固定軸の周りの回転

固定軸の周りの回転または軸回転は、 3 次元空間で固定、静止、または静的な回転軸の周りの回転運動の特殊なケースです。このタイプの運動では、瞬間的な回転軸の方向が変わる可能性が排除され、ぐらつきや歳差運動などの現象を記述できません。オイラーの回転定理によれば、複数の固定軸に沿った同時回転は不可能であり、2 つの回転が同時に強制されると、新しい回転軸が生成されます。

この概念は、回転も安定しており、回転を続けるのにトルクは必要ないということを前提としています。剛体の固定軸の周りの回転の運動学と力学は、数学的には剛体の自由回転のそれらよりもはるかに単純です。それらは、単一の固定方向に沿った直線運動のものと完全に類似していますが、これは剛体の自由回転には当てはまりません。 物体の運動エネルギーの式、および物体の各部にかかる力の式も、一般的な回転運動よりも固定軸の周りの回転の方が単純です。 これらの理由から、固定軸の周りの回転は、学生が直線運動を習得した後に入門物理学のコースで教えられるのが一般的です。回転運動の完全な一般性は、入門物理学の授業では通常教えられません。

剛体とは、構成粒子間の距離がすべて一定である有限の範囲の物体です。真の剛体は存在しません。外部の力はあらゆる固体を変形させることができます。したがって、ここでは、剛体とは、著しく変形させるために大きな力を必要とする固体のことです。

3 次元空間における粒子の位置の変化は、3 つの座標で完全に指定できます。剛体の位置の変化は、記述が複雑です。これは、並進運動と円運動という 2 つの異なる種類の運動の組み合わせと見なすことができます。

純粋な並進運動は、物体のすべての粒子が他のすべての粒子と同じ瞬間速度を持つときに発生します。この場合、任意の粒子が描く経路は、物体内の他のすべての粒子が描く経路と正確に平行になります。並進運動では、剛体の位置の変化は、剛体に固定された質量中心などの任意の点の変位を示すx、y、zなどの 3 つの座標によって完全に指定されます。

物体内のすべての粒子が 1 本の線を中心に円を描くように動く場合、純粋な回転運動が発生します。この線は回転軸と呼ばれます。軸からすべての粒子への半径ベクトルは、同時に同じ角度変位を受けます。回転軸は物体を通過する必要はありません。一般に、回転は、直交座標軸x、y、zに対する 3 つの角度変位によって完全に指定できます。したがって、剛体の位置の変化は、3 つの並進座標と 3 つの回転座標によって完全に記述されます。

剛体の変位は、まず剛体を変位させてから回転させる、または逆に回転させてから変位させることで得られます。剛体のように互いに静止している粒子の集まりでも、爆発した砲弾の破片のように相対的に運動している粒子の集まりでも、質量中心の加速度は次のように表されることはすでにわかっています。 ここで、Mはシステムの合計質量、a _cmは質量中心の加速度です。質量中心の周りの物体の回転を記述し、それを物体に作用する外力に関連付けるという問題が残っています。単一軸の周りの回転運動の運動学と力学は、並進運動の運動学と力学に似ています。単一軸の周りの回転運動には、粒子力学のものと類似した仕事-エネルギー定理さえあります。 $${\displaystyle F_{\mathrm {net} }=Ma_{\mathrm {cm} }}$$

半径 の円の円周に沿って弧の長さ だけ移動する粒子を考えると、その角度位置は初期位置に対する相対的な位置となり、ここで となります。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta ={\frac {s}{r}}}$

数学と物理学では、平面角度の単位であるラジアンを1 として扱い、省略する ことが一般的です。単位は次のように変換されます。$${\displaystyle 360^{\circ }=2\pi {\text{ rad}}\,,\quad 1{\text{ rad}}={\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 57.27^{\circ }.}$$

角度変位は角度位置の変化です。 は角度変位、は初期角度位置、は最終角度位置です。 $${\displaystyle \Delta \theta =\theta _{2}-\theta _{1},}$$${\displaystyle \Delta \theta }$${\displaystyle \theta _{1}}$${\displaystyle \theta _{2}}$

単位時間あたりの角変位の変化は、回転軸に沿った方向の角速度と呼ばれます。角速度の記号は で、単位は通常 rad s ⁻¹です。角速度は角速度の大きさです。 ω ¯ = Δ θ Δ t = θ 2 − θ 1 t 2 − t 1 。 {\displaystyle {\overline {\omega }}={\frac {\Delta \theta }{\Delta t}}={\frac {\theta _{2}-\theta _{1}}{t_{2}-t_{1}}}.} ${\displaystyle \omega }$

瞬間角速度は ω ( t ) = d θ d t で表されます。{\displaystyle \omega (t)={\frac {d\theta }{dt}}.}

角度位置の公式を使用し、とすると、 ω = d θ d t = v r 、 {\displaystyle \omega ={\frac {d\theta }{dt}}={\frac {v}{r}},} も成り立ちます 。 ここで、 は粒子の移動速度です。 ${\displaystyle v={\frac {ds}{dt}}}$${\displaystyle v}$

