歳差

歳差運動は、回転体の回転軸の方向の変化です。適切な基準フレームでは、これは第 1オイラー角の変化として定義できますが、第 3 オイラー角は回転自体を定義します。言い換えると、物体の回転軸自体が第 2 軸を中心に回転している場合、その物体は第 2 軸を中心に歳差運動していると言えます。第 2 オイラー角が変化する運動は章動と呼ばれます。物理学では、歳差運動には、トルクフリーとトルク誘導の 2 種類があります。

天文学において、歳差運動とは、天体の回転または軌道パラメータのいくつかの緩やかな変化のいずれかを指します。重要な例として、地球の自転軸の方向の着実な変化が挙げられます。 これは、春分点歳差運動として知られています。

トルクフリー歳差運動とは、物体に外部モーメント（トルク）が加わらない運動です。トルクフリー歳差運動では、角運動量は一定ですが、角速度ベクトルの方向は時間とともに変化します。これを可能にするのが、時間とともに変化する慣性モーメント、より正確には、時間とともに変化する慣性行列です。慣性行列は、別々の座標軸（例：x、y、z ）に関して計算された物体の慣性モーメントで構成されます。物体が回転の主軸に関して非対称である場合、各座標方向に関する慣性モーメントは、角運動量を維持しながら時間とともに変化します。その結果、各軸に関する物体の角速度の成分は、各軸の慣性モーメントと反比例して変化します。

対称軸を持つ物体（例えば円盤）が、その対称軸と一致しない軸を中心に回転する場合のトルクのない歳差運動速度は、次のように計算できます。^[1] ここで、 ω _pは歳差運動速度、ω _sは対称軸周りの回転速度、I _sは対称軸周りの慣性モーメント、I _pは他の 2 つの等しい垂直主軸のいずれか周りの慣性モーメント、αは慣性モーメントの方向と対称軸の間の角度です。^[2]$${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{\mathrm {p} }={\frac {{\boldsymbol {I}}_{\mathrm {s} }{\boldsymbol {\omega }}_{\ mathrm {s} }}{{\boldsymbol {I}}_{\mathrm {p} }\cos({\boldsymbol {\アルファ }})}}}$$

物体が完全に剛体でない場合、非弾性散逸によってトルクのない歳差運動が減衰する傾向があり、^[3]回転軸は物体の慣性軸の1つと一直線になります。

対称軸を持たない一般的な固体物体の場合、物体の向きの変化は、例えば内部座標を外部座標に変換する回転行列Rによって表され、数値的にシミュレートされる。物体の内部慣性モーメントテンソル I ₀と外部角運動量L が固定されているとすると、瞬間角速度は、 ω を 繰り返し再計算し、小さな回転ベクトルω dt を短時間dtに適用することで歳差運動が発生する。例えば、 歪対称行列[ ω ] _× の場合である。有限の時間ステップによって生じる誤差は、回転運動エネルギーを増大させる傾向がある。 この非物理的な傾向は、 ωとL の両方に垂直な 小さな回転ベクトルv を繰り返し適用することで打ち消すことができる。 $${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\left({\boldsymbol {R}}\right)={\boldsymbol {R}}{\boldsymbol {I}}_{0}^{-1}{\boldsymbol {R}}^{T}{\boldsymbol {L}}}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {R}}_{\text{new}}=\exp \left(\left[{\boldsymbol {\omega }}\left({\boldsymbol {R}}_{\text{old}}\right)\right]_{\times }dt\right){\boldsymbol {R}}_{\text{old}}}$$ $${\displaystyle E\left({\boldsymbol {R}}\right)={\boldsymbol {\omega }}\left({\boldsymbol {R}}\right)\cdot {\frac {\boldsymbol {L}}{2}}}$$$${\displaystyle E\left(\exp \left(\left[{\boldsymbol {v}}\right]_{\times }\right){\boldsymbol {R}}\right)\approx E\left({\boldsymbol {R}}\right)+\left({\boldsymbol {\omega }}\left({\boldsymbol {R}}\right)\times {\boldsymbol {L}}\right)\cdot {\boldsymbol {v}}}$$

トルク誘起歳差運動（ジャイロ歳差運動）は、回転する物体（ジャイロスコープなど）に外部トルクが加えられたときに、その軸が空間内で円錐を描く現象です。この現象は回転するおもちゃのコマでよく見られますが、回転する物体はすべて歳差運動を起こす可能性があります。回転速度と外部トルクの大きさが一定であれば、回転軸は外部トルクから直感的に生じる方向に対して直角に移動します。おもちゃのコマの場合、その重量は質量中心から下向きに作用し、地面の法線力（反力）は支持部との接触点でコマを押し上げます。これらの 2 つの反対の力によってトルクが生成され、コマが歳差運動します。

