モーメント（物理学）

モーメントは、距離と力や電荷などの物理量の積を含む数式です。モーメントは通常、固定された基準点を基準として定義され、基準点から少し離れた位置にある物理量を指します。たとえば、力のモーメントはトルクとも呼ばれ、物体にかかる力と基準点から物体までの距離の積です。原則として、あらゆる物理量に距離を掛けてモーメントを生成できます。よく使用される量には、力、質量、電荷分布などがあります。例の一覧は後で示します。

最も基本的な形式では、モーメントは、ある点までの距離を累乗したものと、その点における物理量 (力や電荷など) の積です。

${\displaystyle \mu _{n}=r^{n}\,Q,}$

ここで、は、一点に加えられる力、点電荷、点質点などの物理量です。量が単一の点に集中していない場合、モーメントはその量の密度を空間全体に積分したものです。 ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle \mu _{n}=\int r^{n}\rho (r)\,dr}$

ここで、電荷、質量、または考慮されているその他の量の密度の分布です。 ${\displaystyle \rho }$

より複雑な形式では、距離と物理量の間の角度関係が考慮されますが、上記の式はモーメントの本質的な特徴、つまり基礎となる項または同等の項の存在を捉えています。これは、複数のモーメント（ nの値ごとに 1 つ）があり、モーメントは一般に距離を測定する基準点に依存することを意味しますが、特定のモーメント（技術的には、ゼロ以外の最も低いモーメント）ではこの依存性がなくなり、モーメントは基準点から独立します。 ${\displaystyle r^{n}\rho (r)}$${\displaystyle r}$

nの各値は、異なるモーメントに対応します。つまり、第 1 モーメントはn  = 1 に、第 2 モーメントはn  = 2 に対応します。特に電荷分布のコンテキストでは、第 0 モーメント( n =  0)は単極子モーメントと呼ばれることもあり、第 1 モーメント ( n = 1) は双極子モーメント と呼ばれることもあり、第 2 モーメント ( n = 2) は四極子モーメント と呼ばれることもあります。

• 力のモーメント、またはトルクは、第 1 モーメントです。または、より一般的には、です。${\displaystyle \mathbf {\tau } =rF}$${\displaystyle \mathbf {r} \times \mathbf {F} }$
• 同様に、角運動量は運動量の第 1 モーメントです。運動量自体はモーメントではありません。${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$
• 電気双極子モーメントも第 1 モーメントです。2つの反対の点電荷の場合、または電荷密度 の分布電荷の場合です。${\displaystyle \mathbf {p} =q\,\mathbf {d} }$${\textstyle \int \mathbf {r} \,\rho (\mathbf {r} )\,d^{3}r}$${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )}$

質量モーメント:

• 総質量は質量のゼロ次モーメントです。
• 質量中心は、総質量で正規化された質量の 1 次モーメントです。質点の集合の場合、または質量分布を持つオブジェクトの場合です。${\textstyle \mathbf {R} ={\frac {1}{M}}\sum _{i}\mathbf {r} _{i}m_{i}}$${\textstyle {\frac {1}{M}}\int \mathbf {r} \rho (\mathbf {r} )\,d^{3}r}$${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )}$
• 慣性モーメントは、質点、質点の集合、または質量分布を持つ物体の 2 番目の質量モーメントです。質量の中心は、多くの場合 (常にではありませんが) 基準点として採用されます。${\displaystyle I=r^{2}m}$${\textstyle \sum _{i}r_{i}^{2}m_{i}}$${\textstyle \int r^{2}\rho (\mathbf {r} )\,d^{3}r}$${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )}$

密度関数が有限で特定の領域に局在していると仮定すると、その領域外では 1/ r ポテンシャルは球面調和関数の級数として表現できます。

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )=\int {\frac {\rho (\mathbf {r'} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}\,d^{3}r'=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left({\frac {4\pi }{2\ell +1}}\right)q_{\ell m}\,{\frac {Y_{\ell m}(\theta ,\varphi )}{r^{\ell +1}}}}$

係数は多重極モーメントと呼ばれ、次の形式をとります。 ${\displaystyle q_{\ell m}}$

${\displaystyle q_{\ell m}=\int (r')^{\ell }\,\rho (\mathbf {r'} )\,Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\varphi ')\,d^{3}r'}$

ここで、球座標で表された は積分変数です。より完全な説明は、多重極展開または球面多重極モーメントを説明したページに記載されています。(上記の式の規則は Jackson ^[1]から引用したものです。参照ページで使用されている規則は若干異なる場合があります。) ${\displaystyle \mathbf {r} '}$${\displaystyle \left(r',\varphi ',\theta '\right)}$

