カーメトリック

カー計量、またはカー幾何学は、準球状の事象の地平線を持つ、回転する非電荷の軸対称ブラックホールの周囲の空虚な時空の幾何学を記述する。カー計量は、一般相対性理論のアインシュタイン場の方程式の厳密解である。これらの方程式は非常に非線形であるため、厳密解を見つけることは非常に困難である。

カー計量は、1915 年にカール・シュヴァルツシルトによって発見されたシュヴァルツシルト計量の回転体への一般化であり、電荷を持たない球対称で回転しない物体の周りの時空の幾何学を記述するものでした。電荷を持つ球形で回転しない物体に対応する解であるライスナー・ノルドシュトロム計量は、その後すぐに発見されました (1916 ～ 1918 年)。しかし、電荷を持たない回転するブラックホールの正確な解であるカー計量は、1963 年にロイ・カーによって発見されるまで未解決のままでした。^{[ 1 ] [ 2 ] : 69～81}電荷を持つ回転するブラックホールへの自然な拡張であるカー・ニューマン計量は、その後まもなく 1965 年に発見されました。これら 4 つの関連する解は、次の表にまとめることができます。ここで、Q は物体の電荷を表し、J はそのスピン角運動量を表します。

カー計量によれば、回転する物体はフレームドラッギング（レンス・ティリング歳差運動とも呼ばれる）を示すはずであり、これは一般相対性理論の特異な予測である。このフレームドラッギング効果の最初の測定は、2011年にグラビティプローブB実験によって行われた。大まかに言えば、この効果は、回転する質量に近づく物体は、感じられるような力やトルクが加わるからではなく、回転する物体に関連する時空自体の渦巻く曲率のために、その回転に参加するように引き込まれることを予測する。回転するブラックホールの場合、十分に近い距離では、 光でさえも すべての物体がブラックホールとともに回転しなければならない。これが成り立つ領域はエルゴ球と呼ばれる。

遠方の光源からの光は、事象の地平線を複数回周回することができ（十分近ければ）、同じ物体の複数の像を作り出します。遠方の観測者から見ると、像間の見かけ上の垂直距離はe ^{2 π} (約 500)倍に減少します。しかし、高速回転するブラックホールでは、多重像間の距離は小さくなります。^{[ 3 ] [ 4 ]}

回転するブラックホールには、計量が特異点を持つように見える面が存在する。これらの面の大きさや形状は、ブラックホールの質量と角運動量に依存する。外側の表面はエルゴ球を囲み、扁平な球のような形状をしている。内側の表面は事象の地平線を示しており、この地平線の内部に入った物体は、その地平線の外側の世界と二度と通信することはできない。しかし、どちらの面も真の特異点ではない。なぜなら、それらの見かけ上の特異点は、別の座標系では解消できるからである。シュワルツシルト計量を考える場合も同様の状況となり、これもまた に特異点が生じるように見える。${\displaystyle r=r_{\text{s}}}$上下の空間を分割する$\displaystyle r_{\text{s}}}$2つの分離したパッチに分割されます。別の座標変換を用いることで、拡張された外部パッチを内部パッチに関連付けることができます（シュワルツシルト計量§ 特異点とブラックホールを参照）。このような座標変換により、内面と外面が接する見かけ上の特異点が解消されます。上記のように、これら2つの面の間にある物体は、回転するブラックホールと共に回転しなければなりません。この特性は原理的には、回転するブラックホールから、その不変質量エネルギーまでエネルギーを抽出するために利用できます。 ${\displaystyle Mc^{2}}$⁠ .