角速度と周波数は ω = 2 π f の関係にあります 。{\displaystyle \omega ={2\pi f}\,.}

角速度の変化は、剛体内に角加速度が存在することを示し、通常は rad s ⁻²で測定されます。時間間隔 Δ tにおける平均角加速度は、 α ¯ = Δ ω Δ t = ω 2 − ω 1 t 2 − t 1で与えられます 。{\displaystyle {\overline {\alpha }}={\frac {\Delta \omega }{\Delta t}}={\frac {\omega _{2}-\omega _{1}}{t_{2}-t_{1}}}.} ${\displaystyle {\overline {\alpha }}}$

瞬間加速度α ( t ) は、 α ( t ) = d ω d t = d 2 θ d t 2 で与えられます 。{\displaystyle \alpha (t)={\frac {d\omega }{dt}}={\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}.}

したがって、加速度が速度の変化率であるのと同じように、角加速度は角速度の変化率です。

回転する物体上の点の並進加速度は、 r が回転軸からの半径または距離である 場合に、次のように表されます。これは加速度の接線成分でもあり、点の運動方向に対して接線方向です。この成分が 0 の場合、運動は等速円運動であり、速度は方向のみで変化します。 $${\displaystyle a=r\alpha ,}$$

半径方向の加速度（運動の方向に対して垂直）は次のように表されます。 これは回転運動の中心に向けられており、求心加速度と呼ばれることもあります。 $${\displaystyle a_{\mathrm {R} }={\frac {v^{2}}{r}}=\omega ^{2}r\,.}$$

角加速度はトルクによって発生し、トルクは正負の角周波数の規則に従って正または負の値をとります。トルクと角加速度の関係（回転を開始、停止、または変更するのがどれほど難しいか）は、慣性モーメントによって表され ます。${\displaystyle {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}=I\alpha }$

角加速度が一定の場合、角変位、初期角速度、最終角速度、角加速度、および時間の 5 つの量は、次の 4 つの運動学方程式で関連付けられます。 ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle t}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{2}&=\omega _{1}+\alpha t\\\theta &=\omega _{1}t+{\tfrac {1}{2}}\alpha t^{2}\\\omega _{2}^{2}&=\omega _{1}^{2}+2\alpha \theta \\\theta &={\tfrac {1}{2}}\left(\omega _{2}+\omega _{1}\right)t\end{aligned}}}$$

物体の慣性モーメントは、 で表され、回転の変化に対する物体の抵抗の尺度です。慣性モーメントはキログラムメートル² (kg m ² ) で測定されます。慣性モーメントは物体の質量に依存します。物体の質量が増加すると、慣性モーメントが増加します。また、慣性モーメントは質量の分布にも依存します。回転中心から質量を遠くに分散させると、慣性モーメントが大きく増加します。回転軸から の距離にある単一の質量粒子の場合、慣性モーメントは I = m r 2 で与えられます。{\displaystyle I=mr^{2}.} ${\displaystyle I}$${\displaystyle m}$${\displaystyle r}$

トルクは、回転軸から r の位置にある回転物体に加えられる力Fのねじり効果です。数学的には、 τ = r × F 、 {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} 、} で、 × は外積を表します。物体に作用する正味のトルクは、 線形力学におけるF = m a と同様に 、 τ = I α 、 {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=I{\boldsymbol {\alpha }},} に従って物体の角加速度を生み出します。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$

物体に作用するトルクによって行われる仕事は、トルクの大きさとトルクが適用される角度の積に等しくなります。 $${\displaystyle W=\tau \theta .}$$

トルクの力は単位時間あたりにトルクによって行われる仕事に等しいため、次の式が成り立ちます。 $${\displaystyle P=\tau \omega .}$$

角運動量は、回転する物体を静止させる難しさの尺度です。これは、 L = ∑ r × p 、 {\displaystyle \mathbf {L} =\sum \mathbf {r} \times \mathbf {p} 、} で与えられ、 合計は物体内のすべての粒子について取られます。 ${\displaystyle \mathbf {L} }$

角運動量は慣性モーメントと角速度の積です: L = I ω 、 {\displaystyle \mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }},} 線形力学における p = m v と同じです。

回転運動における直線運動量の類似物は角運動量です。コマなどの回転物体の角運動量が大きいほど、回転を続ける傾向が強くなります。

回転体の角運動量は、その質量と回転速度に比例します。さらに、角運動量は回転軸に対する質量の分布によって決まります。質量が回転軸から離れるほど、角運動量は大きくなります。レコード ターンテーブルなどの平らなディスクは、同じ質量と回転速度の中空円筒よりも角運動量が小さくなります。

線運動量と同様に、角運動量もベクトル量であり、その保存則は回転軸の方向が変わらない傾向があることを意味します。このため、回転しているコマは直立したままですが、静止しているコマはすぐに倒れます。

