフもこの概念を定式化したとされています。^[2]オリバー・ヘヴィサイドもこれを独立に発見し、任意のベクトル場の回転を定義に追加できる自由を認めています。 ^[3] ポインティングベクトルは、電磁エネルギーの保存を表す連続方程式であるポインティングの定理と組み合わせて、電磁気学全体で使用され、電磁場の電力フローを計算します。

ポインティングの原著論文やほとんどの教科書では、ポインティングベクトルは外積として定義されている^{[4] [5] [6]。} 太字はベクトルを表し、 ${\displaystyle \mathbf {S} }$ $${\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H} ,}$$

• E は電界ベクトルです。
• H は磁場の補助磁場ベクトルまたは磁化磁場です。

この表現はアブラハム形式と呼ばれることが多く、最も広く使用されています。^[7]ポインティングベクトルは通常SまたはNで表されます。

簡単に言えば、ポインティング ベクトルS は、空であるかもしれない空間領域内の電磁場によるエネルギー、つまり電力の転送方向と転送速度を表します。より厳密に言えば、これはポインティングの定理を有効にするために使用する必要がある量です。ポインティングの定理は基本的に、領域に入る電磁エネルギーと領域から出る電磁エネルギーの差は、その領域で変換または消散する、つまり別の形式のエネルギー (多くの場合熱) に変換されるエネルギーに等しくなければならないと述べています。したがって、電磁エネルギー転送のポインティング ベクトル記述の妥当性を受け入れる場合、ポインティングの定理は単にエネルギー保存の記述になります。

ある領域内で電磁エネルギーが他の形態のエネルギー (たとえば、機械的エネルギーや熱) から得られず、または他の形態のエネルギーから失われない場合、電磁エネルギーはその領域内で局所的に保存され、ポインティングの定理の特殊なケースとして 連続方程式が得られます。 ここで、は電磁場のエネルギー密度です。このよく見られる条件は、ポインティング ベクトルが計算され、電気回路の通常の電力計算と一致していることがわかる次の簡単な例にも当てはまります。 $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {S} =-{\frac {\partial u}{\partial t}}}$$${\displaystyle u}$

任意の形状を持つ電磁気学の問題は解決が難しいことで有名ですが、添付の図に示すように円筒座標で解析された同軸ケーブルのセクションを介した電力伝送の場合は、比較的簡単な解決法を見つけることができます。モデルの対称性を活用できます。θ (円対称性) にもZ (ケーブルに沿った位置) にも依存しません。モデル (およびソリューション) は、時間に依存しない単純な DC 回路と考えることができますが、次のソリューションは、瞬間的な時間 (電圧と電流が変化しない時間) と十分に短いケーブル セグメント (波長よりもはるかに短いため、これらの量はZに依存しません) を考慮している限り、無線周波数電力の伝送にも同様に適用されます。

同軸ケーブルは、半径R _1の内部導体と、内部半径がR ₂の外部導体を持つように指定されています ( R _{2 を}超える厚さは、以降の分析に影響しません)。ケーブルのR ₁とR _{2の間には、}比誘電率ε _rの理想的な誘電体が含まれており、導体は非磁性 (したがってμ = μ ₀ ) かつ損失なし (完全導体) であると想定しています。これらはすべて、一般的な状況では実際の同軸ケーブルによく近似しています。

中心導体は電圧Vに保たれ、右方向に電流I を引き込むため、電気の基本法則に従って、合計電力フローはP = V · Iになると予想されます。ただし、ポインティング ベクトルを評価することにより、同軸ケーブル内の電界と磁界の観点から電力フローのプロファイルを特定できます。電界は各導体内では当然ゼロですが、導体間 ( ) では対称性により厳密に放射状方向になり、次の形式に従うこと が示されます (ガウスの法則を使用)。Wは、電界をからまで積分することで評価できます。これは電圧Vの負の値である必要があります。 したがって、 ${\displaystyle R_{1}<r<R_{2}}$$${\displaystyle E_{r}(r)={\frac {W}{r}}}$$ ${\displaystyle r=R_{2}}$${\displaystyle R_{1}}$$${\displaystyle -V=\int _{R_{2}}^{R_{1}}{\frac {W}{r}}dr=-W\ln \left({\frac {R_{2}}{R_{1}}}\right)}$$$${\displaystyle W={\frac {V}{\ln(R_{2}/R_{1})}}}$$

