求心力

向心力（ラテン語のcentrum「中心」とpetere「探す」に由来^[1]）は、物体を曲線の軌道に沿わせる力である。向心力の方向は常に物体の運動と直交し、軌道の瞬間的な曲率中心の固定点に向かう。アイザック・ニュートンはこれを「物体が中心となる一点に向かって引き寄せられたり、推進されたりする、あるいは何らかの形で傾向を示す力」と説明した^{[2] 。}ニュートン力学では、重力が天体の軌道を引き起こす向心力を提供する。

向心力の一般的な例としては、物体が円軌道に沿って等速で動く場合が挙げられます。向心力は運動に対して直角に作用し、また円軌道の中心に向かって半径に沿って作用します。^{[3] [4]この数学的記述は1659年にオランダの物理学者}クリスティアーン・ホイヘンスによって導き出されました。^[5]

曲線運動の運動学から、曲率半径rの経路に沿って接線速度 vで動く物体は、曲率中心に向かって a c = lim Δ t → 0 Δ v Δ t 、 a c = v 2 r {\displaystyle {\textbf {a}}_{c}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta {\textbf {v}}}{\Delta t}},\quad a_{c}={\frac {v^{2}}{r}}} の速度で加速すること が分かっています。 ここで、は向心加速度、はと における速度ベクトルの差です。 ${\displaystyle a_{c}}$${\displaystyle \Delta {\textbf {v}}}$${\displaystyle t+\Delta {t}}$${\displaystyle t}$

ニュートンの運動の第二法則によれば、加速の原因は物体に作用する正味の力であり、その力は物体の質量mと加速度に比例する。この力は一般に向心力と呼ばれ、大きさは^[6] F c = m a c = m v 2 r {\displaystyle F_{c}=ma_{c}=m{\frac {v^{2}}{r}}} であり、向心加速度と同様に、物体の軌道の曲率中心に向けられる。

向心加速度は、2 つの時点における速度ベクトルの図から推測できます。等速円運動の場合、速度の大きさは一定です。各速度はそれぞれの位置ベクトルに垂直なので、単純なベクトルの減算により、角度が等しい 2 つの相似な二等辺三角形が得られます。1 つは底辺がで一辺の長さがで、もう 1 つは底辺が(位置ベクトルの差) で一辺の長さがです。^[7] したがって、は次のように置き換えることができます。^[7] 力の方向は、物体が動いている円の中心、または接触円(物体の局所的な経路が円形でない場合は、その経路に最もよく適合する円) に向かいます。^[8] 式の速度は 2 乗なので、半径が一定の場合、速度が 2 倍になると力は 4 倍になります。 ${\displaystyle \Delta {\textbf {v}}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \Delta {\textbf {r}}}$${\displaystyle r}$ $${\displaystyle {\frac {|\Delta {\textbf {v}}|}{v}}={\frac {|\Delta {\textbf {r}}|}{r}}}$$ $${\displaystyle |\Delta {\textbf {v}}|={\frac {v}{r}}|\Delta {\textbf {r}}|}$$${\displaystyle |\Delta {\textbf {v}}|}$${\displaystyle {\frac {v}{r}}|\Delta {\textbf {r}}|}$ $${\displaystyle a_{c}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {|\Delta {\textbf {v}}|}{\Delta t}}={\frac {v}{r}}\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {|\Delta {\textbf {r}}|}{\Delta t}}=\omega \lim _{\Delta t\to 0}{\frac {|\Delta {\textbf {r}}|}{\Delta t}}=v\omega ={\frac {v^{2}}{r}}}$$

この力は、物体の円の中心を回る 角速度 ωで表すこともある。 これは 、接線速度と次の式で関係付けられる。$${\displaystyle v=\omega r}$$$${\displaystyle F_{c}=mr\omega ^{2}\,.}$$

円周1周の 軌道周期 Tを用いて表すと、 ω = 2 π T {\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}}} となり、 式は^{[9]となる。} $${\displaystyle F_{c}=mr\left({\frac {2\pi }{T}}\right)^{2}.}$$

粒子加速器では、速度が非常に高くなることがある（真空中の光速に近い）ので、同じ静止質量でもより大きな慣性（相対論的質量）を発揮し、同じ求心加速度を得るにはより大きな力が必要になるため、式は次のようになります。^[10] ここで、 γ = 1 1 − v 2 c 2 {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}} は ローレンツ因子 です。 $${\displaystyle F_{c}={\frac {\gamma mv^{2}}{r}}}$$