角運動量方程式は、軸の周りの物体に生じる合力のモーメント (トルクと呼ばれることもある) と、その軸の周りの回転速度を関連付けるために使用できます。

トルクと角運動量は、線形力学における F = d p / dtと同様に 、 τ = d L d t , {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {d\mathbf {L} }{dt}},} に従って関係付け られます。外部トルクがない場合、物体の角運動量は一定のままです。角運動量の保存は、フィギュアスケートで顕著に実証されています。スピン中に腕を体に近づけると、慣性モーメントが減少し、角速度が増加します。

物体の回転による 運動エネルギーは次のように表される。${\displaystyle K_{\text{rot}}}$

$${\displaystyle K_{\text{rot}}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2},}$$線形動力学の場合 と同じです。${\displaystyle K_{\text{trans}}={\tfrac {1}{2}}mv^{2}}$

運動エネルギーは運動のエネルギーです。運動エネルギーの量は、上の式に示すように、物体の質量 ( ) と物体の速度 ( ) の 2 つの変数で求められます。運動エネルギーは常にゼロまたは正の値のいずれかになります。速度は正または負の値を取ることができますが、速度の 2 乗は常に正になります。^[1]${\displaystyle m}$${\displaystyle v}$

上記の展開は一般的な回転運動の特殊なケースです。一般的なケースでは、角変位、角速度、角加速度、トルクはベクトルとして考えられます。

角変位は、軸に沿ったベクトルで、大きさは に等しいとみなされます。軸に沿った方向を見つけるには、右手の法則を使用します。つまり、右手の指を曲げて物体の回転方向を指すと、右手の親指はベクトルの方向を指します。 ${\displaystyle \Delta \theta }$

角速度ベクトルも、それが引き起こす角変位と同じように、回転軸に沿って向きます。ディスクが上から見たときに反時計回りに回転する場合、その角速度ベクトルは上向きになります。同様に、角加速度ベクトルは、角加速度が長時間維持された場合に角速度が指す方向と同じ方向に回転軸に沿って向きます。

トルク ベクトルは、トルクが回転を引き起こす傾向がある軸に沿っています。固定軸の周りの回転を維持するには、合計トルク ベクトルが軸に沿っている必要があります。これにより、角速度ベクトルの方向ではなく大きさだけが変わります。ヒンジの場合、軸に沿ったトルク ベクトルの成分のみが回転に影響し、その他の力とトルクは構造によって補正されます。

数学では、軸-角度表現は、 3次元ユークリッド空間における回転を2つの量でパラメータ化します。回転軸の方向を示す単位ベクトルeと、軸の周りの回転の大きさと向き（たとえば、時計回り）を表す回転角θ です。原点を根とする単位ベクトルeの方向を定義するには、3つではなく2つの数値だけが必要です。これは、 eの大きさが制約されているためです。たとえば、eの仰角と方位角は、特定の直交座標系で e を配置するのに十分です。

ロドリゲスの回転公式によれば、角度と軸は 3 次元ベクトルを回転させる変換を決定します。回転は右手の法則で規定される方向に発生します。

回転軸はオイラー軸と呼ばれることもあります。軸と角度の表現はオイラーの回転定理に基づいています。この定理では、3 次元空間における剛体のあらゆる回転または回転シーケンスは、単一の固定軸を中心とした純粋な回転と同等であると規定されています。

これは3 次元における多くの回転形式 のうちの 1 つです。

固定軸の周りの回転の最も単純なケースは、一定の角速度の場合です。その場合、合計トルクはゼロです。地球が軸の周りを回転する例では、摩擦はほとんどありません。ファンの場合 、モーターは摩擦を補うためにトルクを適用します。ファンと同様に、大量生産の製造業で見られる機器は、固定軸の周りの回転を効果的に示しています。たとえば、多軸旋盤は、材料をその軸上で回転させ、切断、変形、および旋削操作の生産性を効果的に向上させるために使用されます。^[2]回転角度は時間の線形関数であり、360°を法として周期関数になります。

一例としては、円軌道を持つ二体問題が挙げられます。

内部の引張応力は、回転する物体をまとめる向心力をもたらします。剛体モデルでは、付随するひずみは無視されます。物体が剛体でない場合、このひずみによって物体の形状が変化します。これは、「遠心力」によって物体の形状が変化すると表現されます。

互いに回転する天体は、楕円軌道をとることが多い。円軌道の特殊なケースは、固定軸の周りの回転の例である。この軸は、運動面に対して垂直な質量中心を通る線である。求心力は重力によってもたらされる。二体問題も参照のこと。これは通常、回転する天体にも当てはまるため、密度に比べて角速度が高すぎない限り、一体化するために固体である必要はない。（ただし、扁平になる傾向がある。）たとえば、回転する水天体は、大きさに関係なく、少なくとも3時間18分かけて回転する必要があり、そうでないと水が分離してしまう^[要出典]。流体の密度が高い場合は、時間が短くなる可能性がある。軌道周期を参照のこと。^[3]

• 物理学の基礎拡張版 第 7版、 Halliday、 Resnick、 Walker著。ISBN 0-471-23231-9 
• 物理学の概念第 1 巻、HC Verma著、第 1 版、ISBN 81-7709-187-5