回転演算子（量子力学）

この記事は、量子力学に現れる回転演算子について論じています。

身体を回転させるたびに${\displaystyle R}$我々は量子力学的回転演算子を仮定する$\displaystyle {\widehat {D}}(R):H\to H}$それは空間内の各ベクトルに割り当てるルールです${\displaystyle H}$ベクトル $${\displaystyle |\alpha \rangle _{R}={\ワイドハット {D}}(R)|\alpha \rangle }$$ それも ${\displaystyle H}$回転の生成子の観点から、 $${\displaystyle {\widehat {D}}(\mathbf {\hat {n}} ,\phi )=\exp \left(-i\phi {\frac {\mathbf {\hat {n}} \cdot {\widehat {\mathbf {J} }}}{\hbar }}\right),}$$ どこ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$は回転軸です。${\displaystyle {\widehat {\mathbf {J} }}}$は角運動量演算子であり、${\displaystyle \hbar }$は換算プランク定数です。

回転演算子​${\displaystyle \operatorname {R} (z,\theta )}$最初の引数で${\displaystyle z}$回転軸と2番目の${\displaystyle \theta }$回転角度は、並進演算子を介して操作できます。${\displaystyle \operatorname {T} (a)}$以下に説明するように、微小回転の場合です。そのため、まず位置 x にある粒子に並進演算子がどのように作用するかを示します (粒子は、次の状態になります)。${\displaystyle |x\rangle }$量子力学によれば）。

位置における粒子の移動${\displaystyle x}$位置${\displaystyle x+a}$:${\displaystyle \operatorname {T} (a)|x\rangle =|x+a\rangle }$

0 の並進では粒子の位置は変化しないため、次のようになります (1 は恒等演算子を意味し、何も行いません)。 $${\displaystyle \operatorname {T} (0)=1}$$$${\displaystyle \operatorname {T} (a)\operatorname {T} (da)|x\rangle =\operatorname {T} (a)|x+da\rangle =|x+a+da\rangle =\operatorname {T} (a+da)|x\rangle \Rightarrow \operatorname {T} (a)\operatorname {T} (da)=\operatorname {T} (a+da)}$$

テイラー展開により以下が得られる。 $${\displaystyle \operatorname {T} (da)=\operatorname {T} (0)+{\frac {d\operatorname {T} (0)}{da}}da+\cdots =1-{\frac {i}{\hbar }}p_{x}da}$$ と$${\displaystyle p_{x}=i\hbar {\frac {d\operatorname {T} (0)}{da}}}$$

そこから次のことが導き出される。 $${\displaystyle \operatorname {T} (a+da)=\operatorname {T} (a)\operatorname {T} (da)=\operatorname {T} (a)\left(1-{\frac {i}{\hbar }}p_{x}da\right)\Rightarrow {\frac {\operatorname {T} (a+da)-\operatorname {T} (a)}{da}}={\frac {d\operatorname {T} }{da}}=-{\frac {i}{\hbar }}p_{x}\operatorname {T} (a)}$$

これは解が

$${\displaystyle \operatorname {T} (a)=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}p_{x}a\right).}$$

さらに、ハミルトニアンを仮定します。${\displaystyle H}$は独立しています${\displaystyle x}$位置。変換演算子は次のように記述できます。${\displaystyle p_{x}}$、 そして${\displaystyle [p_{x},H]=0}$私たちは知っている${\displaystyle [H,\operatorname {T} (a)]=0.}$この結果は、系の線運動量が保存されることを意味する。

古典的には角運動量については${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} .}$これは量子力学においても同様である。${\displaystyle \mathbf {r} }$そして${\displaystyle \mathbf {p} }$演算子として。古典的には、微小回転${\displaystyle dt}$ベクトルの${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)}$について${\displaystyle z}$-軸へ${\displaystyle \mathbf {r} '=(x',y',z)}$出発${\displaystyle z}$変化しない状態は、以下の微小な並進移動によって表現できます（テイラー近似を使用）。

$${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=r\cos(t+dt)=xy\,dt+\cdots \\y'&=r\sin(t+dt)=y+x\,dt+\cdots \end{aligned}}}$$

そこから、州については以下のことが導かれる。 $${\displaystyle \operatorname {R} (z,dt)|r\rangle =\operatorname {R} (z,dt)|x,y,z\rangle =|xy\,dt,y+x\,dt,z\rangle =\operatorname {T} _{x}(-y\,dt)\operatorname {T} _{y}(x\,dt)|x,y,z\rangle =\operatorname {T} _{x}(-y\,dt)\operatorname {T} _{y}(x\,dt)|r\rangle }$$

そして結果として： $${\displaystyle \operatorname {R} (z,dt)=\operatorname {T} _{x}(-y\,dt)\operatorname {T} _{y}(x\,dt)}$$