したがって、向心力は次のように表されます。 これは相対論的運動量 の変化率です。 $${\displaystyle F_{c}=\gamma mv\omega }$$ ${\displaystyle \gamma mv}$

ロープの端で水平面内で回転している物体の場合、物体にかかる向心力はロープの張力によって供給されます。ロープの例は、「引っ張る」力を伴う例です。向心力は、「押す」力として供給することもできます。たとえば、壁の通常の反応がウォール オブデスやローターライダーの向心力を供給する場合などです。

ニュートンの向心力の考え方は、今日では中心力と呼ばれているものに対応する。衛星が惑星の周りを周回しているとき、重力は向心力であると考えられるが、偏心軌道の場合、重力は瞬間的な曲率中心ではなく焦点に向けられる。^[11]

求心力のもう 1 つの例は、他の外力が存在しない状態で荷電粒子が均一な磁場内を移動するときに描かれる螺旋に発生します。この場合、磁力は螺旋軸に向かって作用する求心力です。

以下は、速度と加速度を支配する公式の導出を伴う、複雑さが増す 3 つの例です。

等速円運動とは、回転速度が一定の場合を指します。このケースを説明するには、次の 2 つの方法があります。

2次元では、大きさ（長さ）を持ち、 x軸より上向きの角度を向く位置ベクトルは、単位ベクトルとを使用して直交座標で表すことができます。^[12]${\displaystyle {\textbf {r}}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$ $${\displaystyle {\textbf {r}}=r\cos(\theta ){\hat {\mathbf {x} }}+r\sin(\theta ){\hat {\mathbf {y} }}.}$$

等速円運動を仮定するには、次の 3 つの条件が必要です。

1. オブジェクトは円上のみに移動します。
2. 円の半径は時間とともに変化しません。${\displaystyle r}$
3. 物体は一定の角速度 で円の周りを動きます。したがって、時間はどこにありますか。${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \theta =\omega t}$${\displaystyle t}$

運動の速度と加速度は、 時間に対する位置の 1 次導関数と 2 次導関数です。 ${\displaystyle {\textbf {v}}}$ ${\displaystyle {\textbf {a}}}$

$${\displaystyle {\textbf {r}}=r\cos(\omega t){\hat {\mathbf {x} }}+r\sin(\omega t){\hat {\mathbf {y} }},}$$ v = r ˙ = − r ω sin ⁡ ( ω t ) x ^ + r ω cos ⁡ ( ω t ) y ^ , {\displaystyle {\textbf {v}}={\dot {\textbf {r}}}=-r\omega \sin(\omega t){\hat {\mathbf {x} }}+r\omega \cos(\omega t){\hat {\mathbf {y} }},} a = r ¨ = − ω 2 ( r cos ⁡ ( ω t ) x ^ + r sin ⁡ ( ω t ) y ^ ) . {\displaystyle {\textbf {a}}={\ddot {\textbf {r}}}=-\omega ^{2}(r\cos(\omega t){\hat {\mathbf {x} }}+r\sin(\omega t){\hat {\mathbf {y} }})。

括弧内の項は、直交座標におけるの元の表現です。したがって、 負の値は加速度が円の中心（半径の反対）に向いていることを示しており、そのため「求心的」（つまり「中心を求める」）と呼ばれます。物体は（慣性により）自然に直線経路をたどりますが、この求心加速度は求心力によって引き起こされる円運動経路を表します。 ${\displaystyle {\textbf {r}}}$$${\displaystyle {\textbf {a}}=-\omega ^{2}{\textbf {r}}.}$$

右の図は、等速円運動のベクトル関係を示しています。回転自体は、角速度ベクトルΩで表されます。これは、軌道面に対して垂直であり (右手の法則を使用)、大きさは次のように表されます。

${\displaystyle |\mathbf {\Omega } |={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}=\omega \ ,}$

ここで、 θは時刻tにおける角度位置である。このサブセクションでは、d θ /d t は時間に依存せず一定であると仮定する。円軌道に沿って 時間 d tに粒子が移動した距離dℓは、

