角運動量演算子

角運動量の古典的な定義は${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$これらの物体の量子力学的対応物も同じ関係性を共有している。 $${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$$ ここで、 rは量子位置演算子、pは量子運動量演算子、× は外積、Lは軌道角運動量演算子です。Lは( pやrと同様に)ベクトル演算子(成分が演算子であるベクトル)です。${\displaystyle \mathbf {L} =\left(L_{x},L_{y},L_{z}\right)}$ここで、 L _x、L _y、L _zは 3 つの異なる量子力学的演算子である。

電荷もスピンも持たない単一粒子の特殊な場合、軌道角運動量演算子は位置基底で次のように表すことができます。$${\displaystyle \mathbf {L} =-i\hbar (\mathbf {r} \times \nabla )}$$ ここで、∇はベクトル微分演算子delである。

スピン角運動量（より一般的にはスピンと略される）と呼ばれる別の種類の角運動量があり、スピン演算子によって表される。${\displaystyle \mathbf {S} =\left(S_{x},S_{y},S_{z}\right)}$スピンは、粒子が軸を中心に回転する様子として描かれることが多いが、これは比喩にすぎない。最も近い古典的な類似物は、波の循環に基づいている。^{[ 2 ]}すべての素粒子は固有のスピンを持っている（スカラーボソンはスピンがゼロ）。例えば、電子は常に「スピン 1/2」を持ち、光子は常に「スピン 1」を持つ（詳細は後述）。

最後に、全角運動量があります${\displaystyle \mathbf {J} =\left(J_{x},J_{y},J_{z}\right)}$これは、粒子またはシステムのスピン角運動量と軌道角運動量の両方を組み合わせたものです。 $${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} .}$$

角運動量保存則によれば、閉じた系におけるJ 、あるいは宇宙全体におけるJは保存される。しかし、 LとSは一般的には保存されない。例えば、スピン軌道相互作用によって、角運動量はLとSの間で行き来するが、全体のJは一定のままである。

軌道角運動量演算子はベクトル演算子であり、そのベクトル成分を用いて表すことができる。${\displaystyle \mathbf {L} =\left(L_{x},L_{y},L_{z}\right)}$コンポーネント間には、次の交換関係があります。 ^{[ 3 ]}$${\displaystyle \left[L_{x},L_{y}\right]=i\hbar L_{z},\;\;\left[L_{y},L_{z}\right]=i\hbar L_{x},\;\;\left[L_{z},L_{x}\right]=i\hbar L_{y},}$$

ここで、[ , ]は交換子を表す。$${\displaystyle [X,Y]\equiv XY-YX.}$$

これは次のように書くことができます $${\displaystyle \left[L_{l},L_{m}\right]=i\hbar \sum _{n=1}^{3}\varepsilon _{lmn}L_{n},}$$ ここで、 l、m、nは成分のインデックス（xの場合は1、 yの場合は2 、 zの場合は3 ）であり、εlmn_はレヴィ＝チヴィタ記号を表します。あるいは、アインシュタインの総和規約を用いて次のように記述することもできます。$${\displaystyle \left[L_{l},L_{m}\right]=i\hbar \varepsilon _{lmn}L_{n}.}$$

1つのベクトル方程式として簡潔に表現することも可能です。^{[ 4 ]}$${\displaystyle \mathbf {L} \times \mathbf {L} =i\hbar \mathbf {L} }$$

交換関係は、正準交換関係の直接的な結果として証明できる。${\displaystyle [x_{l},p_{m}]=i\hbar \delta _{lm}}$ここで、δ _lmはクロネッカーのデルタです。

古典物理学にも同様の関連性がある。^{[ 5 ]}$$\displaystyle \left\{L_{i},L_{j}\right\}=\varepsilon _{ijk}L_{k}}$$ ここで、L _{n は}古典的な角運動量演算子の成分であり、${\displaystyle \{,\}}$はポアソン括弧です。

他の角運動量演算子（スピンと全角運動量）についても同じ交換関係が適用されます。^{[ 6 ]}$${\displaystyle \left[S_{l},S_{m}\right]=i\hbar \sum _{n=1}^{3}\varepsilon _{lmn}S_{n},\quad \left[J_{l},J_{m}\right]=i\hbar \sum _{n=1}^{3}\varepsilon _{lmn}J_{n}.}$$