2016年に発表された、重力波を初めて検出したLIGO実験は、カーブラックホールのペアの直接観測も初めて実現した。^{[ 5 ]}

カー計量は、一般的にボイヤー・リンドクイスト形式とカー・シルト形式の2つの形式のいずれかで表現されます。これは、ニューマン・ペンローズ形式（スピン係数形式とも呼ばれる）[7]、^{エルンスト}方程式^{[ 8 ]}、または楕円体座標変換^{[ 9 ]}を使用して、ニューマン・ジャニスアルゴリズム^{[ 6 ]}を使用してシュワルツシルト計量から^容易に導出できます。

完全な回転エネルギーが${\displaystyle E_{\rm {rot}}=c^{2}\left(M-M_{\rm {irr}}\right)}$例えばペンローズ過程[ ^{21 ] [ 22 ]}によってブラックホールの質量が抽出されると、残りの質量は既約質量以下に縮小することはできない。したがって、ブラックホールがスピンで回転する場合^、${\displaystyle a=M}$⁠、その総質量相当量⁠${\displaystyle M}$は倍高い$\displaystyle {\sqrt {2}}}$対応するシュワルツシルトブラックホールと比較すると、${\displaystyle M}$はに等しい${\displaystyle M_{\text{irr}}}$その理由は、静止物体を回転させるには、系にエネルギーを加える必要があるからです。質量とエネルギーの等価性により、このエネルギーには質量に相当する値も存在し、それが系の総質量エネルギーに加算されます。${\displaystyle M}$⁠ .

総質量相当量${\displaystyle M}$（重力質量）物体（回転エネルギーを含む）およびその既約質量${\displaystyle M_{\text{irr}}}$⁠は^{[ 23 ] [ 24 ]}によって関連付けられています

${\displaystyle 2M_{\rm {irr}}^{2}=M^{2}+{\sqrt {M^{4}-J^{2}c^{2}/G^{2}}}\Longrightarrow M^{2}=M_{\rm {irr}}^{2}+{\frac {J^{2}c^{2}}{4M_{\rm {irr}}^{2}G^{2}}}.}$

カー計量を直接チェックするだけでも面倒な計算が必要になるため、反変成分は${\displaystyle g^{ik}}$Boyer–Lindquist座標における計量テンソルの⁠は、 4 次元勾配演算子の二乗の式で以下に示されています。 ^{[ 21 ]}

カーメトリックは、( 1 )のように次のように書き換えることができます。

この計量は、半径rと余緯度θの両方に依存する角速度 Ω で回転する共回転参照フレームに相当し、Ω はキリング地平線と呼ばれます。 

このように、慣性参照系は回転する中心質量によって引き込まれ、その回転に参加します。これはフレームドラッギングと呼ばれ、実験的に検証されています。^{[ 25 ]} 定性的に、フレームドラッギングは電磁誘導の重力アナログと見なすことができます。赤道上を周回し、恒星に対して回転的に静止している「アイススケーター」が腕を伸ばします。ブラックホールに向かって伸ばした腕はスピン方向へトルクがかかります。ブラックホールから遠ざかるように伸ばした腕は反スピン方向へトルクがかかります。したがって、彼女はブラックホールとは逆方向に回転速度が上がります。これは日常の経験で起こることとは逆です。腕を伸ばしたときにすでに一定の速度で回転している場合、慣性効果とフレームドラッギング効果が釣り合い、彼女のスピンは変化しません。等価原理により、重力効果は局所的に慣性効果と区別できないため、彼女が腕を伸ばしても何も起こらないこの回転速度は、彼女にとって非回転の局所的な基準となります。この座標系は恒星に対して回転し、ブラックホールに対して逆回転しています。ブラックホールを太陽歯車、アイススケーターを遊星歯車、外宇宙をリング歯車とする遊星歯車システムの比喩が役立ちます。これはマッハの原理を通して解釈することもできます。

カー計量（1）にはいくつかの重要な曲面が存在する。内側の曲面は、シュワルツシルト計量で観測されるものと同様の事象の地平線に対応する。これは、計量​​の純粋な動径成分g _{rrが無限大になる場所で発生する。二次方程式}⁠ 1 / g _rr ⁠ = 0を解くと、次の解が得られる。

${\displaystyle r_{\rm {H}}^{\pm }={\frac {r_{\text{s}}\pm {\sqrt {r_{\text{s}}^{2}-4a^{2}}}}{2}}}$