磁場は、やはり対称性により、θ方向、つまりR ₁とR ₂の間のすべての半径で中心導体の周りをループするベクトル場においてのみ非ゼロになります。導体自体の内部では、磁場はゼロになることもそうでないこともありますが、これらの領域のポインティング ベクトルは電界がゼロであるためゼロであるため、これは問題になりません。同軸ケーブル全体の外側では、この領域の経路がゼロの正味電流 (中心導体では+ I 、外部導体では - I ) を囲むため、磁場は完全にゼロであり、やはり電界はいずれにしてもゼロです。R ₁からR _{2 の}領域でアンペールの法則を用いると、中心導体に電流 + Iが流れ、外側導体の電流は影響しないため、半径rで次の式が得られます。 ここで、半径方向の電界と接線方向の磁界から、これらの積で与えられるポインティング ベクトルは、予想どおり、同軸ケーブル自体の方向に沿ったZ方向でのみゼロではありません。この場合もrの関数のみであるため、 S (r) を 評価できます。 ここで、W は中心導体の電圧Vで上記に与えられています。同軸ケーブルを流れる全電力は、導体間のケーブルの 断面積A全体で積分することで計算できます。$${\displaystyle {\begin{aligned}I=\oint _{C}\mathbf {H} \cdot ds&=2\pi rH_{\theta }(r)\\H_{\theta }(r)&={\frac {I}{2\pi r}}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle S_{z}(r)=E_{r}(r)H_{\theta }(r)={\frac {W}{r}}{\frac {I}{2\pi r}}={\frac {W\,I}{2\pi r^{2}}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\text{tot}}&=\iint _{\mathbf {A} }S_{z}(r,\theta )\,dA=\int _{R_{2}}^{R_{1}}2\pi rdrS_{z}(r)\\&=\int _{R_{2}}^{R_{1}}{\frac {W\,I}{r}}dr=W\,I\,\ln \left({\frac {R_{2}}{R_{1}}}\right).\end{aligned}}}$$

定数Wに以前の解を代入すると、次のことがわかります。 つまり、同軸ケーブルの断面にわたってポインティング ベクトルを積分することによって得られる電力は、電気の基本法則を使用して供給される電力について計算した電圧と電流の積と正確に等しくなります。 $${\displaystyle P_{\mathrm {tot} }=I\ln \left({\frac {R_{2}}{R_{1}}}\right){\frac {V}{\ln(R_{2}/R_{1})}}=V\,I}$$

P = V · Iの結果を解析的に計算できる他の同様の例としては、直交座標を使用した平行板伝送線路^[8]や、双極円筒座標を使用した2線伝送線路^[9]がある。

マクスウェル方程式の「微視的」バージョンでは、この定義は、電場Eと磁束密度 Bによる定義に置き換える必要があります(この記事の後半で説明)。

変位電場 Dと磁束Bを組み合わせてポインティングベクトルのミンコフスキー形式を得ることも、 DとHを使ってさらに別のバージョンを構築することもできます。この選択は議論を呼んでいます。Pfeiferら^[10]は、アブラハム形式とミンコフスキー形式の支持者の間で1世紀にわたって繰り広げられてきた論争を要約し、ある程度解決しました（アブラハム・ミンコフスキー論争を参照）。

ポインティングベクトルは、電磁エネルギーのエネルギーフラックスベクトルの特殊なケースを表します。しかし、どのような種類のエネルギーでも、空間内での運動方向と密度があるため、エネルギーフラックスベクトルは、他の種類のエネルギー、たとえば機械的エネルギーに対しても定義できます。1874年にニコライ・ウモフによって発見されたウモフ・ポインティングベクトル^[11]は、液体および弾性媒体におけるエネルギーフラックスを完全に一般化した観点から記述します。

ポインティングベクトルは、エネルギー保存則であるポインティングの定理（導出についてはその記事を参照）に登場します。 ここで、J _fは自由電荷の電流密度、u は線形非分散材料の電磁エネルギー密度で、 次の ように表されます 。$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=-\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {S} -\mathbf {J_{\mathrm {f} }} \cdot \mathbf {E} ,}$$$${\displaystyle u={\frac {1}{2}}\!\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {H} \right)\!,}$$

• E は電界です。
• Dは電気変位場である。
• Bは磁束密度です。
• Hは磁化場である。^{[12] : 258–260}

右辺の最初の項は小さな体積への電磁エネルギーの流れを表し、2 番目の項は自由電流に対して場が行った仕事を減算します。これにより、電磁エネルギーは散逸、熱などとして放出されます。この定義では、束縛電流はこの項に含まれず、代わりにSとuに寄与します。