右に示す装置はジンバルに取り付けられています。内側から外側にかけて、ホイールのハブ、ジンバル軸、垂直ピボットの 3 つの回転軸があります。

2 つの水平軸を区別するために、ホイール ハブの周りの回転をスピニングと呼び、ジンバル軸の周りの回転をピッチングと呼びます。垂直ピボット軸の周りの回転は回転と呼ばれます。

まず、デバイス全体が (垂直の) ピボット軸を中心に回転していると想像してください。次に、ホイール (ホイールハブの周り) の回転が追加されます。ジンバル軸がロックされ、ホイールがピッチできないと想像してください。ジンバル軸には、ジンバル軸の周りに トルクがあるかどうかを測定するためのセンサーがあります。

図では、車輪のセクションがdm ₁と名付けられています。描かれた瞬間、セクションdm ₁は（垂直）ピボット軸の周りの回転運動の周囲にあります。したがって、セクションdm _{1 は}、ピボット軸の周りの回転に対して大きな角回転速度を持ち、 dm _{1 が}回転のピボット軸に近づくにつれて（車輪がさらに回転することによって）、コリオリの効果により、垂直ピボット軸に関して、dm _{1 は}、ピボット軸の周りの回転方向で、図の左上の矢印の方向（45°で表示）に移動する傾向があります。^[4]車輪の セクションdm _{2はピボット軸から離れているため、力（これもコリオリの力）は}dm ₁の場合と同じ方向に作用します。両方の矢印が同じ方向を指していることに注意してください。

同じ理屈がホイールの下半分にも当てはまりますが、矢印は上半分の矢印とは反対方向を指しています。ホイール全体を組み合わせると、垂直軸の周りの回転にいくらかの回転が加わると、ジンバル軸の周りにトルクが発生します。

ジンバル軸の周りのトルクは遅延なく発生し、応答は瞬時であることに注意することが重要です。

上の説明では、ジンバル軸の周りのピッチングを防止することで、セットアップは変更されませんでした。回転するおもちゃのコマの場合、コマが傾き始めると、重力によってトルクが発生します。ただし、コマは横転するのではなく、わずかにピッチングするだけです。このピッチング運動により、回転するコマは、発生しているトルクに対して向きを変えます。その結果、ピッチング運動を介して重力によって発生するトルクは、コマが横に倒れるのではなく、ジャイロスコープの歳差運動を引き起こします (これにより、重力トルクに対する反トルクが発生します)。

歳差運動やジャイロスコープの考慮は、自転車の高速走行時の性能に影響を及ぼします。歳差運動は、ジャイロコンパスの背後にあるメカニズムでもあります。

歳差運動は、トルクによって生じる角速度と角運動量の変化です。トルクと角運動量の変化率を関連付ける一般的な方程式は次のとおりです 。 ここで、 とはそれぞれトルクと角運動量のベクトルです。 $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}}$$${\displaystyle {\boldsymbol {\タウ }}}$${\displaystyle \mathbf {L} }$

トルク ベクトルの定義方法により、トルク ベクトルはそれを生成する力の平面に対して垂直なベクトルになります。したがって、角運動量ベクトルはそれらの力に対して垂直に変化することがわかります。力の生成方法によっては、角運動量ベクトルとともに回転することが多く、円運動が発生します。

このような状況下では、歳差運動の角速度は次のように表される: ^[5]

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{\mathrm {p} }={\frac {\ mgr}{I_{\mathrm {s} }{\boldsymbol {\omega }}_{\mathrm {s } }}}={\frac {\tau }{I_{\mathrm {s} }{\boldsymbol {\omega }}_{\mathrm {s} }\sin(\theta )}}}$

ここで、I _sは慣性モーメント、ω _sは回転軸の周りの回転角速度、mは質量、gは重力加速度、θは回転軸と歳差運動軸の間の角度、r は質量中心とピボット間の距離です。トルクベクトルは質量中心から始まります。ω = ⁠を使用すると2π/T⁠ 、歳差運動の周期は次のように表されることがわかる^{: [6]} $${\displaystyle T_{\mathrm {p} }={\frac {4\pi ^{2}I_{\mathrm {s} }}{\ mgrT_{\mathrm {s} }}}={\frac {4\pi ^{2}I_{\mathrm {s} }\sin(\theta )}{\ \tau T_{\mathrm {s} }}}}$$