自然単位で表すと（${\displaystyle G=M=c=1}$⁠ ) は以下のように簡略化されます。

${\displaystyle r_{\rm {H}}^{\pm }=1\pm {\sqrt {1-a^{2}}}}$

シュワルツシルト計量では、事象の地平線は計量の純粋に時間的な成分g _ttの符号が正から負に変化する場所でもあるが、カー計量ではそれは異なる距離で起こる。ここでも二次方程式g _tt = 0を解くと、次の解が得られる。

${\displaystyle r_{\rm {E}}^{\pm }={\frac {r_{\text{s}}\pm {\sqrt {r_{\text{s}}^{2}-4a^{2}\cos ^{2}\theta }}}{2}}}$

または自然単位で表すと：

${\displaystyle r_{\rm {E}}^{\pm }=1\pm {\sqrt {1-a^{2}\cos ^{2}\theta }}}$

平方根のcos ² θ項のため、この外面は回転軸の極で内面に接する扁平な球に似ており、その極では余緯度θは 0 またはπに等しくなります。これら 2 つの面の間の空間はエルゴ球と呼ばれます。この体積内では、純粋に時間的な成分g _ttは負であり、つまり純粋に空間的な計量成分のように振る舞います。したがって、このエルゴ球内の粒子は、時間的な性質を維持するためには、内部の質量と共回転する必要があります。運動する粒子は、時空を通る経路である世界線に沿って正の固有時間を経験します。しかし、粒子が内部の質量の周りを共回転していない限り、g _ttが負であるエルゴ球内ではこれは不可能です。 ${\displaystyle M}$角速度が少なくとも⁠ ${\displaystyle \Omega }$したがって、エルゴ球内では、中心質量の回転方向とは逆方向に粒子が移動することはない。

シュワルツシルト計量における事象の地平線と同様に、r _Hにおける見かけ上の特異点は座標の選択によるものです（つまり、座標特異点です）。実際、適切な座標の選択により、時空はそこを滑らかに通過させることができます。一方、r _Eにおけるエルゴ球の外側境界は、非ゼロの ⁠ のため、カー座標においてもそれ自体は特異点ではありません。${\displaystyle dt\ d\phi }$用語。

一般的にブラックホールは事象の地平線と呼ばれる表面に囲まれており、非回転ブラックホールの場合、この地平線はシュワルツシルト半径に位置し、脱出速度は光速に等しくなります。この地平線内では、いかなる観測者／粒子も一定の半径を維持することができません。それらは内側に落下することを強いられるため、これは静的限界と呼ばれることもあります。

回転するブラックホールは事象の地平線で同じ静的限界を持つが、事象の地平線の外側には「エルゴ面」と呼ばれる追加の面があり、それは次のように表される。

${\displaystyle (r-M)^{2}=M^{2}-J^{2}\cos ^{2}\theta }$

ボイヤー・リンドクイスト座標系では、直感的に言えば、「周囲の空間の回転速度」が光速とともに引きずられる球体として特徴づけられます。この球体内では、引きずられる速度は光速よりも大きく、あらゆる観測者／粒子は強制的に共回転させられます。

事象の地平線の外側で、回転速度が光速となる表面の内側の領域は、エルゴ球（ギリシャ語で仕事を意味するergonに由来）と呼ばれます。エルゴ球内に落下する粒子は、より速く回転することを強いられ、それによってエネルギーを得ます。それらはまだ事象の地平線の外側にあるため、ブラックホールから脱出する可能性があります。正味のプロセスは、回転するブラックホールが自身の全エネルギーを犠牲にして高エネルギー粒子を放出することです。回転するブラックホールからスピンエネルギーを取り出す可能性は、1969年に数学者のロジャー・ペンローズによって初めて提唱され、そのためペンローズ過程と呼ばれています。天体物理学において、回転するブラックホールは大量のエネルギーの潜在的な源であり、ガンマ線バーストなどの高エネルギー現象を説明するために使用されています。

