右手の法則

数学と物理学において、右手の法則は慣習と記憶法であり、 3次元空間における軸の向きを定義し、 2つのベクトルの外積の方向を決定し、磁場内の電流を流す導体にかかる力の方向を確立するために使用されます。

右手と左手のさまざまなルールは、3 次元空間の 3 つの軸に 2 つの方向があるという事実から生じます。これは、手のひらを上にして指を曲げた状態で両手を合わせるとわかります。指を曲げることが最初の x 軸から 2 番目の y 軸への動きを表す場合、3 番目の z 軸は右親指または左親指のどちらかの方向を指すことができます。

歴史

右手の法則は、3次元の座標軸の正の方向を識別する方法として実装された19世紀にまで遡ります。3次元の回転を表現する数学的システムである四元数の開発者として知られるウィリアム・ローワン・ハミルトンは、この規則を導入した人物とよく言われます。四元数の文脈では、2つのベクトル四元数のハミルトン積は、スカラー成分とベクトル成分の両方を含む四元数を生成します。 ^[1]ジョサイア・ウィラード・ギブスは、これらの成分を内積と外積として別々に扱うと、ベクトル形式が簡素化されることを認識しました。かなりの議論を経て、^[2]ハミルトンの四元数システムからギブスの3ベクトルシステムへと主流が移行しました。この移行により、現代の文脈では右手の法則が広く採用されるようになりました。

ベクトルとの外積は、とが張る平面に垂直なベクトルで、方向は右手の法則 で与えられます。つまり、右手の人差し指をに置き、中指をに置くと、親指はの方向を指します。^[3] ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$ ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$ ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$ ${\vec {a}}\times {\vec {b}}$

物理学における右手の法則は、19世紀後半にジョン・フレミングの著書「磁石と電流」で紹介されました。^[4]フレミングは、導体の動きと磁場の方向を参照して、誘導起電力の方向を次の図で説明しました。「中指で表される導体が磁束場内で動かされ、その方向が人差し指の方向で表され、この動きの方向が親指の方向である場合、そこに発生する起電力は中指が指す方向で示されます。」^[4]

座標

右利きの座標の場合、人の右手の親指がz軸に沿って正の方向 (3 番目の座標ベクトル) を指している場合、指は正のx軸 (最初の座標ベクトル) から正のy軸 (2 番目の座標ベクトル)に向かって曲がります。正のz軸に沿った位置で見ると、正のx 軸から正のy軸への 1/4 回転は反時計回りです。

左手座標の場合、軸の上記の説明は左手を使用することを除いて同じであり、¼ 回転は時計回りになります。

任意の 2 つの軸のラベルを交換すると、利き手が逆になります。1 つの軸 (または 3 つの軸) の方向を逆にすると、利き手も逆になります。2 つの軸を逆にすると、残りの軸を中心に 180 度回転することになり、利き手は保持されます。これらの操作を組み合わせると、利き手を繰り返し変更できます。^[5] (軸に正または負の方向がない場合、利き手は意味を持ちません。)

回転

回転体

数学では、回転体は一般に回転軸に沿った擬似ベクトルで表されます。ベクトルの長さは回転速度を示し、軸の方向は右手の法則に従って回転方向を示します。つまり、右手の指を回転方向に曲げ、右手の親指を軸の正の方向に向けた状態です。これにより、ベクトルの外積を使用した簡単な計算が可能になります。体のどの部分も軸の矢印の方向に動いていません。親指が北を指している場合、地球は右手の法則に従って回転します (順行運動)。これにより、太陽、月、星は左手の法則に従って西に回転しているように見えます。

らせんとねじ

らせんとは、中心がZ軸に沿って上下に動く間に、点が中心の周りを回転して形成される曲線です。らせんは右利きまたは左利きで、曲げた指で回転方向を示し、親指でZ軸に沿った進行方向を示します。