使用 $${\displaystyle T_{k}(a)=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}p_{k}a\right)}$$ 上から${\displaystyle k=x,y}$テイラー展開すると次のようになります。 $${\displaystyle \operatorname {R} (z,dt)=\exp \left[-{\frac {i}{\hbar }}\left(xp_{y}-yp_{x}\right)dt\right]=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}L_{z}dt\right)=1-{\frac {i}{\hbar }}L_{z}dt+\cdots }$$ と${\displaystyle L_{z}=xp_{y}-yp_{x}}$の${\displaystyle z}$-古典的な外積による角運動量の成分。

角度の回転を得るには${\displaystyle t}$条件を用いて、次の微分方程式を構築します。${\displaystyle \operatorname {R} (z,0)=1}$:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {R} (z,t+dt)=\operatorname {R} (z,t)\operatorname {R} (z,dt)\\[1.1ex]\Rightarrow {}&{\frac {d\operatorname {R} }{dt}}={\frac {\operatorname {R} (z,t+dt)-\operatorname {R} (z,t)}{dt}}=\operatorname {R} (z,t){\frac {\operatorname {R} (z,dt)-1}{dt}}=-{\frac {i}{\hbar }}L_{z}\operatorname {R} (z,t)\\[1.1ex]\Rightarrow {}&\operatorname {R} (z,t)=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\,t\,L_{z}\right)\end{aligned}}}$$

変換演算子と同様に、ハミルトニアンが与えられた場合${\displaystyle H}$回転対称性を持つ${\displaystyle z}$-軸、${\displaystyle [L_{z},H]=0}$暗示する${\displaystyle [\operatorname {R} (z,t),H]=0}$この結果は、角運動量が保存されることを意味する。

例えば、スピン角運動量については${\displaystyle y}$-軸を置き換えるだけです${\displaystyle L_{z}}$と${\textstyle S_{y}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{y}}$（どこ${\displaystyle \sigma _{y}}$はパウリ行列Yであり、スピン回転演算子 が得られます。$${\displaystyle \operatorname {D} (y,t)=\exp \left(-i{\frac {t}{2}}\sigma _{y}\right).}$$

演算子は行列で表すことができる。線形代数から、ある行列は${\displaystyle A}$変換によって 別の基底で表現できる$${\displaystyle A'=PAP^{-1}}$$ どこ${\displaystyle P}$は基底変換行列です。ベクトルが${\displaystyle b}$それぞれ${\displaystyle c}$それぞれが一方の基準と他方の基準におけるz軸であり、ある角度でy軸に垂直である。${\displaystyle t}$それらの間に。スピン演算子${\displaystyle S_{b}}$最初の基底では、スピン演算子に変換できます。${\displaystyle S_{c}}$他の基底を以下の変換によって変換する： $${\displaystyle S_{c}=\operatorname {D} (y,t)S_{b}\operatorname {D} ^{-1}(y,t)}$$

標準的な量子力学から、既知の結果が得られる。${\textstyle S_{b}|b+\rangle ={\frac {\hbar }{2}}|b+\rangle }$そして${\textstyle S_{c}|c+\rangle ={\frac {\hbar }{2}}|c+\rangle }$どこ ${\displaystyle |b+\rangle }$そして${\displaystyle |c+\rangle }$これらは、対応する基底におけるトップスピンです。したがって、次のようになります。 $${\displaystyle {\frac {\hbar }{2}}|c+\rangle =S_{c}|c+\rangle =\operatorname {D} (y,t)S_{b}\operatorname {D} ^{-1}(y,t)|c+\rangle \Rightarrow }$$$${\displaystyle S_{b}\operatorname {D} ^{-1}(y,t)|c+\rangle ={\frac {\hbar }{2}}\operatorname {D} ^{-1}(y,t)|c+\rangle }$$

比較${\textstyle S_{b}|b+\rangle ={\frac {\hbar }{2}}|b+\rangle }$収量${\displaystyle |b+\rangle =D^{-1}(y,t)|c+\rangle }$。

これは、州が${\displaystyle |c+\rangle }$を中心に回転する${\displaystyle y}$軸を角度で${\displaystyle t}$州になる${\displaystyle |b+\rangle }$これは、任意の軸に一般化できる結果である。

• 量子力学における対称性
• 球面基底
• 光学的位相空間

• L.D.ランダウとE.M.リフシッツ：『量子力学：非相対論的理論』、パーガモン・プレス、1985年
• PAM ディラック：量子力学の原理、オックスフォード大学出版局、1958年
• R・P・ファインマン、R・B・レイトン、M・サンズ著：『ファインマン物理学講義』、アディソン・ウェスリー社、1965年