カー幾何学は多くの注目すべき特徴を示します。最大解析拡張には、漸近的に平坦な外部領域の列が含まれ、それぞれがエルゴ球、定常極限面、事象の地平線、コーシー地平線、閉じた時間的曲線、およびリング状の曲率特異点に関連付けられています。測地線方程式は閉じた形式で厳密に解くことができます。2 つのキリングベクトル場(時間並進と軸対称に対応)に加えて、カー幾何学は注目すべきキリングテンソルを許容します。主ヌル合同式 (1 つは内向き、1 つは外向き)のペアがあります。ワイルテンソルは代数的に特別であり、実際にはペトロフ型Dを持ちます。

内部領域の摂動に関して、内部カー幾何学は不安定であることに注意が必要です。この不安定性は、カー計量が軸対称であっても、重力崩壊によって生成されたブラックホールはそうではない可能性があることを意味します。^{[ 13 ]}この不安定性はまた、上記で説明したカー幾何学の多くの特徴がそのようなブラックホールの内部には存在しない可能性があることも意味します。^{[ 27 ] [ 28 ]}

光がブラックホールの周りを公転できる面は光子球と呼ばれます。カー解では、内側の光子球と外側の光子球の間に無限に多くの光子球が存在します。回転しないシュワルツシルト解では、⁠${\displaystyle a=0}$⁠、内側と外側の光子球は縮退し、単一の半径に1つの光子球のみが存在するようになります。ブラックホールのスピンが大きいほど、内側と外側の光子球は互いに遠ざかります。ブラックホールのスピンと逆方向に進む光線は、外側の光子球でブラックホールの周りを円軌道で回ります。ブラックホールのスピンと同じ方向に進む光線は、内側の光子球で円軌道で回ります。ブラックホールの回転軸に垂直な角運動量を持つ軌道測地線は、これら2つの極値の間の光子球上を周回します。時空が回転しているため、このような軌道は歳差運動を示します。${\displaystyle \phi }$1期間完了後の変数${\displaystyle \theta }$変数。

軌道方程式

カー時空における試験粒子の運動方程式は、4つの運動の保存量によって支配される。^{[ 29 ]} 1つ目は不変質量である。${\displaystyle \mu }$試験粒子の ⁠関係式で定義される$${\displaystyle -\mu ^{2}=p^{\alpha }g_{\alpha \beta }p^{\beta },}$$ どこで${\displaystyle p^{\alpha }}$は粒子の4元運動量である。さらに、カー時空の時間並進対称性と回転対称性によって与えられる2つの運動の定数、エネルギー がある。${\displaystyle E}$⁠ 、そしてブラックホールのスピンに平行な軌道角運動量の成分${\displaystyle L_{z}}$⁠ . ^{[ 21 ] [ 30 ]}$${\displaystyle E=-p_{t},}$$そして $${\displaystyle L_{z}=p_{\phi }}$$

ハミルトン・ヤコビ理論を用いて、ブランドン・カーターは、運動の第4の定数が存在することを示した。${\displaystyle Q}$⁠ , ^{[ 29 ]}現在はカーター定数と呼ばれています。これは粒子の全角運動量に関連しており、次のように表されます。 $${\displaystyle Q=p_{\theta }^{2}+\cos ^{2}\theta \left(a^{2}\left(\mu ^{2}-E^{2}\right)+\left({\frac {L_{z}}{\sin \theta }}\right)^{2}\right).}$$

自由度に対して4つの（独立した）運動の定数があるため、カー時空におけるテスト粒子の運動方程式は積分可能である。

これらの運動の定数を用いると、試験粒子の軌道方程式は次のように書ける（自然単位系では⁠${\displaystyle G=M=c=1}$⁠ )、 ^{[ 29 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\Sigma {\frac {dr}{d\lambda }}&=\pm {\sqrt {R(r)}}\\\Sigma {\frac {d\theta }{d\lambda }}&=\pm {\sqrt {\Theta (\theta )}}\\\Sigma {\frac {d\phi }{d\lambda }}&=-\left(aE-{\frac {L_{z}}{\sin ^{2}\theta }}\right)+{\frac {a}{\Delta }}P(r)\\\Sigma {\frac {dt}{d\lambda }}&=-a\left(aE\sin ^{2}\theta -L_{z}\right)+{\frac {r^{2}+a^{2}}{\Delta }}P(r)\end{aligned}}}$$ と