${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\mathbf {\Omega } \times \mathbf {r} (t)\mathrm {d} t\ ,}$

これはベクトル外積の性質により、大きさr d θを持ち、円軌道に接する方向にあります。

その結果、

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}=\lim _{{\Delta }t\to 0}{\frac {\mathbf {r} (t+{\Delta }t)-\mathbf {r} (t)}{{\Delta }t}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}{\mathrm {d} t}}\ .}$

言い換えると、

${\displaystyle \mathbf {v} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {\boldsymbol {\ell }} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {\Omega } \times \mathbf {r} (t)\ .}$

時間に関して微分すると、 $${\displaystyle \mathbf {a} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{d\mathrm {t} }}=\mathbf {\Omega } \times {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} (t)}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {\Omega } \times \left[\mathbf {\Omega } \times \mathbf {r} (t)\right]\ .}$$

ラグランジュの公式は次のように述べます。 $${\displaystyle \mathbf {a} \times \left(\mathbf {b} \times \mathbf {c} \right)=\mathbf {b} \left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} \right)-\mathbf {c} \left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \right)\ .}$$

Ω • r ( t ) = 0 が常に成り立つ という観察に基づいてラグランジュの公式を適用すると、$${\displaystyle \mathbf {a} =-{|\mathbf {\Omega |} }^{2}\mathbf {r} (t)\ .}$$

言葉で言えば、加速度は常に 半径方向の変位rと正反対を向いており、大きさを持ちます。ここで、垂直バー |...| はベクトルの大きさを示し、 r ( t ) の場合は単に経路の 半径rです。この結果は、表記が少し異なりますが、前のセクションと一致します。$${\displaystyle |\mathbf {a} |=|\mathbf {r} (t)|\left({\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\right)^{2}=r{\omega }^{2}}$$

非一様円運動の解析において回転速度を一定にすると、その解析はこの解析と一致します。

ベクトルアプローチの利点は、どの座標系からも明らかに独立していることです。

右の画像の上段は、傾斜したカーブ上を円運動するボールを示しています。カーブは水平から角度θで傾斜しており、路面は滑りやすいと考えられます。目的は、ボールが路面から滑り落ちないようにするためには、どの程度の傾斜角にする必要があるかを見つけることです。^[13]直感的に、傾斜が全くない平坦なカーブでは、ボールは路面から滑り落ちるだけですが、傾斜が非常に急な場合は、ボールはカーブを素早く通過しない限り、中央に向かって滑り落ちます。

経路の方向に発生する可能性のある加速とは別に、上の画像の下のパネルはボールにかかる力を示しています。力は2 つあります。1 つはボールの質量の中心を通る垂直下向きの重力m gで、mはボールの質量、g は重力加速度です。2 つ目は、道路が路面に対して直角に及ぼす上向きの垂直力m a _nです。曲線運動に必要な向心力も上に示されています。この向心力はボールに適用される 3 番目の力ではなく、垂直力と重力のベクトル加算によって生じるボールへの正味の力によって提供される必要があります。道路によって及ぼされる垂直力と重力による垂直力のベクトル加算によって得られるボールへの結果の力、つまり正味の力は、円形の経路を移動する必要があることによって決まる向心力と等しくなければなりません。この正味の力が運動に必要な向心力を提供する限り、曲線運動は維持されます。

ボールにかかる水平方向の正味の力は、道路からの力の水平成分で、大きさは| F _h | = m | a _n | sin θです。道路からの力の垂直成分は、重力に対抗する必要があります: | F _v | = m | a _n | cos θ = m | g |、つまり| a _n | = | g | / cos θです。上記の式に| F _h |を代入すると、水平方向の力は次のようになります: | F h | = m | g | sin ⁡ θ cos ⁡ θ = m | g | tan ⁡ θ 。{\displaystyle |\mathbf {F} _{\mathrm {h} }|=m|\mathbf {g} |{\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}=m|\mathbf {g} |\tan \theta \,.}

一方、半径rの円軌道上の速度 | v | では、運動学によれば、ボールを連続的に回転させるために必要な力は、半径方向内側への向心力F _cの大きさになります。 $${\displaystyle |\mathbf {F} _{\mathrm {c} }|=m|\mathbf {a} _{\mathrm {c} }|={\frac {m|\mathbf {v} |^{2}}{r}}\,.}$$