自由空間における光の場合、線運動量密度は ${\displaystyle {\frac {\langle S\rangle }{c^{2}}}}$

線形、非分散、等方性（簡単のため）材料の場合、構成関係は 次の ように表される 。$${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,\quad \mathbf {B} =\mu \mathbf {H} ,}$$

• εは材料の誘電率である。
• μは材料の透磁率である。 ^{[12] : 258–260}

ここで、εとμ は、位置、方向、周波数に依存しないスカラーの実数値定数です。

^{原理的には、この形式のポインティングの定理は真空および非分散性[説明が必要]}線形材料内の場に限定されます。分散性材料への一般化は、追加の項を犠牲にして、特定の状況下で可能です。^{[12] ：262–264}

ポインティングの公式から導かれる結論の一つは、電磁場が仕事をするためには磁場と電場の両方が存在しなければならないということである。磁場のみ、あるいは電場のみでは仕事はできない。^[13]

等方性損失のない媒体を伝搬する電磁平面波では、瞬間的なポインティング ベクトルは常に伝搬方向を指し、大きさは急速に振動します。これは、平面波では磁場H ( r , t ) の大きさが電場ベクトルE ( r , t )の大きさを伝送媒体の固有インピーダンス η で割った値で与えられることから簡単にわかります。 ここで、| A |はAのベクトル ノルムを表します。EとH は互いに直角であるため、それらの外積の大きさはそれらの大きさの積です。一般性を失うことなく、X を電場の方向、Y を磁場の方向とします。EとHの外積で与えられる瞬間的なポインティング ベクトルは、正のZ方向になります。 $${\displaystyle |\mathbf {H} |={\frac {|\mathbf {E} |}{\eta }},}$$

$${\displaystyle \left|{\mathsf {S_{z}}}\right|=\left|{\mathsf {E_{x}}}{\mathsf {H_{y}}}\right|={\frac {\left|{\mathsf {E_{x}}}\right|^{2}}{\eta }}.}$$

平面波の時間平均電力を求めるには、波の周期（波の逆周波数）にわたって平均化する必要があります。 ここで、E _{rms は電界振幅の}二乗平均平方根（RMS）です。重要なケースとして、E ( t ) がピーク振幅Epeak_で何らかの周波数で正弦波的に変化している場合、E _rmsは となり、平均ポインティング ベクトルは次のように与えられます。 これは、平面波のエネルギー フラックスの最も一般的な形式です。正弦波電界振幅はほとんどの場合ピーク値で表現され、複雑な問題は通常、一度に 1 つの周波数のみを考慮して解決されるためです。ただし、E _rmsを使用する式は完全に一般的であり、たとえば、RMS 振幅は測定できるが「ピーク」振幅は意味がないノイズの場合に適用されます。自由空間では、固有インピーダンスη は、自由空間のインピーダンスη ₀ ≈ 377 Ωで単純に与えられます。指定された誘電率ε _{r を}持つ非磁性誘電体（光周波数で透明なすべての材料など）または屈折率 の材料を含む光学系では、固有インピーダンスは次のように求められます。 $${\displaystyle \left\langle {\mathsf {S_{z}}}\right\rangle ={\frac {\left\langle \left|{\mathsf {E_{x}}}\right|^{2}\right\rangle }{\eta }}={\frac {\mathsf {E_{\text{rms}}^{2}}}{\eta }},}$$${\displaystyle {\mathsf {E_{peak}}}/{\sqrt {2}}}$$${\displaystyle \left\langle {\mathsf {S_{z}}}\right\rangle ={\frac {\mathsf {E_{peak}^{2}}}{2\eta }}.}$$   ${\displaystyle {\mathsf {n}}={\sqrt {\epsilon _{r}}}}$$${\displaystyle \eta ={\frac {\eta _{0}}{\sqrt {\epsilon _{r}}}}.}$$

光学において、表面を横切る放射束の値、つまりその表面に対して垂直な方向の平均ポインティング ベクトル成分は、技術的には放射照度と呼ばれ、多くの場合は単に強度(やや曖昧な用語)と呼ばれます。

マクスウェル方程式の「微分」版では、物質媒体の組み込みモデルなしで、基本場EとB のみを許容します。真空の誘電率と透磁率のみが使用され、 DやH はありません。このモデルを使用すると、ポインティングベクトルは 次の ように定義されます。$${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} ,}$$