• ${\displaystyle \Theta (\theta )=Q-\cos ^{2}\theta \left(a^{2}\left(\mu ^{2}-E^{2}\right)+{\frac {L_{z}^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right)}$
• ${\displaystyle P(r)=E\left(r^{2}+a^{2}\right)-aL_{z}}$
• ${\displaystyle R(r)=P(r)^{2}-\Delta \left(\mu ^{2}r^{2}+(L_{z}-aE)^{2}+Q\right)}$

どこで${\displaystyle \lambda }$はアフィンパラメータであり、${\displaystyle {\frac {dx^{\alpha }}{d\lambda }}=p^{\alpha }}$特に、​${\displaystyle \mu >0}$アフィンパラメータ​${\displaystyle \lambda }$⁠、適切な時間に関係しています⁠${\displaystyle \tau }$⁠から⁠${\displaystyle \lambda =\tau /\mu }$⁠ .

フレームドラッギング効果により、ゼロ角運動量観測者（ZAMO）は角速度で共回転する。${\displaystyle \Omega }$これは簿記担当者の座標時間に関して定義される。${\displaystyle t}$⁠ . ^{[ 31 ]}局所速度⁠${\displaystyle v}$試験粒子の⁠は、 ⁠と共に回転するプローブに対して測定される。${\displaystyle \Omega }$⁠。固定されたZAMO間の重力による時間の遅れ⁠${\displaystyle r}$そして質量から遠く離れた静止した観測者は $${\displaystyle {\frac {t}{\tau }}={\sqrt {\frac {\left(a^{2}+r^{2}\right)^{2}-a^{2}\Delta \sin ^{2}\theta }{\Delta \ \Sigma }}}.}$$ デカルト座標系におけるカーシルト座標系では、光子の式は次のようになります^{[ 32 ]}$${\displaystyle {\ddot {x}}+i{\ddot {y}}=4iMa{\frac {r}{\Sigma ^{2}}}W\left[{\dot {x}}+i{\dot {y}}-{\frac {x+iy}{r}}{\dot {r}}\right]-M(x+iy)\left({\frac {4r^{2}}{\Sigma }}-1\right){\frac {C-a^{2}W^{2}}{r\Sigma ^{2}}}}$$$${\displaystyle {\ddot {z}}=-Mz\left({\frac {4r^{2}}{\Sigma }}-1\right){\frac {C}{r\Sigma ^{2}}}}$$ どこで${\displaystyle C}$⁠はカーター定数に類似しており、 ⁠${\displaystyle W}$は有用な量です $${\displaystyle C=p_{\theta }^{2}+\left(aE\sin {\theta }-{\frac {L_{z}}{\sin {\theta }}}\right)^{2}}$$$${\displaystyle W={\dot {t}}-a\sin ^{2}{\theta }{\dot {\phi }}}$$

設定すると⁠${\displaystyle a=0}$シュヴァルツシルト測地線が復元される。

カー計量の等長変換群は、10次元ポアンカレ群の部分群であり、特異点の2次元軌跡を自身に取り込む。この群は、時間並進（1次元）と回転軸周りの回転（1次元）を保持する。したがって、2次元である。ポアンカレ群と同様に、この群は4つの連結成分を持つ。すなわち、恒等変換成分、時間と経度を反転させる成分、赤道面を基準として反射する成分、そしてその両方を行う成分である。これらの等長変換は、時間的および方位角的なキリングベクトルに符号化されている。

物理学では、対称性は通常、ノーターの定理に従って保存される運動量と関連付けられます。上記のように、測地線方程式には4つの保存量があります。そのうちの1つは測地線の定義から、2つはカー幾何学の時間並進対称性と回転対称性から生じます。4番目の保存量は、標準的な意味での対称性から生じるものではなく、一般に隠れた対称性と呼ばれます。この対称性はキリングテンソルに符号化されており、その保存量は運動量に関して2次式になります。