その結果、道路の角度が条件を満たすように設定されているとき、ボールは安定した軌道を描きます。 または、 $${\displaystyle m|\mathbf {g} |\tan \theta ={\frac {m|\mathbf {v} |^{2}}{r}}\,,}$$$${\displaystyle \tan \theta ={\frac {|\mathbf {v} |^{2}}{|\mathbf {g} |r}}\,.}$$

傾斜角θが90° に近づくと、接線関数は無限大に近づき、| v | ² / rの値が大きくなる。言葉で言えば、この式は、速度が速い（| v | が大きい）場合は道路をより急に傾斜させる（θの値が大きい）必要があり、急カーブの場合は道路をより急に傾斜させる必要があることを示し、これは直感と一致している。角度θが上記の条件を満たさない場合、道路によって及ぼされる力の水平成分は正しい求心力を提供せず、差を補うために路面の接線方向の追加の摩擦力が求められる。摩擦がこれを行えない場合（つまり、摩擦係数を超えた場合）、ボールはバランスが取れる別の半径に滑り込む。^{[14] [15]}

これらの考え方は航空飛行にも当てはまります。FAAパイロットマニュアルを参照してください。^[16]

等速円運動のケースを一般化して、回転角速度が一定でないと仮定します。右の図に示すように、加速度には接線成分が含まれます。このケースは、極座標系に基づく導出戦略を示すために使用されます。

r ( t ) を質点の位置を時間の関数として表すベクトルとする。円運動を仮定しているので、r ( t ) = R · u _rとする。ここで、Rは定数（円の半径）、u _{r は}原点から質点を指す単位ベクトルである。 u _rの方向は、x 軸と単位ベクトルの間の角度θで表され、x 軸から反時計回りに測定される。極座標のもう 1 つの単位ベクトルu _{θ は}u _rに垂直で、 θ が増加する方向を指す。これらの極単位ベクトルは、 x方向とy方向の直交単位ベクトルで表すことができ、それぞれ およびと表記される。^[17]および${\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {j} }}}$ $${\displaystyle \mathbf {u} _{r}=\cos \theta \ {\hat {\mathbf {i} }}+\sin \theta \ {\hat {\mathbf {j} }}}$$$${\displaystyle \mathbf {u} _{\theta }=-\sin \theta \ {\hat {\mathbf {i} }}+\cos \theta \ {\hat {\mathbf {j} }}.}$$

速度を求めるには微分します。 ここでωは角速度dθ / dtです。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} &=r{\frac {d\mathbf {u} _{r}}{dt}}\\&=r{\frac {d}{dt}}\left(\cos \theta \ {\hat {\mathbf {i} }}+\sin \theta \ {\hat {\mathbf {j} }}\right)\\&=r{\frac {d\theta }{dt}}{\frac {d}{d\theta }}\left(\cos \theta \ {\hat {\mathbf {i} }}+\sin \theta \ {\hat {\mathbf {j} }}\right)\\&=r{\frac {d\theta }{dt}}\left(-\sin \theta \ {\hat {\mathbf {i} }}+\cos \theta \ {\hat {\mathbf {j} }}\right)\\&=r{\frac {d\theta }{dt}}\mathbf {u} _{\theta }\\&=\omega r\mathbf {u} _{\theta }\end{aligned}}}$$

この速度の結果は、速度が円の接線方向に向いており、速度の大きさがrωであるという予想と一致しています。再度微分すると、 加速度aは次のようになります。 $${\displaystyle {\frac {d\mathbf {u} _{\theta }}{dt}}=-{\frac {d\theta }{dt}}\mathbf {u} _{r}=-\omega \mathbf {u} _{r}\ ,}$$$${\displaystyle \mathbf {a} =r\left({\frac {d\omega }{dt}}\mathbf {u} _{\theta }-\omega ^{2}\mathbf {u} _{r}\right)\ .}$$

したがって、加速度の半径方向成分と接線方向成分は次のようになります。 ここで、| v | = r ωは速度の大きさ (速さ) です。 $${\displaystyle \mathbf {a} _{r}=-\omega ^{2}r\ \mathbf {u} _{r}=-{\frac {|\mathbf {v} |^{2}}{r}}\ \mathbf {u} _{r}}$$$${\displaystyle \mathbf {a} _{\theta }=r\ {\frac {d\omega }{dt}}\ \mathbf {u} _{\theta }={\frac {d|\mathbf {v} |}{dt}}\ \mathbf {u} _{\theta }\ ,}$$