が電荷密度を表す場合、 はある意味で電荷モーメントの投影です。 は単極子モーメント、 は双極子モーメントの投影、 は四極子モーメントの投影、などとなります。 ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle q_{lm}}$${\displaystyle q_{00}}$${\displaystyle q_{1m}}$${\displaystyle q_{2m}}$

多重極展開は 1/ rスカラーポテンシャルに適用され、その例としては 電位や重力ポテンシャルがあります。これらのポテンシャルの場合、最初の数モーメントを計算することで、局所的な電荷 (または質量) 分布によって生成される場の強度を近似するために式を使用できます。r が十分に大きい場合は、単極子モーメントと双極子モーメントだけで妥当な近似値を得ることができます。より高次のモーメントを計算すると、より高い忠実度が得られます。この手法を拡張すると、相互作用エネルギーや分子間力を計算することができます。

この技術は、未知の分布の特性を決定するためにも使用できます。多重極モーメントに関する測定値を取得し、基礎となる分布の特性を推測するために使用できます。この技術は分子などの小さな物体に適用されますが、^{[2] [3]} 宇宙自体にも適用されており、^[4]たとえば、WMAPおよびプランク実験で宇宙マイクロ波背景放射を分析するために使用された技術です。 ${\displaystyle \rho }$

古代ギリシャに由来すると考えられている作品では、モーメントの概念は、ῥοπή ( rhopḗ、文字通り「傾斜」) という単語や、ἰσόρροπα ( isorropa、文字通り「等しい傾斜の」) などの合成語によって暗示されている。^{[5] [6] [7]}これらの作品の文脈は、てこを含む力学と幾何学である。^[8]特に、アルキメデスの作品とされる現存する作品では、モーメントは次のような言い回しで指摘されている。

"同等の大きさ ( σύμμετρα μεγέθεα ) [A と B] は、[中心 Γ までの距離、つまり ΑΓ と ΓΒ] が反比例する場合 ( ^{ἀντιπεπονθό} τως )をそれらの重み ( βάρεσιν ) に換算します。^{[6] [9]}

さらに、 『力学的定理の方法』などの現存するテキストでは、モーメントは幾何学的図形の重心、面積、体積を 推測するために使用されています。

1269年、ヴィルヘルム・フォン・モールベケはアルキメデスとエウトシオスのさまざまな著作をラテン語に翻訳した。ῥοπήという用語はropenと音訳されている。^[6]

1450年頃、ヤコブス・クレモネンシスは同様のテキストのῥοπήをラテン語のmomentum (直訳すると「動き」^[10] )に翻訳している。^{[11] [6] : 331}同じ用語は1501年のジョルジョ・ヴァッラの翻訳でもそのまま使われ、その後フランチェスコ・マウロリコ、フェデリコ・コマンディーノ、グイドバルド・デル・モンテ、アドリアン・ファン・ルーメン、フローレンス・リヴォー、フランチェスコ・ブオナミーチ、マリン・メルセンヌ^[5]、ガリレオ・ガリレイによって翻訳された。とはいえ、なぜmomentumという単語が翻訳に選ばれたのだろうか。トレッカーニによると、 1つの手がかりは、初期の翻訳者たちが住んでいた中世イタリアではmomentoが転移した意味で「時間の瞬間」と「重さの瞬間」(秤を回す小さな重さ) の両方を意味していたことだ。^[b]

1554年、フランチェスコ・マウロリコは著書『序説説教』の中でラテン語の「momentum」という用語の意味を明確にしています。以下はマーシャル・クラゲットによるラテン語から英語への翻訳です。^[6]

「[...] 等しくない距離にある同じ重量は、同じ重さにはなりませんが、等しくない重量は [これらの等しくない距離にある] 同じ重さになることがあります。 天秤で明らかなように、より遠くに吊り下げられた重量はより重いからです。 したがって、物体と重量の両方とは異なる、ある特定の第 3 の種類の力、または第 3 の大きさの差が存在し、これをモーメントと呼びます。^[c]したがって、物体は量 [つまりサイズ] と品質 [つまり素材] の両方から重量を獲得しますが、重量は吊り下げられた距離からモーメントを受け取ります。 したがって、距離が重量に反比例する場合、[重量の] モーメントは等しくなります。これは、アルキメデスが『等モーメントの書』で示したとおりです。[ d ]^{したがって}、重量、または [むしろ] モーメントは、他の連続量と同様に、共通の末端、つまり、重量の中心、または平衡点など、両方に共通するもので結合されます。 さて、どの重量でも、重心は、物体がどれだけ頻繁に、あるいはいつ吊り下げられても、常に宇宙の中心に向かって垂直に傾きます。

物体、重さ、モーメントに加えて、推進力または力と呼ばれる第 4 の力があります。^[e] アリストテレスは『機械論』でこれを研究しており、それは前述の 3 つの力または大きさとはまったく異なります。[...]"