事象の地平線の位置は、 のより大きな根によって決定されます。${\displaystyle \Delta =0}$⁠ . の場合⁠${\displaystyle r_{\text{s}}/2<a}$（つまり）${\displaystyle GM^{2}<Jc}$)この方程式には（実数値の）解はなく、事象の地平線もありません。宇宙の残りの部分からブラックホールを隠す事象の地平線がないため、ブラックホールはブラックホールではなくなり、代わりに裸の特異点になります。 ^{[ 33 ]}

カー解は、根において特異であるように見えるが、${\displaystyle \Delta =0}$⁠、これらは実際には座標特異点であり、適切な新しい座標を選択することで、カー解は⁠の値を通して滑らかに拡張できます。${\displaystyle r}$これらの根に対応します。これらの根のうち大きい方が事象の地平線の位置を決定し、小さい方がコーシー地平線の位置を決定します。 (未来方向の、時間のような) 曲線は外部から始まり、事象の地平線を通過することができます。事象の地平線を通過すると、${\displaystyle r}$座標は時間座標のように振る舞うので、曲線がコーシーの地平線を通過するまで減少する必要があります。 ^{[ 34 ] [ 35 ] [ 36 ]}

回転するブラックホールの周囲の時空幾何学を記述するカー計量は、内側の事象の地平線を超えて拡張することができる。ボイヤー・リンドクイスト座標系では${\displaystyle (t,r,\theta ,\phi )}$この内地平線は、

${\displaystyle r_{-}=M-{\sqrt {M^{2}-a^{2}}}.}$

この内地平線を横切ると、半径座標は${\displaystyle r}$減少を続け、ついにはマイナスに転じる。

カー幾何学は、アインシュタイン場方程式の定常軸対称真空解の具体的な例である。アインシュタイン場方程式の定常軸対称真空解の族は、エルンスト真空と呼ばれる。

カー解は、ブラックホールをモデル化する様々な非真空解とも関連している。例えば、カー・ニューマン電気真空モデルは、電荷を持つ（回転する）ブラックホールをモデル化し、カー・ヴァイディアヌルダストモデルは、電磁放射が流入する（回転する）ブラックホールをモデル化する。

特別なケース${\displaystyle a=0}$カー計量の⁠はシュワルツシルト計量をもたらし、これはシュワルツシルト座標系において、静止していて球対称な非回転ブラックホールを。（この場合、質量以外のすべてのゲロッチモーメントはゼロになります。）

カー幾何学の内部、あるいはその一部は、衝突平面波モデルの一例であるチャンドラセカール・フェラーリCPW真空と局所的に等長である。これは特に興味深い。なぜなら、このCPW解の全体構造はカー幾何学の構造とはかなり異なり、原理的には、適切な2つの重力平面波の衝突を仕掛けることで、実験者はカー内部（の外側部分）の幾何学を研究できる可能性があるからである。

漸近的に平坦なエルンスト真空はそれぞれ、相対論的多重極モーメントの無限列を与えることで特徴づけられ、その最初の2つは場の源の質量と角運動量として解釈できる。ハンセン、ソーン、ゲロッチによる相対論的多重極モーメントの別の定式化があり、それらは互いに一致することがわかっている。カー幾何学の相対論的多重極モーメントはハンセンによって計算され、次のようになる。

${\displaystyle M_{n}=M[ia]^{n}}$

したがって、シュヴァルツシルト真空の特殊なケース（${\displaystyle a=0}$⁠ )は一般相対性理論の「単極点源」を与える。 ^{[ a ]}

ワイル多重極モーメントは、標準的なユークリッドスカラー多重極モーメントを用いて、エルンスト族のすべての定常軸対称真空解に対するワイル・パパペトルー図に現れる特定の計量関数（形式的にはニュートン重力ポテンシャルに対応）を扱うことによって生じます。これらは、上記でハンセンによって計算されたモーメントとは異なります。ある意味では、ワイルモーメントは孤立したソースの「質量分布」を（間接的に）特徴付けるだけであり、偶数次の相対論的モーメントのみに依存することがわかります。赤道面に対して対称な解の場合、奇数次のワイルモーメントは消滅します。カー真空解の場合、最初のいくつかのワイルモーメントは次のように与えられます。