これらの方程式は、速度が変化しながら円形の経路に沿って移動する物体の場合、物体の加速度は、運動の方向を変える垂直成分(求心加速度) と、速度を変える平行または接線成分に分解できることを数学的に表現しています。

上記の結果は、おそらく極座標でより単純に導き出すことができ、同時に次に示すように平面内の一般的な運動に拡張することができる。平面内の極座標は、上に示すように、放射状の単位ベクトルu _ρと角度の単位ベクトルu _θを使用する。^[18]位置rにある粒子は次のように記述される。

$${\displaystyle \mathbf {r} =\rho \mathbf {u} _{\rho }\ ,}$$

ここで、原点からの経路の距離を表すのにRではなくρという表記が使われているのは、この距離が一定ではなく時間とともに変化することを強調するためである。単位ベクトルu _{ρ は}粒子とともに移動し、常にr ( t ) と同じ方向を指す。単位ベクトルu _θも粒子とともに移動し、u _ρに直交する。したがって、u _ρとu _{θ は}粒子に付随し、粒子が移動した経路に結び付けられた局所直交座標系を形成する。^[19]単位ベクトルを移動してその尾が一致するようにすると、上の画像の左側の円に見られるように、u _ρとu _{θ が}直角のペアを形成し、その先端が単位円の周囲をr ( t ) と同じ角度θ ( t )で前後にたどることがわかる。

粒子が動くとき、その速度は

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\rho }+\rho {\frac {\mathrm {d} \mathbf {u} _{\rho }}{\mathrm {d} t}}\,.}$

速度を評価するには、単位ベクトルu _ρの導関数が必要です。u _ρは単位ベクトルなので、その大きさは固定されており、方向のみで変化します。つまり、その変化 d u _{ρ は}u _ρに垂直な成分のみを持ちます。軌道r ( t ) が d θだけ回転すると、r ( t )と同じ方向を指すu _{ρも d} θだけ回転します。上の図を参照してください。したがって、 u _ρの変化は

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {u} _{\rho }=\mathbf {u} _{\theta }\mathrm {d} \theta \,,}$

または

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {u} _{\rho }}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {u} _{\theta }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\,.}$

同様の方法で、 u _θの変化率も求められます。u _ρと同様に、u _{θ は}単位ベクトルであり、サイズを変えずに回転することしかできません。軌道r ( t ) が d θ だけ回転する間、 u ρ_{に直交したままでいるために、} r ( t )に直交するu _{θも d} θだけ回転します。 上の図を参照してください。 したがって、変化 d u _θはu _θに直交し、 d θに比例します(上の図を参照)。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {u} _{\theta }}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\rho }\,.}$

上記の式では符号が負であることがわかります。直交性を維持するために、 d u _{ρ が}d θに対して正である場合、 d u _{θ は}減少する必要があります。

u _ρの導関数を速度の式に代入すると、

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\rho }+\rho \mathbf {u} _{\theta }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}=v_{\rho }\mathbf {u} _{\rho }+v_{\theta }\mathbf {u} _{\theta }=\mathbf {v} _{\rho }+\mathbf {v} _{\theta }\,.}$

加速度を得るために、別の時間微分が行われます。

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} ^{2}\rho }{\mathrm {d} t^{2}}}\mathbf {u} _{\rho }+{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {u} _{\rho }}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\theta }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}+\rho {\frac {\mathrm {d} \mathbf {u} _{\theta }}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}+\rho \mathbf {u} _{\theta }{\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}\,.}$

u _ρとu _θの導関数を代入すると、粒子の加速度は次のようになる。^[20]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &={\frac {\mathrm {d} ^{2}\rho }{\mathrm {d} t^{2}}}\mathbf {u} _{\rho }+2{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\theta }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}-\rho \mathbf {u} _{\rho }\left({\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+\rho \mathbf {u} _{\theta }{\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}\ ,\\&=\mathbf {u} _{\rho }\left[{\frac {\mathrm {d} ^{2}\rho }{\mathrm {d} t^{2}}}-\rho \left({\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\right)^{2}\right]+\mathbf {u} _{\theta }\left[2{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}+\rho {\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}\right]\\&=\mathbf {u} _{\rho }\left[{\frac {\mathrm {d} v_{\rho }}{\mathrm {d} t}}-{\frac {v_{\theta }^{2}}{\rho }}\right]+\mathbf {u} _{\theta }\left[{\frac {2}{\rho }}v_{\rho }v_{\theta }+\rho {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {v_{\theta }}{\rho }}\right]\,.\end{aligned}}}$