これらはLと同様に成り立つと仮定できる。あるいは、以下で説明するように導出することもできる。

これらの交換関係は、L がリー代数の数学的構造を持ち、ε _lmnがその構造定数であることを意味する。この場合、リー代数は物理学の表記ではSU(2)またはSO(3)である(${\displaystyle \operatorname {su} (2)}$または$\displaystyle \operatorname {so} (3)$（それぞれ数学記号で表す）すなわち、3次元空間における回転に関連するリー代数である。JとSについても同様である。その理由は後述する。これらの交換関係は、後述するように、測定と不確かさに関係する。

分子では、全角運動量Fは回転振動（軌道）角運動量N、電子スピン角運動量S、および核スピン角運動量Iの合計です。電子一重項状態の場合、回転振動角運動量はNではなくJで表されます。Van Vleck ^{[ 7 ]}が説明しているように 、分子固定軸に関する分子回転振動角運動量の成分は、空間固定軸に関する上記の成分とは異なる交換関係を持ちます。

あらゆるベクトルと同様に、軌道角運動量演算子 の大きさの二乗を定義することができる。$${\displaystyle L^{2}\equiv L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}.}$$

$\displaystyle L^{2}}$は別の量子演算子です。 は の成分と可換です。${\displaystyle \mathbf {L} }$、 $${\displaystyle \left[L^{2},L_{x}\right]=\left[L^{2},L_{y}\right]=\left[L^{2},L_{z}\right]=0.}$$

これらの演算子が可換であることを証明する一つの方法は、前の節の[ L _ℓ , L _m ] の可換関係から始めることです。

数学的には、$\displaystyle L^{2}}$は、によって張られるリー代数SO(3)のカシミール不変量である。${\displaystyle \mathbf {L} }$。

上記と同様に、古典物理学にも類似の関係が存在する。 $${\displaystyle \left\{L^{2},L_{x}\right\}=\left\{L^{2},L_{y}\right\}=\left\{L^{2},L_{z}\right\}=0}$$ どこ${\displaystyle L_{i}}$は古典的な角運動量演算子の構成要素であり、${\displaystyle \{,\}}$はポアソン括弧である。^{[ 9 ]}

量子力学の場合に戻ると、同じ交換関係は他の角運動量演算子（スピンと全角運動量）にも適用されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\left[S^{2},S_{i}\right]&=0,\\\left[J^{2},J_{i}\right]&=0.\end{aligned}}}$$

一般に、量子力学において、2つの観測可能な演算子が可換でない場合、それらは相補的観測量と呼ばれます。2つの相補的観測量は同時に測定することはできません。代わりに、それらは不確定性原理を満たします。一方の観測量がより正確に分かっているほど、もう一方の観測量はより不正確にしか分かりません。位置と運動量に関する不確定性原理があるように、角運動量にも不確定性原理があります。

ロバートソン・シュレーディンガーの関係式は、以下の不確定性原理を与える。 $$\displaystyle \sigma _{L_{x}}\sigma _{L_{y}}\geq {\frac {\hbar }{2}}\left|\langle L_{z}\rangle \right|.}$$ どこ$\displaystyle \sigma _{X}}$Xの測定値の標準偏差は、${\displaystyle \langle X\rangle }$はXの期待値を表します。この不等式は、x、y、z の順序が入れ替わった場合、またはLがJまたはSに置き換えられた場合でも成り立ちます。

したがって、角運動量の 2 つの直交成分 (例えば L _xと L _y ) は相補的であり、次のような特殊な場合を除いて、同時に知ることも測定することもできません。${\displaystyle L_{x}=L_{y}=L_{z}=0}$。

しかしながら、 L ^2とLの任意の成分を同時に測定または指定することは可能です。例えば、L ²とL _zです。これはしばしば有用であり、その値は方位量子数( l ) と磁気量子数( m ) によって特徴付けられます。この場合、システムの量子状態は演算子L ²とL _zの同時固有状態ですが、L _xまたはL _yの固有状態ではありません。固有値は、以下の表に示すように、lとmに関連しています。

上記の量子化規則を導出する一般的な方法は、昇降演算子法である。^{[ 12 ]}全角運動量に対する昇降演算子${\displaystyle \mathbf {J} =\left(J_{x},J_{y},J_{z}\right)}$は次のように定義されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{+}&\equiv J_{x}+iJ_{y},\\J_{-}&\equiv J_{x}-iJ_{y}\end{aligned}}}$$