${\displaystyle a_{0}=M,\qquad a_{1}=0,\qquad a_{2}=M\left({\frac {M^{2}}{3}}-a^{2}\right).}$

特に、シュワルツシルト真空にはゼロでない2次のワイルモーメントが存在することがわかります。これは、「ワイルモノポール」がシュワルツシルト真空解ではなく、ある有限長の一様な密度の細い棒のニュートンポテンシャルから生じるシャジー・カーゾン真空解であるという事実に対応しています。

弱場一般相対性理論では、孤立した光源を扱う際に、別のタイプの多重極モーメントを用いるのが便利です。これは、ワイルモーメントを質量多重極モーメントと運動量多重極モーメントに一般化したもので、それぞれ光源の質量分布と運動量分布を特徴づけます。これらは多重添え字を持つ量であり、適切に対称化された部分と反対称化された部分は、完全な非線形理論における相対論的モーメントの実部と虚部と、かなり複雑な方法で関連付けることができます。

ペレスとモレスキは、エルンスト真空の標準的なNPテトラッドをべき乗で展開することにより、「モノポール解」の別の概念を与えた。${\displaystyle r}$（ワイル・パパペトルー図表における半径座標）。この定式化によれば：

• 角運動量がゼロの孤立した質量単極子源はシュワルツシルト真空族（1つのパラメータ）である。
• 半径方向の角運動量を持つ孤立した質量単極子源は、 Taub–NUT真空ファミリー（2つのパラメータ、漸近的に完全に平坦ではない）である。
• 軸方向角運動量を持つ孤立した質量単極子源は、カー真空ファミリー（2つのパラメータ）である。

この意味で、カー真空は一般相対性理論における最も単純な定常軸対称漸近的に平坦な真空解である。

カー幾何学は回転ブラックホールのモデルとしてよく用いられますが、解が（特定の制約の下で）あるコンパクト領域の外側でのみ有効であると仮定すれば、原理的には、中性子星や地球など、ブラックホール以外の回転する質量のある物体の周囲の重力場をモデル化するための外部解として使用できるはずです。これは、シュワルツシルト真空外部をシュワルツシルト流体内部、そしてより一般的な静的球対称完全流体解に一致させることができる非回転の場合には非常にうまく機能します。しかし、カー外部、あるいは漸近的に平坦な真空外部解に一致させることができる回転する完全流体内部を見つけるという問題は、非常に難しいことがわかっています。特に、かつてカー外部との一致の候補と考えられていたワールクイスト流体は、現在ではそのような一致を許容しないことがわかっています。現時点では、ゆっくり回転する流体球をモデル化した近似解のみが知られているようです（これらは、質量と角運動量がゼロではないが、高次多重極モーメントがゼロである扁平楕円体の相対論的類似物です）。しかし、回転する薄い円盤をモデル化した厳密なダスト解であるノイゲバウアー・マイネル円盤の外側は、極限の場合には に近づきます。${\displaystyle GM^{2}=cJ}$カー幾何学。カー時空の一部を特定することによって得られる物理的な薄円盤解も知られている。 ^{[ 38 ]}

• シュヴァルツシルト計量
• ド・ジッター・シュヴァルツシルト計量
• カー・ニューマン計量
• カー・ニューマン・ド・ジッター計量
• ライスナー・ノルドシュトロム計量
• ハートル・ソーン計量
• スピンフリップ
• 回転するブラックホール

• ウィルトシャー、デイビッド・L.、ヴィッサー、マット、スコット、スーザン・M. 編 (2009).カー時空：一般相対性理論における回転ブラックホール. ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-88512-6。
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• チャンドラセカール、S. (1992).ブラックホールの数学理論. オックスフォード：クラレンドン・プレス. ISBN 978-0-19-850370-5。大学院上級レベルの非常に詳細な研究については、第6章から第10章を参照してください。
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