ネジのねじ山は螺旋状なので、右ねじにも左ねじにもなります。ネジを適切に締めたり緩めたりするには、上記のルールを適用します。ネジが右ねじの場合、右手の親指を穴の方向に向け、右手の丸めた指の方向 (つまり時計回り) に回すとネジが締まり、穴から離れた方向 (つまり反時計回り) に回すとネジが緩みます。

曲線の方向と法線ベクトル

ベクトル計算では、面の法線ベクトルを面の境界曲線に関連付ける必要があります。指定された法線方向 $n̂ ($ $S$ に関して「上方向」を選択) を持つ面 $Sが与えられた場合、右手の親指が$ $n̂$ の方向を指し、他の指が境界曲線 C の方向に沿って曲がっていること $を$ 条件として、 $S$ の周りの境界曲線 $C$ は正の方向にあると定義されます。

電磁気

長い直線の電線に電気が流れると（方向は従来の電流で示されます）、右手の法則に従って電線の周囲に円筒形の磁場が生成されます。磁力線の従来の方向は、コンパスの針で示されます。
電磁石: 電線の周囲の磁場は比較的弱いです。電線がらせん状に巻かれている場合、らせん内部のすべての磁力線は同じ方向を向いており、各コイルが互いに強め合います。らせんの進行方向、電流の非円形部分、および磁力線はすべて、正のz方向を向いています。磁気単極子が存在しないため、磁力線は + z端から出て、らせんの外側を一周し、- z端から再び入ります。磁力線が出る + z端は、N 極として定義されます。右手の指を電流の円形成分の方向に曲げると、右手の親指が N 極を指します。
ローレンツ力: 電荷が磁場を横切って移動すると、右手の法則で方向が決まるローレンツ力の力を受けます。人差し指が電荷の流れ (つまり電流) の方向を表し、中指が空間内の磁場の方向を表すとすると、電荷にかかる力の方向は親指で表されます。電荷が移動しているため、力によって粒子の経路が曲げられます。曲げ力はベクトル積で計算されます。つまり、曲げ力は粒子の速度と磁場の強さとともに大きくなります。粒子の方向と磁場が垂直なときに力が最大になり、他の角度では力が小さくなり、粒子が磁場と平行に移動する場合には力がゼロになります。

アンペールの右手グリップのルール

アンペールの右手の法則^[6]は、右ねじの法則、コーヒーマグの法則、コルク抜きの法則とも呼ばれ、物体、磁場、流体の回転を表すためにベクトル（オイラーベクトルなど）を定義しなければならないとき、またはその逆で回転がどのように起こるかを理解するために回転ベクトルを定義する必要がある場合に使用されます。この法則は、電流と、電流が作り出す磁場内の磁力線との関係を明らかにします。アンペールは、同僚の物理学者ハンス・クリスチャン・エルステッドに触発されました。エルステッドは、電流が流れる電線の近くにある針が渦を巻くのを観察し、電気が磁場を作り出せると結論付けました。

応用

この規則は、アンペールの回路法則の 2 つの異なる応用で使用されます。

電流はまっすぐな電線を流れます。親指を通常の電流の方向 (プラスからマイナスへ) に向けると、曲げた指は導体の周りの磁束線の方向を指します。磁場の方向 (親指の先から見たときの座標の時計回りではなく反時計回り) はこの慣例の結果であり、根本的な物理現象ではありません。
電流がソレノイドを通過すると、磁場が発生します。通常の電流の方向に向けて右手をソレノイドに巻き付けると、親指は磁北の方向を指します。

クロス積

物理学や工学では、2 つのベクトルの外積がよく取られます。たとえば、上で説明したように、磁場 B 内を移動する荷電粒子に作用する力は、ローレンツ力の磁気項によって表されます。

\mathbf {F} =q\mathbf {v} \times \mathbf {B}

（ベクトル積）

外積の方向は、次のように右手の法則を適用することで見つけることができます。

人差し指は速度ベクトル v の方向を指します。
中指は磁場ベクトル B の方向を指します。
親指は外積 F の方向を指します。

例えば、磁場が西を向いている領域で、正に帯電した粒子が北に向かって動いている場合、結果として生じる力は上を向きます。^[5]