仮定する${\displaystyle |\psi \rangle }$は同時固有状態である${\displaystyle J^{2}}$そして${\displaystyle J_{z}}$（つまり、明確な値を持つ状態）${\displaystyle J^{2}}$そして、${\displaystyle J_{z}}$) 次に、の成分の交換関係を使用します。${\displaystyle \mathbf {J} }$それぞれの状態が${\displaystyle J_{+}|\psi \rangle }$そして${\displaystyle J_{-}|\psi \rangle }$はゼロか、または同時固有状態である。${\displaystyle J^{2}}$そして${\displaystyle J_{z}}$同じ値で${\displaystyle |\psi \rangle }$のために${\displaystyle J^{2}}$しかし、値は以下のとおりです。${\displaystyle J_{z}}$増加または減少する${\displaystyle \hbar }$それぞれ。ラダー演算子を使用すると、値が の状態になる場合、結果はゼロになります。${\displaystyle J_{z}}$これは許容範囲外です。このようにラダー演算子を使用すると、可能な値と量子数は次のようになります。${\displaystyle J^{2}}$そして${\displaystyle J_{z}}$見つけることができる。

可能な値と量子数の導出${\displaystyle J_{z}}$そして${\displaystyle J^{2}}$[ ^{13 ]​}

させて${\displaystyle \psi ({J^{2}}'J_{z}')}$固有値を持つシステムのステート関数とする${\displaystyle {J^{2}}'}$のために${\displaystyle J^{2}}$および固有値${\displaystyle J_{z}'}$のために${\displaystyle J_{z}}$[^{注1 ]}

から${\displaystyle J^{2}=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2}}$取得される、 $${\displaystyle J_{x}^{2}+J_{y}^{2}=J^{2}-J_{z}^{2}.}$$ 上記の等式の両辺を${\displaystyle \psi ({J^{2}}'J_{z}')}$、 $${\displaystyle (J_{x}^{2}+J_{y}^{2})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')=({J^{2}}'-J_{z}'^{2})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}').}$$ 以来${\displaystyle J_{x}}$そして${\displaystyle J_{y}}$は実際の観測可能量であり、${\displaystyle {J^{2}}'-J_{z}'^{2}}$否定的ではなく、${\textstyle |J_{z}'|\leq {\sqrt {{J^{2}}'}}}$。 したがって${\displaystyle J_{z}'}$上限と下限がある。

の成分の交換関係のうちの2つは${\displaystyle \mathbf {J} }$は、 $${\displaystyle [J_{y},J_{z}]=i\hbar J_{x},\;\;[J_{z},J_{x}]=i\hbar J_{y}.}$$ これらを組み合わせると、2 つの方程式が得られ、それらは次のように一緒に記述されます。${\displaystyle \pm }$以下の標識は、 $${\displaystyle J_{z}(J_{x}\pm iJ_{y})=(J_{x}\pm iJ_{y})(J_{z}\pm \hbar ),}$$ 方程式の1つは${\displaystyle +}$標識やその他の用途${\displaystyle -}$サイン。上記の両側を適用すると${\displaystyle \psi ({J^{2}}'J_{z}')}$、 $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{z}(J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')&=(J_{x}\pm iJ_{y})(J_{z}\pm \hbar )\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')\\&=(J_{z}'\pm \hbar )(J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')\;.\\\end{aligned}}}$$ 上記は、${\displaystyle (J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')}$は の 2 つの固有関数です${\displaystyle J_{z}}$それぞれの固有値を持つ${\displaystyle {J_{z}}'\pm \hbar }$ただし、いずれかの関数がゼロの場合は固有関数ではありません。ゼロでない関数については、 $${\displaystyle \psi ({J^{2}}'J_{z}'\pm \hbar )=(J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}').}$$ さらなる固有関数${\displaystyle J_{z}}$そして、対応する固有値は、繰り返し適用することで見つけることができます。${\displaystyle J_{x}\pm iJ_{y}}$結果として得られる固有値の大きさが${\displaystyle \leq {\sqrt {{J^{2}}'}}}$固有値は${\displaystyle J_{z}}$は有界である、${\displaystyle J_{z}^{0}}$最小の固有値であり、${\displaystyle J_{z}^{1}}$最高値になる。 $${\displaystyle (J_{x}-iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}^{0})=0}$$そして $${\displaystyle (J_{x}+iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}^{1})=0,}$$ 固有値が${\displaystyle J_{z}}$は${\displaystyle <J_{z}^{0}}$または${\displaystyle >J_{z}^{1}}$適用することで${\displaystyle (J_{x}+iJ_{y})}$最初の式では、${\displaystyle (J_{x}-iJ_{y})}$2 秒まで、${\displaystyle J_{x}^{2}+J_{y}^{2}=J^{2}-J_{z}^{2}}$また、${\displaystyle J_{+}J_{-}=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}-i[J_{x},J_{y}]=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}}$次のように示すことができる。 $${\displaystyle {J^{2}}'-(J_{z}^{0})^{2}+\hbar J_{z}^{0}=0}$$そして $${\displaystyle {J^{2}}'-(J_{z}^{1})^{2}-\hbar J_{z}^{1}=0.}$$ 2番目の式から最初の式を引いて整理すると、 $${\displaystyle (J_{z}^{1}+J_{z}^{0})(J_{z}^{0}-J_{z}^{1}-\hbar )=0.}$$ 以来${\displaystyle J_{z}^{1}\geq J_{z}^{0}}$2 番目の因子は負です。すると、1 番目の因子はゼロでなければならず、したがって${\displaystyle J_{z}^{0}=-J_{z}^{1}}$。