• μ _{0 は}真空透磁率である。
• E は電界ベクトルです。
• Bは磁束です。

これは実際にはポインティングベクトルの一般的な表現です^{[疑わしい-議論]}。^[14]ポインティングの定理の対応する形式は、 Jが全電流密度であり 、エネルギー密度u がで与えられる 、 ε0_は真空の誘電率です。これは、全電荷と電流、およびローレンツ力の法則のみでマクスウェル方程式から直接導くことができます。 $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {S} -\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ,}$$ $${\displaystyle u={\frac {1}{2}}\!\left(\varepsilon _{0}|\mathbf {E} |^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}|\mathbf {B} |^{2}\right)\!,}$$

ポインティングベクトルの2つの代替定義は、真空中または非磁性体ではB = μ ₀ Hの場合に等しい。他のすべての場合では、S = (1/ μ ₀ ) E × Bであり、対応するuは純粋に放射性である点で異なります。これは、散逸項− J ⋅ E が全電流をカバーするのに対し、E × H定義では束縛電流の寄与があり、それが散逸項から除外されるためです。^[15]

S = (1/ μ ₀ ) E × Bとエネルギー密度の導出には微視的場EとB のみが発生するため、存在する物質に関する仮定は避けられます。ポインティングベクトルと定理、エネルギー密度の式は真空とすべての物質において普遍的に有効です。^[15]

ポインティング ベクトルの上記の形式は、瞬間的な電場と磁場による瞬間的な電力の流れを表します。より一般的には、電磁気学の問題は、指定された周波数で正弦波状に変化するフィールドの観点から解決されます。その結果は、たとえば、異なる周波数で振幅が変動する波の重ね合わせとして非コヒーレント放射を表すことによって、より一般的に適用できます。

したがって、上で使用した瞬間的なE ( t )とH ( t )を考慮するのではなく、位相器表記法を使用してコヒーレント波の位相 (および振幅) を表す、それぞれの複素 (ベクトル)振幅を考慮することになります。これらの複素振幅ベクトルは時間の関数ではなく、すべての時間にわたる振動を指すものと理解されています。E m などの位相器は、瞬間_振幅E ( t )がE _m  e ^jωtの実数部に従う正弦波的に変化するフィールドを表すものと理解されています。ここで、ω は検討対象の正弦波の (ラジアン) 周波数です。

時間領域では、瞬間的な電力フローが 2 ωの周波数で変動していることがわかります。しかし、通常、関心があるのは、これらの変動が考慮されていない平均電力フローです。以下の数式では、これはT = 2 π / ωの完全なサイクルにわたって積分することによって実現されます。「ポインティング ベクトル」と呼ばれる次の量は、次のように位相器で直接表現されます。

$${\displaystyle \mathbf {S} _{\mathrm {m} }={\tfrac {1}{2}}\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*},}$$

ここで、^{∗ は}複素共役を表します。時間平均電力フロー (たとえば、1 サイクル全体で平均化された瞬間ポインティング ベクトルによる) は、S _mの実数部によって与えられます。虚数部は通常無視されますが、定在波やアンテナの近傍場による干渉などの「無効電力」を表します。単一の電磁平面波(反対方向に移動する 2 つの波として説明できる定在波ではなく) では、EとH は正確に同位相であるため、上記の定義によれば、 S _mは単なる実数です。

Re( S _m )と瞬間ポインティングベクトルSの時間平均の等価性は以下のように示される。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {S} (t)&=\mathbf {E} (t)\times \mathbf {H} (t)\\&=\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }e^{j\omega t}\right)\times \operatorname {Re} \!\left(\mathbf {H} _{\mathrm {m} }e^{j\omega t}\right)\\&={\tfrac {1}{2}}\!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }e^{j\omega t}+\mathbf {E} _{\mathrm {m} }^{*}e^{-j\omega t}\right)\times {\tfrac {1}{2}}\!\left(\mathbf {H} _{\mathrm {m} }e^{j\omega t}+\mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}e^{-j\omega t}\right)\\&={\tfrac {1}{4}}\!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}+\mathbf {E} _{\mathrm {m} }^{*}\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }+\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }e^{2j\omega t}+\mathbf {E} _{\mathrm {m} }^{*}\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}e^{-2j\omega t}\right)\\&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}\right)+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }e^{2j\omega t}\right)\!.\end{aligned}}}$$

瞬間ポインティングベクトルSの 時間平均は次のように表されます。 $${\displaystyle \langle \mathbf {S} \rangle ={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\mathbf {S} (t)\,dt={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\!\left[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}\right)+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left({\mathbf {E} _{\mathrm {m} }}\times {\mathbf {H} _{\mathrm {m} }}e^{2j\omega t}\right)\right]dt.}$$