具体的な例として、粒子が一定半径Rの円内を動く場合、 d ρ /d t = 0、v = v _θとなり、次のようになります。

$${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {u} _{\rho }\left[-\rho \left({\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\right)^{2}\right]+\mathbf {u} _{\theta }\left[\rho {\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}\right]=\mathbf {u} _{\rho }\left[-{\frac {v^{2}}{r}}\right]+\mathbf {u} _{\theta }\left[{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\right]\ }$$

どこ${\displaystyle v=v_{\theta }.}$

これらの結果は、上記の非一様円運動の結果と一致する。非一様円運動に関する記事も参照のこと。この加速度に粒子の質量を掛けると、最初の項は向心力となり、角加速度に関連する2番目の項の負の項はオイラー力と呼ばれることがある。^[21]

円運動以外の軌道、例えば上の図で想定されているより一般的な軌道の場合、軌道の瞬間的な回転中心と曲率半径は、u _ρとu _θで定義される座標系と長さ | r ( t )| = ρに間接的にしか関連していません。したがって、一般的なケースでは、上記の一般的な加速度方程式から求心力とオイラー項を切り離すのは簡単ではありません。^{[22] [23]}この問題を直接扱うには、次に説明するように、ローカル座標が適しています。

局所座標とは、粒子とともに移動する座標の集合を意味し、 ^[24]粒子の軌道によって方向が決まります。^[25]単位ベクトルは、右の図に示すように、軌道に対して接線方向と法線方向の両方で形成されます。この座標系は、これらの単位ベクトルを指して、固有座標または軌道座標 [26] [27] または nt 座標 (法線接線方向) と呼ばれることもあります。これらの座標^は、微分形式理論のより一般的な局所座標の概念の非常に特殊な例です。^[28]

粒子の経路に沿った距離は弧の長さsであり、時間の既知の関数であると考えられます。

${\displaystyle s=s(t)\ .}$

曲率中心は、法線u _n ( s )に沿った線上で曲線から距離ρ (曲率半径) にある各位置sで定義されます。弧の長さsでの必要な距離ρ ( s )は、曲線の接線の回転速度によって定義され、これはパス自体によって決まります。ある開始位置に対する接線の方向がθ ( s ) である場合、ρ ( s ) は導関数 d θ /d sによって定義されます。

${\displaystyle {\frac {1}{\rho (s)}}=\kappa (s)={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} s}}\ .}$

曲率半径は通常は正（つまり絶対値）として扱われますが、曲率 κは符号付きの量です。

曲率中心と曲率半径を求める幾何学的アプローチでは、接触円に至る極限過程を用いる。^{[29] [30]}上の図を参照。

これらの座標を使用すると、経路に沿った動きは、中心が常に変化する一連の円形経路として表示され、各位置sでは、その位置で半径ρの不均一な円運動が構成されます。回転角速度のローカル値は次のように表されます。

${\displaystyle \omega (s)={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} s}}{\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{\rho (s)}}\ {\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}={\frac {v(s)}{\rho (s)}}\ ,}$

局所速度vは次のように与えられる:

${\displaystyle v(s)={\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}\ .}$

上記の他の例と同様に、単位ベクトルは大きさを変えることができないため、その変化率は常に方向に対して垂直になります（上の画像の左側の挿入図を参照）。^[31]

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)}{ds}}=\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s){\frac {d\theta }{ds}}=\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s){\frac {1}{\rho }}\ ;}$ ${\displaystyle {\frac {d\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)}{\mathrm {d} s}}=-\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s){\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} s}}=-\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s){\frac {1}{\rho }}\ .}$

したがって、速度と加速度は次のようになる。^{[30] [32] [33]}

${\displaystyle \mathbf {v} (t)=v\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)\ ;}$