1586年、シモン・ステヴィンは著書『De Beghinselen Der Weeghconst』の中で、運動量を表すためにオランダ語の「staltwicht」（「駐車した重量」）という用語を使用しています。

1632年、ガリレオ・ガリレイは『二大世界システムについての対話』を出版し、イタリア語の 「momento」を、先人たちが用いた意味も含め、さまざまな意味で使用しました。^[12]

1643年、トーマス・サルスベリーはガリレイの著作の一部を英語に翻訳した。サルスベリーはラテン語のmomentumとイタリア語のmomentoを英語のmomentに翻訳した。^[f]

1765年、レオンハルト・オイラーは、クリスティアーン・ホイヘンスが著書『振動子論』で示した量の1つを指すために、ラテン語の慣性モーメント（英語：momentum inertiae）という用語を使用した。^{[13]ホイヘンスの1673年の}振動中心の発見に関する研究は、1646年にマリン・メルセンヌから刺激を受けて彼に提案された。^{[14] [15]}

1811年、シメオン・ドニ・ポアソンは著書『力学理論』の中で、点と平面に関するフランス語の「moment d'une force（力のモーメント）」という用語を使用している。 [ 16 ]英語への^翻訳は1842年に登場している。

1884年、ジェームズ・トムソンは、プロペラとローターを備えた機械の回転力を測定する文脈でトルクという用語を提案しました。^{[17] [18]}今日では、機械のトルクを測定するために動力計が使用されています。

1893年、カール・ピアソンは、曲線フィッティングの科学的測定の文脈で、n次のモーメントという用語を使用しています。 ^[19]ピアソンは、数年前に気象データに関する特異なパターンを観察し、その原因の説明を求めていたジョン・ベンに返答しました。 ^[20]ピアソンの返答では、機械的な「重心」は平均であり、「距離」は平均からの偏差であるというアナロジーが使用されています。これは後に数学におけるモーメントに発展しました。モーメントという機械的な概念と偏差のn乗の合計を含む統計関数とのアナロジーは、ラプラス、クランプ、ガウス、エンケ、チューバー、ケトレー、ドフォレストなど、それ以前にも何人かの研究者によって注目されていました。^[21]${\displaystyle \mu _{n}}$

• トルク（または力のモーメント）については、カップル（力学）の記事も参照してください。
• モーメント（数学）
• 機械的平衡は、物体がバランスをとっており、軸周りの時計回りのモーメントの合計が、同じ軸周りの反時計回りのモーメントの合計に等しい場合に適用される。
• 慣性モーメントは 、回転運動の議論における質量に類似しています。これは、物体の回転速度の変化に対する抵抗の尺度です。${\displaystyle \left(I=\Sigma mr^{2}\right)}$
• 運動量モーメント、線形 運動量の回転類似体。${\displaystyle (\mathbf {L} =\mathbf {r} \times m\mathbf {v} )}$
• 磁気モーメントは 、磁気源の強さと方向を測定する双極子モーメントです。${\displaystyle \left(\mathbf {\mu } =I\mathbf {A} \right)}$
• 電気双極子モーメントは、2つ以上の電荷間の電荷差と方向を測定する双極子モーメントです。たとえば、距離dで離れた-qの電荷とqの電荷間の電気双極子モーメントは、${\displaystyle (\mathbf {p} =q\mathbf {d} )}$
• 曲げモーメント、構造要素の曲げを引き起こすモーメント
• 断面一次モーメント、せん断応力に対する抵抗に関連する物体の特性
• 断面二次モーメント、曲げやたわみに対する抵抗に関連する物体の特性
• 慣性モーメントは、ねじれに対する抵抗に関連する物体の特性です。
• 画像モーメント、画像の統計的特性
• 地震モーメント、地震の大きさを測るのに使われる量
• プラズマモーメント、密度、速度、圧力の観点から見たプラズマの流体的記述
• 面積慣性モーメントの一覧
• 慣性モーメントの一覧
• 多極展開
• 球面多重極モーメント

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• ウィキメディア・コモンズのモーメント（物理学）に関連するメディア
• [1] 辞書による「モーメント」の定義。