違い${\displaystyle J_{z}^{1}-J_{z}^{0}}$連続適用から生じる${\displaystyle J_{x}-iJ_{y}}$または${\displaystyle J_{x}+iJ_{y}}$固有値を下げたり上げたりする${\displaystyle J_{z}}$による${\displaystyle \hbar }$となることによって、 $${\displaystyle J_{z}^{1}-J_{z}^{0}=0,\hbar ,2\hbar ,\dots }$$ させて $${\displaystyle J_{z}^{1}-J_{z}^{0}=2j\hbar ,}$$どこ$${\displaystyle j=0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\dots \;.}$$ 次に${\displaystyle J_{z}^{0}=-J_{z}^{1}}$そして上記、 $${\displaystyle J_{z}^{0}=-j\hbar }$$そして$${\displaystyle J_{z}^{1}=j\hbar ,}$$ そして、許容される固有値は${\displaystyle J_{z}}$は $${\displaystyle J_{z}'=-j\hbar ,-j\hbar +\hbar ,-j\hbar +2\hbar ,\dots ,j\hbar .}$$ 表現する${\displaystyle J_{z}'}$量子数の観点から${\displaystyle m_{j}\;}$、そして代入する${\displaystyle J_{z}^{0}=-j\hbar }$の中へ${\displaystyle {J^{2}}'-(J_{z}^{0})^{2}+\hbar J_{z}^{0}=0}$上から見て、

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{z}'&=m_{j}\hbar &m_{j}&=-j,-j+1,-j+2,\dots ,j\\{J^{2}}'&=j(j+1)\hbar ^{2}&j&=0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\dots \;.\end{aligned}}}$

以来${\displaystyle \mathbf {S} }$そして${\displaystyle \mathbf {L} }$と同じ交換関係を持つ${\displaystyle \mathbf {J} }$同じラダー分析をそれらにも適用できますが、${\displaystyle \mathbf {L} }$量子数にはさらに制約があり、整数でなければならない。

整数量子数への制限の導出${\displaystyle L_{z}}$そして${\displaystyle L^{2}}$[ ^{14 ]​}

シュレーディンガー表現では、軌道角運動量演算子のz成分は球面座標で次のように表すことができます。^{[ 15 ]}$${\displaystyle L_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \phi }}.}$$ のために${\displaystyle L_{z}}$および固有関数${\displaystyle \psi }$固有値を持つ${\displaystyle L_{z}'}$、 $${\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial }{\partial \phi }}\psi =L_{z}'\psi .}$$ 解決する${\displaystyle \psi }$、 $${\displaystyle \psi =Ae^{iL_{z}'\phi /\hbar },}$$ どこ${\displaystyle A}$独立している${\displaystyle \phi }$。 以来${\displaystyle \psi }$単一の値である必要があり、追加すると${\displaystyle 2\pi }$に${\displaystyle \phi }$結果として、空間内の同じ点の座標が得られます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}Ae^{iL_{z}'(\phi +2\pi )/\hbar }&=Ae^{iL_{z}'\phi /\hbar },\\e^{iL_{z}'2\pi /\hbar }&=1.\end{aligned}}}$$ 固有値を求める${\displaystyle L_{z}'}$、 $${\displaystyle L_{z}'=m_{l}\hbar \;,}$$ どこ${\displaystyle m_{l}}$は整数である。^{[ 16 ]} 上記と関係式から${\displaystyle m_{\ell }=-\ell ,(-\ell +1),\ldots ,(\ell -1),\ell \ \ }$したがって、${\displaystyle \ell }$も整数です。これは量子数が${\displaystyle m_{\ell }}$そして${\displaystyle \ell }$軌道角運動量について${\displaystyle \mathbf {L} }$全角運動量の量子数とは異なり、整数に制限される。${\displaystyle \mathbf {J} }$そして回転する${\displaystyle \mathbf {S} }$半整数値をとることもある。^{[ 17 ]}

