角度変位

角度変位
角度変位
	黒い光線から緑の線分への回転角度は 60°、黒い光線から青の線分への回転角度は 210°、緑から青の線分への回転角度は210° − 60° = 150°です。中心点を中心とした完全な回転は、 1 tr、360 °、または 2 π ラジアンに相当します。
その他の名前	回転変位、回転角度
一般的な記号	θ、ϑ、φ
SI単位	ラジアン、度、回転など（任意の角度単位）
SI基本単位では	ラジアン(rad)

物体の角変位（記号 θ、ϑ、または φ）は、回転角、回転変位、または回転変位とも呼ばれ、物体が回転中心または回転軸の周りを回転（公転またはスピン）する角度（単位はラジアン、度、回転など）です。角変位には、回転の方向（例：時計回り）を示す符号が付けられる場合があり、また、完全な回転よりも大きい（絶対値で）場合もあります。

コンテクスト

物体が軸を中心に回転する場合、円運動では速度と加速度が常に変化するため、その運動を単純に粒子として分析することはできません。物体の回転を扱う場合、物体自体を剛体と見なす方が簡単になります。物体は一般に、すべての粒子間の距離が物体の運動全体を通じて一定である場合に剛体と見なされます。つまり、たとえば物体の質量の一部が飛び散ることはありません。現実的には、すべての物体は変形可能ですが、この影響は最小限で無視できる程度です。

例

右に示した例（モバイル版では上図）では、粒子または物体 P が原点Oから固定距離rのところにあり、反時計回りに回転しています。この場合、粒子 P の位置を極座標（r、θ ）で表すことが重要になります。この特定の例では、 θの値は変化しますが、半径の値は変わりません。（直交座標（x、y）では、 xとy は両方とも時間とともに変化します。）粒子が円に沿って移動すると、円弧の長さs を移動します。これは、次の関係を通じて角度位置に関連付けられます。

s=r\theta .

定義と単位

角度変位はラジアンまたは度で表すことができます。ラジアンを使用すると、円周を移動する距離 (円弧の長さ) と中心からの距離r (半径)の間に非常に単純な関係が与えられます。

\theta ={\frac {s}{r}}\mathrm {rad}

たとえば、物体が半径rの円の周りを 360° 回転する場合、角変位は円周を移動した距離 (2π r ) を半径で割った値で表されます。これは簡単に次のように簡略化できます。したがって、1回転はラジアンです。 $\theta ={\frac {2\pi r}{r}}$ $\theta =2\pi$ $2\pi$

上記の定義は国際数量体系（ISQ）の一部であり、国際規格ISO 80000-3（空間と時間）^{[1]で正式化され、}国際単位系（SI）[ ^2]に採用されています。^[3]

角変位は回転方向（例えば時計回り）を示す符号付きである場合がある。 ^{[1]また、角変位は（}絶対値で）1回転よりも大きい場合もある。ISQ/SIでは、角変位は回転数N =θ/(2π rad)を定義するために使用され、これは1次元の比率型量である。

3次元で

3 次元では、角度変位は方向と大きさを持つエンティティです。方向は回転軸を指定します。これは、オイラーの回転定理によって常に存在します。大きさは、その軸の周りの回転をラジアンで指定します(方向を決定するために右手の法則を使用)。このエンティティは軸角度と呼ばれます。

方向と大きさを持っているにもかかわらず、角変位は加算の交換法則に従わないためベクトルではありません。 ^[4]ただし、無限小回転を扱う場合、2次の無限小は破棄することができ、この場合には交換法則が現れます。

回転行列

回転を記述する方法はいくつかあり、回転行列やオイラー角などがあります。その他の方法についてはSO(3)の表を参照してください。

空間内の任意のフレームは回転行列で記述できるため、それらのフレーム間の変位も回転行列で記述できます。との2 つの行列があるため、それらの間の角度変位行列はとして取得できます。この積を 2 つのフレーム間の差が非常に小さい状態で実行すると、単位行列に近い行列が得られます。 $A_{0}$ $A_{f}$ $\Delta A=A_{f}A_{0}^{-1}$

極限では、回転行列は無限小になります。

無限小回転行列

無限小回転行列または微分回転行列は、無限に小さい回転を表す行列です。

回転行列は(特殊直交群)の元を表す直交行列ですが、回転の微分は接空間(特殊直交リー代数)内の歪対称行列であり、それ自体は回転行列ではありません。 $R^{\mathsf {T}}=R^{-1}$ $SO(n)$ $A^{\mathsf {T}}=-A$ ${\mathfrak {so}}(n)$

無限小回転行列は次の形式を持つ。

I+d\theta \,A,

ここでは単位行列であり、は無視できるほど小さく、 $I$ $d\theta$ $A\in {\mathfrak {so}}(n).$

例えば、 $x$ 軸を中心とした微小な3次元回転を表す場合、 $A=L_{x},$ ${\mathfrak {so}}(3),$

dL_{x}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&-d\theta \\0&d\theta &1\end{bmatrix}}.

無限小回転行列の計算規則は、2次の無限小が定期的に削除されることを除いて、通常と同じです。これらの規則では、これらの行列は、通常の無限小の取り扱いの下での通常の有限回転行列と同じ特性をすべて満たすわけではありません。^[5]無限小回転が適用される順序は無関係であることがわかります。

参照

参考文献

^ ab 「ISO 80000-3:2019 数量および単位 - パート3: 空間および時間」（第2版）。国際標準化機構。2019年。 2019年10月23日閲覧。[1] (11ページ)
^ 国際単位系（PDF）（第9版）、国際度量衡局、2022年12月、ISBN 978-92-822-2272-0
^ Thompson, Ambler; Taylor, Barry N. (2020-03-04) [2009-07-02]. 「国際単位系の使用に関するNISTガイド、特別出版811」（2008年版）。アメリカ国立標準技術研究所。 2023年7月17日閲覧。[2]
^ ダニエル・クレップナー、ロバート・コレンコウ（1973年）。『力学入門』マグロウヒル。288～289頁。ISBN 9780070350489。
^ (ゴールドスタイン、プール、サフコ 2002、§4.8)

出典

ゴールドスタイン、ハーバート、プール、チャールズ P.、サフコ、ジョン L. (2002)、古典力学(第 3 版)、アディソンウェスレー、ISBN 978-0-201-65702-9
ウェダーバーン、ジョセフ HM (1934)、行列に関する講義、AMS、ISBN 978-0-8218-3204-2

[ISO80000-3_2019-1] 「ISO 80000-3:2019 数量および単位 - パート3: 空間および時間」（第2版）。国際標準化機構。2019年。 2019年10月23日閲覧。[1] (11ページ)

[SIBrochure_9-2] 国際単位系（PDF）（第9版）、国際度量衡局、2022年12月、ISBN 978-92-822-2272-0

[NISTGuide_2009-3] Thompson, Ambler; Taylor, Barry N. (2020-03-04) [2009-07-02]. 「国際単位系の使用に関するNISTガイド、特別出版811」（2008年版）。アメリカ国立標準技術研究所。 2023年7月17日閲覧。[2]

[4] ダニエル・クレップナー、ロバート・コレンコウ（1973年）。『力学入門』マグロウヒル。288～289頁。ISBN 9780070350489。

[5] (ゴールドスタイン、プール、サフコ 2002、§4.8)