アプリケーション

右手の法則は物理学で広く使用されています。右手の法則によって方向が関連付けられる物理量のリストを以下に示します。(これらの一部は外積に間接的にのみ関連しており、2 番目の形式を使用します。)

回転する物体の場合、右手の指が物体上の点の曲線に沿うと、親指は回転軸に沿って角速度ベクトルの方向を指します。
トルク、それを引き起こす力、および力が作用する点の位置。
磁場、それが決定される点の位置、およびそれを引き起こす電流（または電束の変化）。
コイル状の電線内の磁場と、その電線内の電流。
荷電粒子に対する磁場の力、磁場自体、および物体の速度。
流体の流れ場の任意の点における渦度
磁場内の運動によって誘導される電流（フレミングの右手の法則として知られています）。
直交座標系のx、y、z単位ベクトルは、右手の法則に従うように選択できます。右手座標系は、剛体および運動学でよく使用されます。

メタ数学的問題

ほとんどの数学的概念とは異なり、右手座標系の意味は、いかなる数学的公理によっても表現できません。むしろ、その定義は、文化的に伝わる右手と左手の意味、右利きの人間が多数派であること、弱い力に関係する特定の現象など、物理世界のキラル現象に依存します。

参照

参考文献

^ ハミルトン、ウィリアム・ローワン (1853)。四元数に関する講義。所蔵図書館不明。ダブリン。
^ Chappell, James M.; Iqbal, Azhar; Hartnett, John G.; Abbott, Derek (2016). 「ベクトル代数戦争：歴史的観点」. IEEE Access . 4 : 1997–2004. arXiv : 1509.00501 . Bibcode :2016IEEEA...4.1997C. doi :10.1109/access.2016.2538262. ISSN 2169-3536.
^ Hubbard, John H. (John Hamal) (2009). ベクトル計算、線型代数、微分形式: 統一アプローチ。インターネットアーカイブ。イサカ、ニューヨーク: Matrix Editions。ISBN 978-0-9715766-5-0。
^ ab Fleming, JA (John Ambrose) (1902)。磁石と電流。電気技術者と理科教師のための初歩的な論文。ハーバード大学。ロンドン、E. & FN Spon、有限会社; ニューヨーク、Spon & Chamberlain。
^ ab Watson, George (1998). 「PHYS345 右手の法則入門」. udel.edu . デラウェア大学.
^ IIT ファンデーションシリーズ: 物理学 - クラス 8、ピアソン、2009 年、312 ページ。

外部リンク

ファインマンの右手の法則に関する講義
右手と左手のルール - インタラクティブ Java チュートリアル国立高磁場研究所
Weisstein, Eric W.「右手の法則」。MathWorld。
Christian Moser : 右手の法則 : wpftutorial.net

[1] ハミルトン、ウィリアム・ローワン (1853)。四元数に関する講義。所蔵図書館不明。ダブリン。

[2] Chappell, James M.; Iqbal, Azhar; Hartnett, John G.; Abbott, Derek (2016). 「ベクトル代数戦争：歴史的観点」. IEEE Access . 4 : 1997–2004. arXiv : 1509.00501 . Bibcode :2016IEEEA...4.1997C. doi :10.1109/access.2016.2538262. ISSN 2169-3536.

[3] Hubbard, John H. (John Hamal) (2009). ベクトル計算、線型代数、微分形式: 統一アプローチ。インターネットアーカイブ。イサカ、ニューヨーク: Matrix Editions。ISBN 978-0-9715766-5-0。

[:0-4] Fleming, JA (John Ambrose) (1902)。磁石と電流。電気技術者と理科教師のための初歩的な論文。ハーバード大学。ロンドン、E. & FN Spon、有限会社; ニューヨーク、Spon & Chamberlain。

[p345-5] Watson, George (1998). 「PHYS345 右手の法則入門」. udel.edu . デラウェア大学.

[6] IIT ファンデーションシリーズ: 物理学 - クラス 8、ピアソン、2009 年、312 ページ。

歴史

座標

回転

回転体