角運動量は量子演算子であるため、古典力学のようにベクトルとして描くことはできません。しかしながら、直感的にこのように表現するのが一般的です。右側には、量子数を持つ状態の集合が示されています。${\displaystyle \ell =2}$、 そして${\displaystyle m_{\ell }=-2,-1,0,1,2}$下から上へ5つの円錐について。${\displaystyle |L|={\sqrt {L^{2}}}=\hbar {\sqrt {6}}}$ベクトルはすべて長さとともに表示されます${\displaystyle \hbar {\sqrt {6}}}$リングは、${\displaystyle L_{z}}$確実に分かっているが、${\displaystyle L_{x}}$そして ${\displaystyle L_{y}}$は未知であるため、適切な長さとz成分を持つすべての古典ベクトルが描画され、円錐を形成します。量子状態にある特定のシステム群の角運動量の期待値は、${\displaystyle \ell }$そして${\displaystyle m_{\ell }}$この円錐のどこかにある可能性があるが、単一のシステムについては定義できない（${\displaystyle L}$互いに通勤してはいけません。

量子化規則は、回転するタイヤの角運動量Lのような巨視的なシステムにも当てはまると広く考えられている。しかし、観測可能な効果がないため、これは検証されていない。例えば、${\displaystyle L_{z}/\hbar }$角運動量の値は概ね 100000000 であり、正確な値が 100000000 や 100000001 のような整数であろうと、100000000.2 のような非整数であろうと、実質的に違いはありません。離散的なステップは現在測定するには小さすぎます。ほとんどの場合、角運動量の可能なすべての値の集合は、マクロスケールでは実質的に連続的です。^{[ 18 ]}

予想するかもしれないが${\displaystyle R\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=1}$（360°の回転は恒等演算子である）これは量子力学では仮定されておらず、多くの場合真実ではないことが判明しています。全角運動量量子数が半整数（1/2、3/2など）の場合、${\displaystyle R\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=-1}$、そしてそれが整数である場合、${\displaystyle R\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=+1}$[ ^{6 ]}数学的には、宇宙における回転の構造は、古典力学における3次元回転の群で^あるSO(3)ではありません。代わりに、 SU(2)であり、これは小さな回転についてはSO(3)と同一ですが、360°回転は0°回転とは数学的に区別されます。（ただし、720°回転は0°回転と同じです。）^{[ 6 ]}

一方で、${\displaystyle R_{\text{spatial}}\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=+1}$あらゆる状況において、空間配置の 360° 回転は全く回転しないことと同じである。（これは粒子の内部（スピン）状態の 360° 回転とは異なり、これは全く回転しないことと同じである場合もそうでない場合もある。）言い換えれば、${\displaystyle R_{\text{spatial}}}$演算子はSO(3)の構造を持ち、${\displaystyle R}$そして${\displaystyle R_{\text{internal}}}$SU(2)の構造を持つ。

方程式から${\displaystyle +1=R_{\text{spatial}}\left({\hat {z}},360^{\circ }\right)=\exp \left(-2\pi iL_{z}/\hbar \right)}$固有状態を選択する${\displaystyle L_{z}|\psi \rangle =m\hbar |\psi \rangle }$そして描く $${\displaystyle e^{-2\pi im}=1}$$ つまり、軌道角運動量の量子数は整数のみであり、半整数はあり得ないということである。

ある量子状態から始める${\displaystyle |\psi _{0}\rangle }$状態の集合を考える${\displaystyle R\left({\hat {n}},\phi \right)\left|\psi _{0}\right\rangle }$あらゆる可能性に対して${\displaystyle {\hat {n}}}$そして${\displaystyle \phi }$すなわち、開始状態をあらゆる可能な方法で回転させた結果として生じる状態の集合である。この集合の線形スパンはベクトル空間であり、したがって、回転演算子がある状態を別の状態に写像する方法は、回転演算子の群を表す。

Jと回転演算子の関係から、

角運動量演算子が量子状態に作用すると、リー代数の表現が形成される。${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$または${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$。

（SU(2)とSO(3)のリー代数は同一である。）

上記の昇降演算子の導出は、リー代数SU(2)の表現を分類する方法である。

古典的な回転は互いに可換ではありません。たとえば、x軸を中心に1°回転してからy軸を中心に1°回転させた場合と、 y軸を中心に1°回転してからx軸を中心に1°回転させた場合では、全体の回転がわずかに異なります。この非可換性を注意深く分析することで、角運動量演算子の可換関係を導出できます。^{[ 6 ]}

（この同じ計算手順は、「リー群SO(3)またはSU(2)のリー代数とは何か？」という数学的な問いに答える一つの方法でもある。）