2 番目の項は平均値がゼロの 2 倍周波数成分なので、次の式が得られます。 $${\displaystyle \langle \mathbf {S} \rangle =\operatorname {Re} \!\left({\tfrac {1}{2}}{\mathbf {E} _{\mathrm {m} }}\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}\right)=\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {S} _{\mathrm {m} }\right)}$$

いくつかの慣例によれば、上記の定義の係数 1/2 は省略できます。E _mとH _mの大きさは振動量のピークフィールドを参照するため、電力フローを適切に記述するには 1/2 を掛ける必要があります。フィールドが二乗平均平方根(RMS) 値 (それぞれ係数 だけ小さくなります)で記述される場合は、1/2 を掛けなくても正しい平均電力フローが得られます。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}/2}$

導体にかなりの抵抗がある場合、その導体の表面近くでは、ポインティング ベクトルは導体に向かって傾き、導体に衝突します。^{[9] : 図 7,8}ポインティング ベクトルが導体に入ると、表面に対してほぼ垂直な方向に曲げられます。^{[16] : 61}これは、スネルの法則と導体内の光速度が非常に遅いことによる結果です。導体内の光速度の定義と計算方法は次のとおりです。^{[17] : 402}導体内では、ポインティング ベクトルは電磁場からワイヤへのエネルギーの流れを表し、ワイヤに抵抗性ジュール熱を生成します。スネルの法則から始まる導出については、Reitz の 454 ページを参照してください。^{[18] : 454}

電磁場の線状運動量の密度はS / c ²で、Sはポインティングベクトルの大きさ、cは自由空間における光の速度です。電磁波が対象物の表面に加える放射圧は次のように表されます。 $${\displaystyle P_{\mathrm {rad} }={\frac {\langle S\rangle }{\mathrm {c} }}.}$$

ポインティング ベクトルは、その発散 ∇ ⋅ Sを通じてのみポインティングの定理に現れます。つまり、閉じた表面の周りのポインティング ベクトルの面積分が、閉じた体積に出入りする電磁エネルギーの正味の流れを記述することだけが要求されます。これは、ソレノイド ベクトル場(発散がゼロ) をSに追加すると、ポインティングの定理に従ってポインティング ベクトル場のこの必須特性を満たす別の場が得られることを意味します。任意 の回転の発散はゼロなので、任意のベクトル場の回転をポインティング ベクトルに追加でき、結果として得られるベクトル場S ′ は依然としてポインティングの定理を満たします。

しかし、ポインティングベクトルはもともとその発散のみが現れるポインティングの定理のためだけに定式化されたにもかかわらず、その形式の上記の選択は一意であることが判明しました。 [ ^{12] ：258–260、605–612}次のセクションでは、 E × Hに任意のソレノイド場を追加することが受け入れられない理由を示す例を示します。

静磁場におけるポインティング ベクトルの考察は、マクスウェル方程式の相対論的性質を示し、ローレンツ力の磁気成分 q ( v × B ) をよりよく理解することを可能にします。説明のために、永久磁石によって生成されたHフィールド (ページ内向き)内に配置された円筒形コンデンサのポインティング ベクトルを表す添付の図を検討します。存在するのは静電気と静磁場だけですが、ポインティング ベクトルの計算により、始まりも終わりもない時計回りの円形の電磁エネルギーの流れが生成されます。

循環するエネルギーの流れは非物理的に思えるかもしれないが、その存在は角運動量の保存を維持するために必要である。自由空間における電磁波の運動量は、その電力を光速cで割った値に等しい。したがって、電磁エネルギーの循環的な流れは角運動量を意味する。^[19]充電されたコンデンサの 2 つのプレートの間にワイヤを接続すると、コンデンサが放電している間、放電電流と交差する磁場により、そのワイヤにはローレンツ力が発生する。この力は中心軸の接線方向となり、システムに角運動量を追加する。この角運動量は、コンデンサが放電される前に循環していた、ポインティング ベクトルによって明らかになる「隠れた」角運動量と一致する。

• 波ベクトル

Wikiquote にポインティングベクトルに関する引用があります。

ウィキバーシティにはポインティングの定理に関するレッスンがある

• ベッカー、リチャード（1982）。電磁場と相互作用（第1版）。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-64290-1。
• 行政長官、ジョセフ。ナハヴィ、マフムード (2013)。電磁気学 (第 4 版)。ニューヨーク：マグロウヒル。ISBN 978-0-07-183149-9。