湾曲した空間

曲がった空間とは、ユークリッド幾何学で記述されるように曲率がゼロである「平坦」ではない空間幾何学を指すことが多い。^{[ 1 ]}曲がった空間は一般的にリーマン幾何学で記述できるが、いくつかの単純なケースは他の方法で記述できる。

曲がった空間は一般相対性理論において重要な役割を果たしており、重力はしばしば曲がった時空として視覚化される。^{[ 2 ]}フリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー計量は曲がった計量であり、宇宙の膨張と宇宙の形状を記述するための現在の基礎を形成している。 光子には質量がないにもかかわらず重力によって歪められるという事実は、その説明が光子の質量以外の何かでなければならないことを意味する。したがって、大きな物体が空間を曲げ、曲がった空間を進む光が重力の影響を受けるように見えるという考えがある。実際には重力は影響しないが、空間の曲率の影響を受ける。

曲がった空間の非常に身近な例は、球の表面です。私たちの慣れ親しんだ見方では球は三次元に見えますが、物体が表面上に留まるように制約されている場合、動けるのは二次元だけです。球の表面は、表面がどれほど粗く見えても、体積の二次元の外縁である表面に過ぎないため、完全に二次元で記述できます。フラクタルな複雑さを持つ地球の表面でさえ、体積の外側に沿った二次元境界にすぎません。^{[ 3 ]}

曲がった空間の特徴の一つは、ピタゴラスの定理からの逸脱である。

$\displaystyle dx^{2}+dy^{2}\neq dl^{2}}$。

ピタゴラスの関係は、空間を別の次元で記述することで復元できる場合が多い。座標を持つ3次元非ユークリッド空間を考えてみよう。${\displaystyle \left(x',y',z'\right)}$平らではないから

${\displaystyle dx'^{2}+dy'^{2}+dz'^{2}\neq dl'^{2}\,}$。

しかし、3次元空間を4次元で記述すると（${\displaystyle x,y,z,w}$)次のような座標を選択できます。

${\displaystyle dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}+dw^{2}=dl^{2}\,}$。

座標に注意してください${\displaystyle x}$座標とは異なります${\displaystyle x'}$。

4D座標の選択が元の3D空間の有効な記述子となるためには、同じ数の自由度を持たなければなりません。4つの座標は4つの自由度を持つため、制約を課す必要があります。新しい4D空間でピタゴラスの定理が成り立つような制約を選択できます。つまり、

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}={\textrm {定数}}\,}$。

定数は正または負の値をとることができます。便宜上、定数を次のように選択できます。

${\displaystyle \kappa ^{-1}R^{2}}$どこ${\displaystyle R^{2}\,}$今はポジティブで${\displaystyle \kappa \equiv \pm 1}$。

この制約を利用して、人工的な第4座標を消去することができます。${\displaystyle w}$制約方程式の微分は

${\displaystyle xdx+ydy+zdz+wdw=0\,}$結果として${\displaystyle dw=-w^{-1}(xdx+ydy+zdz)\,}$。

プラグ${\displaystyle dw}$元の式に代入すると

${\displaystyle dl^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}+{\frac {(xdx+ydy+zdz)^{2}}{\kappa ^{-1}R^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}}}$。

この形式は通常あまり魅力的ではないため、座標変換がしばしば適用されます。${\displaystyle x=r\sin \theta \cos \phi }$、${\displaystyle y=r\sin \theta \sin \phi }$、${\displaystyle z=r\cos \theta }$この座標変換により

$${\displaystyle dl^{2}={\frac {dr^{2}}{1-\kappa {\frac {r^{2}}{R^{2}}}}}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}$$。

n次元空間の幾何学は、リーマン幾何学を用いて記述することもできる。等方性かつ均質な空間は、以下の計量によって記述できる。

${\displaystyle dl^{2}=e^{-\lambda (r)}{dr^{2}}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}\,}$。

これは、${\displaystyle \lambda =0}$しかし、ワイルテンソルのすべての成分がゼロである場合、空間は「平坦」であると言えます。3 次元では、リッチテンソル(${\displaystyle R_{ab}}$) は、メトリックにリッチスカラーを掛けたものに等しい(${\displaystyle R}$（前のセクションのRと混同しないように）。つまり、${\displaystyle R_{ab}=g_{ab}R}$メトリックからこれらのコンポーネントを計算すると、次のようになります。

${\displaystyle \lambda =-{\frac {1}{2}}\ln \left(1-kr^{2}\right)}$どこ${\displaystyle k\equiv {\frac {R}{2}}}$。

これにより、以下の指標が得られます。

${\displaystyle dl^{2}={\frac {dr^{2}}{1-k{r^{2}}}}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}$。

どこ${\displaystyle k}$値はゼロ、正、負のいずれでもよく、±1に限定されない。

等方性かつ均質な空間は、以下の計量によって記述できる。

${\displaystyle dl^{2}={\frac {dr^{2}}{1-\kappa {\frac {r^{2}}{R^{2}}}}}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}$。

曲率定数が極限に達すると（${\displaystyle R}$) が無限に大きくなると、平坦なユークリッド空間が返されます。これは基本的に を設定することと同じです。${\displaystyle \kappa }$ゼロに。${\displaystyle \kappa }$がゼロでない場合、空間はユークリッド空間ではありません。${\displaystyle \kappa =+1}$その空間は閉じている、または楕円形であると言われます。${\displaystyle \kappa =-1}$その空間は開放的、あるいは双曲的であると言われている。

開いた空間の表面にある三角形の内角の和は180°未満になります。閉じた空間の表面にある三角形の内角の和は180°より大きくなります。ただし、体積は${\displaystyle (4/3)\pi r^{3}}$。

• CAT( k )スペース
• 非正曲率

• ファインマン物理学講義 第2巻 第42章：曲がった空間
• パパスタヴリディス、ジョン・G. (1999). 「一般n次元（リーマン）曲面」 .テンソル解析と解析力学. ボカラトン：CRC Press. pp. 211–218 . ISBN  0-8493-8514-8。

• ジェフリー・ウィークスが開発した、多重接続された宇宙のシミュレーター「Curved Spaces」