ここで、I _sは慣性モーメント、T _sはスピン軸の周りのスピン周期、τはトルクです。ただし、一般に、問題はこれよりも複雑です。

特殊相対性理論と一般相対性理論は、上で説明した地球のような大きな質量に近いジャイロスコープのニュートン歳差運動に対して、3 種類の補正を与えます。それは次のとおりです。

• トーマス歳差運動。物体（ジャイロスコープなど）が曲線経路に沿って加速されることを考慮した特殊相対論的補正。
• ド・ジッター歳差運動、大きな非回転質量の近くの曲がった空間のシュワルツシルト計量を考慮した一般相対論的補正。
• レンズ・サーリング歳差運動、大きな回転質量の近くの曲がった空間のカー計量によるフレームの引きずりを考慮した一般相対論的補正。

シュヴァルツシルト測地線（シュヴァルツシルト歳差とも呼ばれる）は、惑星の 異常な近日点歳差の予測に使用され、特に水星の遠日点歳差の正確な予測に使用されます。

天文学において、歳差運動とは、重力によって引き起こされる、天体の回転軸または軌道のゆっくりとした継続的な変化を指します。春分点歳差運動、近日点歳差運動、地球の軸の軌道に対する傾きの変化、および数万年にわたる軌道の離心率は、すべて氷河期の天文学理論の重要な部分です。 （ミランコビッチ サイクルを参照。）

軸歳差は天体の回転軸の動きであり、軸はゆっくりと円錐を描きます。地球の場合、このタイプの歳差は、春分点歳差、太陰太陽歳差、または赤道歳差とも呼ばれます。地球は、約 26,000 年の周期でこのような完全な歳差運動を 1 回経験します。つまり、72 年ごとに 1° です。この間、星の位置は赤道座標と黄道経度の両方でゆっくりと変化します。このサイクルで、地球の北軸極は現在の位置から北極星から 1° 以内に移動し、黄道極の周りを約 23.5° の角度半径で 円を描きます。

古代ギリシャの天文学者 ヒッパルコス（紀元前190年頃-120年頃）は、春分点の歳差運動を1世紀あたり約1°（古代の実際の値である1.38°とそれほど変わらない）と認識し評価した最古の天文学者として一般に認められているが、^[7]これが本当であったかどうかについては若干の論争がある。^[8]古代中国では、晋の時代の学者で官僚の于熙（ 307年-345年活躍）が数世紀後に同様の発見をしており、冬至の太陽の位置が星の位置に対して50年間で約1°ずれていることを指摘している。^[9]地球の軸の歳差運動は、後にニュートン物理学によって説明された。扁平な回転楕円体である地球は、赤道で外側に膨らんだ非球形をしている。月と太陽の重力潮汐力は赤道にトルクを加え、赤道の膨らみを黄道面内に引き込もうとするが、代わりに歳差運動を引き起こす。惑星、特に木星によって及ぼされるトルクも役割を果たしている。^[10]

太陽の周りを回る惑星の軌道は、実際には毎回同一の楕円を描くわけではなく、各惑星の楕円軌道の長軸も、他の惑星によって及ぼされる変化する重力の形での摂動に部分的に反応して、その軌道面内で歳差運動するため、実際には花びらの形を描きます。これは、近日点歳差運動または遠日点歳差運動と呼ばれます。

付属画像では、地球の遠心歳差運動が示されています。地球が太陽の周りを回ると、その楕円軌道は時間の経過とともに徐々に回転します。楕円の離心率と軌道の歳差運動率は、視覚化のために誇張されています。太陽系のほとんどの軌道は離心率がはるかに小さく、歳差運動の速度もはるかに遅いため、ほぼ円形でほぼ静止しています。

観測された水星の近日点歳差運動速度と古典力学によって予測された速度との食い違いは、アインシュタインの相対性理論（特に一般相対性理論）の受容につながった実験的証拠の中でも顕著であり、この理論は異常現象を正確に予測した。^{[11] [12]}アインシュタインの万有引力理論は、ニュートンの法則から外れて、⁠あ/r4 ^{4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 56 67 78 89 90 100 100 110 120}⁠ 、これは100年ごとに 43秒角の観測された過剰回転率を正確に示します

軌道ノードも時間の経過とともに歳差運動します。

• ラーモア歳差
• 章動運動
• 極運動
• 歳差運動（機械的）
• 平行移動の一種としての歳差運動

Wikibooksには回転運動に関する本があります。

• ウィキメディア・コモンズの歳差運動に関連するメディア
• コマの歳差運動の公式の説明と導出
• 歳差運動とミランコビッチ理論 天文観測者から宇宙船まで