そして微分の連鎖律を使うと：

${\displaystyle \mathbf {a} (t)={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)-{\frac {v^{2}}{\rho }}\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)\ ;}$接線加速度で${\displaystyle {\frac {\mathrm {\mathrm {d} } v}{\mathrm {\mathrm {d} } t}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} s}}\ {\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} s}}\ v\ .}$

この局所座標系では、加速度は局所半径ρ ( s )を持つ不均一円運動の式に似ており、求心加速度は第2項として識別されます。^[34]

このアプローチを3次元空間曲線に拡張すると、フレネ・セレの公式が得られる。^{[35] [36]}

上の図を見ると、弧の長さを d s = ρ ( s )d θとして計算する際に、 ρ ( s ) とρ ( s + d s ) の曲率の違いが適切に考慮されているかどうか疑問に思うかもしれません。この点については、以下に概説するより正式なアプローチを使用することで安心できます。このアプローチは、曲率に関する記事とも関連しています。

局所座標系の単位ベクトルを導入するための一つの方法は、直交座標から始めて、局所座標を直交座標で記述することである。弧の長さsに関して、経路は次のように記述される：^[37] $${\displaystyle \mathbf {r} (s)=\left[x(s),\ y(s)\right].}$$

すると、経路 d sに沿った増分変位は次のように記述されます。 $${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} (s)=\left[\mathrm {d} x(s),\ \mathrm {d} y(s)\right]=\left[x'(s),\ y'(s)\right]\mathrm {d} s\ ,}$$

ここでプライムはsに関する微分を表すために導入されている。この変位の大きさはdsであり、次のことを示している。^[38]

${\displaystyle \left[x'(s)^{2}+y'(s)^{2}\right]=1\ .}$ （式1）

この変位は必然的に曲線のsにおける接線となり、曲線に接する単位ベクトルは次のように なる。一方、曲線に垂直な外向きの単位ベクトルは $${\displaystyle \mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)=\left[x'(s),\ y'(s)\right],}$$$${\displaystyle \mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)=\left[y'(s),\ -x'(s)\right],}$$

直交性は、ベクトルのドット積がゼロであることを示すことによって検証できます。これらのベクトルの単位大きさは、式1の結果です。接線ベクトルを使用すると、曲線の接線の 角度θは次のように表されます。$${\displaystyle \sin \theta ={\frac {y'(s)}{\sqrt {x'(s)^{2}+y'(s)^{2}}}}=y'(s)\ ;}$$${\displaystyle \cos \theta ={\frac {x'(s)}{\sqrt {x'(s)^{2}+y'(s)^{2}}}}=x'(s)\ .}$

曲率半径は、（幾何学的解釈を必要とせずに）次のように完全に形式的に導入されます。 $${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} s}}\ .}$$

θの導関数はsin θの導関数から求めることができます。 $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sin \theta }{\mathrm {d} s}}=\cos \theta {\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} s}}={\frac {1}{\rho }}\cos \theta \ ={\frac {1}{\rho }}x'(s)\ .}$$

ここで、 分母は 1 です。この正弦導関数の式を使用すると、曲率半径は次のようになります。ここで、形式の同値性は、式 1 の微分から生じます。 これらの結果から、加速度を求めることができます。 これは、単位ベクトルu _t ( s ) およびu _n ( s ) とのドット積を取ることで確認できます。この加速度の結果は、半径ρに基づく円運動の結果と同じです。慣性フレームでこの座標系を使用すると、軌道に垂直な力を向心力として、軌道に平行な力を接線力として簡単に識別できます。定性的な観点から、限られた時間、経路を円弧で近似することができ、特定の曲率半径が適用される限られた時間、遠心力とオイラー力をその半径の円運動に基づいて分析できます。 $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sin \theta }{\mathrm {d} s}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}{\frac {y'(s)}{\sqrt {x'(s)^{2}+y'(s)^{2}}}}={\frac {y''(s)x'(s)^{2}-y'(s)x'(s)x''(s)}{\left(x'(s)^{2}+y'(s)^{2}\right)^{3/2}}}\ ,}$$$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} s}}={\frac {1}{\rho }}=y''(s)x'(s)-y'(s)x''(s)={\frac {y''(s)}{x'(s)}}=-{\frac {x''(s)}{y'(s)}}\ ,}$$$${\displaystyle x'(s)x''(s)+y'(s)y''(s)=0\ .}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} (s)&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {v} (s)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[{\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}\left(x'(s),\ y'(s)\right)\right]\\&=\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}s}{\mathrm {d} t^{2}}}\right)\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)+\left({\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}\left(x''(s),\ y''(s)\right)\\&=\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}s}{\mathrm {d} t^{2}}}\right)\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)-\left({\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}{\frac {1}{\rho }}\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)\end{aligned}}}$$

加速度に関するこの結果は、先に見つかった結果と一致しています。ただし、このアプローチでは、 sによる曲率半径の変化の問題は、幾何学的解釈と一致しながらもそれに依存しない形で完全に形式的に処理されるため、上の図が示唆するρの変化を無視することに関する疑問を回避できます。

上記の式を説明するために、x、y を次のように指定します。

${\displaystyle x=\alpha \cos {\frac {s}{\alpha }}\ ;\ y=\alpha \sin {\frac {s}{\alpha }}\ .}$

それから：

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=\alpha ^{2}\ ,}$

これは原点を半径αで囲む円軌道として認識できます。位置s = 0 は [ α , 0]、つまり 3 時に対応します。上記の形式を使用するには、導関数が必要です。

${\displaystyle y^{\prime }(s)=\cos {\frac {s}{\alpha }}\ ;\ x^{\prime }(s)=-\sin {\frac {s}{\alpha }}\ ,}$

${\displaystyle y^{\prime \prime }(s)=-{\frac {1}{\alpha }}\sin {\frac {s}{\alpha }}\ ;\ x^{\prime \prime }(s)=-{\frac {1}{\alpha }}\cos {\frac {s}{\alpha }}\ .}$

これらの結果から、次のことが確認できます。

${\displaystyle x^{\prime }(s)^{2}+y^{\prime }(s)^{2}=1\ ;\ {\frac {1}{\rho }}=y^{\prime \prime }(s)x^{\prime }(s)-y^{\prime }(s)x^{\prime \prime }(s)={\frac {1}{\alpha }}\ .}$

単位ベクトルも次のように見つけることができます。

${\displaystyle \mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)=\left[-\sin {\frac {s}{\alpha }}\ ,\ \cos {\frac {s}{\alpha }}\right]\ ;\ \mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)=\left[\cos {\frac {s}{\alpha }}\ ,\ \sin {\frac {s}{\alpha }}\right]\ ,}$

これは、 s = 0 が位置 [ ρ , 0] にあり、s = ρ π/2 が [0, ρ ] にあることを示しています。これは、 xとyの元の式と一致しています。言い換えると、s は円の周りを 3 時から反時計回りに測定されます。また、これらのベクトルの導関数も次のように求められます。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)=-{\frac {1}{\alpha }}\left[\cos {\frac {s}{\alpha }}\ ,\ \sin {\frac {s}{\alpha }}\right]=-{\frac {1}{\alpha }}\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)\ ;}$

${\displaystyle \ {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)={\frac {1}{\alpha }}\left[-\sin {\frac {s}{\alpha }}\ ,\ \cos {\frac {s}{\alpha }}\right]={\frac {1}{\alpha }}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)\ .}$

速度と加速度を得るには、 sの時間依存性が必要です。可変速度v ( t ) での反時計回りの運動の場合:

${\displaystyle s(t)=\int _{0}^{t}\ dt^{\prime }\ v(t^{\prime })\ ,}$

ここで、v ( t ) は速度、tは時間、s ( t = 0) = 0 です。

${\displaystyle \mathbf {v} =v(t)\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)\ ,}$

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)+v{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)-v{\frac {1}{\alpha }}\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s){\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}}$

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)-{\frac {v^{2}}{\alpha }}\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)\ ,}$

ここで、α = ρ であることはすでに証明されています。この加速度は、非一様円運動の標準的な結果です。

• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). 科学者とエンジニアのための物理学 (第 6 版). Brooks/Cole. ISBN 978-0-534-40842-8。
• ティプラー、ポール (2004)。科学者とエンジニアのための物理学: 力学、振動と波、熱力学(第 5 版)。WH フリーマン。ISBN 978-0-7167-0809-4。
• 求心力と遠心力、オスウェゴ市学区によるオンラインのリージェント試験物理学チュートリアルより

• ジョージア州立大学の物理学と天文学のハイパー物理学からのノート